Теорема Бертрана

Жозеф Бертран

В классической механике теорема Бертрана утверждает, что среди центральной силы потенциалов со связанными орбитами существуют только два типа центральной силы (радиальных) скалярных потенциалов со свойством, что все связанные орбиты также являются замкнутыми орбитами .

Первый такой потенциал представляет собой центральную силу обратного квадрата, такую ​​как гравитационный или электростатический потенциал :

$V(r)=-{\frac {k}{r}}$ с силой $f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {k}{r^{2}}}$.

Второй — потенциал радиального гармонического осциллятора :

$V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}$ с силой $f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-kr$.

Теорема названа в честь своего первооткрывателя Жозефа Бертрана .

Вывод

Небольшие изменения в мощности силы, масштабируемой с расстоянием, приведут к существенно другому типу орбит.

Все притягивающие центральные силы могут создавать круговые орбиты, которые, естественно, являются замкнутыми орбитами . Единственное требование состоит в том, чтобы центральная сила точно равнялась центростремительной силе , которая определяет необходимую угловую скорость для данного радиуса окружности. Нецентральные силы (т. е. те, которые зависят от угловых переменных, а также от радиуса) здесь игнорируются, поскольку они вообще не создают круговых орбит.

Уравнение движения радиуса $r$ частицы массы $m$ движение в центральном потенциале $V(r)$ задается уравнениями движения

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},$

где $\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$, а угловой момент $L=mr^{2}\omega$ сохраняется. Для иллюстрации: первый член слева равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила ${\frac {dV}{dr}}$ равно требованию центростремительной силы $mr^{2}\omega$, как и ожидалось.

Определение углового момента допускает замену независимой переменной от $t$ к $\theta$:

${\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},$

давая новое уравнение движения, независимое от времени:

${\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.$

Это уравнение становится квазилинейным после замены переменных $u\equiv {\frac {1}{r}}$ и умножив обе части на ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$ (см. также уравнение Бине ):

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right).$

Как отмечалось выше, все центральные силы могут создавать круговые орбиты при соответствующей начальной скорости. Однако если ввести некоторую лучевую скорость, эти орбиты не обязательно должны быть стабильными (т. е. оставаться на орбите бесконечно) или замкнутыми (многократно возвращаясь к одному и тому же пути). Здесь мы показываем, что необходимым условием стабильных, точно замкнутых некруговых орбит является сила, обратная квадрату, или потенциал радиального гармонического осциллятора. В следующих разделах мы покажем, что эти два закона силы создают стабильные, точно замкнутые орбиты ( достаточное условие ) [читателю неясно, какое именно условие является достаточным].

Определять $J(u)$ как

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right),$

где $f$ представляет собой радиальную силу. Критерий идеально кругового движения по радиусу $r_{0}$ заключается в том, что первый член слева равен нулю:

$u_{0}=J(u_{0})=-{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right),$ ( 1 )

где $u_{0}\equiv 1/r_{0}$.

Следующим шагом будет рассмотрение уравнения для $u$ при небольших возмущениях $\eta \equiv u-u_{0}$ с идеально круговых орбит. Справа $J$ функцию можно разложить в стандартный ряд Тейлора :

$J(u)\approx J(u_{0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots$

Подставив это разложение в уравнение для $u$ и вычитание постоянных членов дает

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,$

который можно записать как

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,$ ( 2 )

где $\beta ^{2}\equiv 1-J'(u_{0})$ является константой. $\beta ^{2}$ должно быть неотрицательным; в противном случае радиус орбиты будет экспоненциально отличаться от ее первоначального радиуса. (Решение $\beta =0$ соответствует идеально круговой орбите.) Если правой частью можно пренебречь (т. е. при малых возмущениях), то решения будут иметь вид

$\eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta ),$

где амплитуда $h_{1}$ является константой интегрирования. Чтобы орбиты были замкнутыми, $\beta$ должно быть рациональным числом . Более того, это должно быть одно и то же рациональное число для всех радиусов, поскольку $\beta$ не может меняться непрерывно; рациональные числа друг совершенно не связаны с другом. Используя определение $J$ наряду с уравнением ( 1 ),

$J'(u_{0})={\frac {2}{u_{0}}}\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]-\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]{\frac {1}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=-2+{\frac {u_{0}}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=1-\beta ^{2}.$

Поскольку это должно выполняться для любого значения $u_{0}$,

${\frac {df}{dr}}=(\beta ^{2}-3){\frac {f}{r}},$

что означает, что сила должна подчиняться степенному закону

$f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}.$

Следовательно, $J$ должен иметь общую форму

$J(u)={\frac {mk}{L^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}.$ ( 3 )

Для более общих отклонений от цикличности (т. е. когда мы не можем пренебречь членами более высокого порядка в разложении Тейлора $J$ ), $\eta$ можно разложить в ряд Фурье, например:

$\eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots$

Подставим это в уравнение ( 2 ) и приравняем коэффициенты, принадлежащие одной и той же частоте, оставив только члены низшего порядка. Как мы покажем ниже, $h_{0}$ и $h_{2}$ меньше, чем $h_{1}$, будучи в порядке $h_{1}^{2}$. $h_{3}$, и все дальнейшие коэффициенты имеют порядок не ниже $h_{1}^{3}$. Это имеет смысл, поскольку $h_{0},h_{2},h_{3},\ldots$ все должно исчезнуть быстрее, чем $h_{1}$ при приближении к круговой орбите.

$h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{4\beta ^{2}}},$

$h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{12\beta ^{2}}},$

$h_{3}=-{\frac {1}{8\beta ^{2}}}\left[h_{1}h_{2}{\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].$

Из $\cos \beta \theta$ термин, мы получаем

$0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left(3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),$

где на последнем шаге мы подставили значения $h_{0}$ и $h_{2}$.

Используя уравнения ( 3 ) и ( 1 ), мы можем вычислить вторую и третью производные $J$ оценивается в $u_{0}$:

$J''(u_{0})=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}},$

$J'''(u_{0})={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}.$

Подстановка этих значений в последнее уравнение дает основной результат теоремы Бертрана :

$\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0.$

Следовательно, единственные потенциалы , которые могут создавать устойчивые замкнутые некруговые орбиты, - это закон силы обратных квадратов ( $\beta =1$) и потенциал радиального гармонического осциллятора ( $\beta =2$). Решение $\beta =0$ соответствует идеально круговым орбитам, как отмечалось выше.

Классические потенциалы поля

Для закона обратных квадратов силы, такого как гравитационный или электростатический потенциал , потенциал можно записать

$V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku.$

Орбиту u (θ) можно вывести из общего уравнения

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)={\frac {km}{L^{2}}},$

решение которого является константой ${\frac {km}{L^{2}}}$ плюс простая синусоида:

$u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],$

где e ( эксцентриситет ) и θ ₀ ( сдвиг фазы ) — константы интегрирования.

Это общая формула конического сечения с одним фокусом в начале координат; e = 0 соответствует кругу , 0 < e < 1 соответствует эллипсу, e = 1 соответствует параболе , а e > 1 соответствует гиперболе . Эксцентриситет e связан с полной энергией E (см. вектор Лапласа – Рунге – Ленца ):

$e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}.$

Сравнение этих формул показывает, что E < 0 соответствует эллипсу, E = 0 соответствует параболе , а E > 0 соответствует гиперболе . В частности, $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ для идеально круговых орбит.

Гармонический осциллятор

Чтобы найти орбиту под действием потенциала радиального гармонического осциллятора , проще работать с компонентами r = ( x , y , z ). Потенциал можно записать как

$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).$

Уравнение движения частицы массы m задается тремя независимыми уравнениями Эйлера :

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0,$

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0,$

где константа $\omega _{0}^{2}\equiv {\frac {k}{m}}$ должно быть положительным (т. е. k > 0), чтобы обеспечить ограниченность замкнутых орбит; в противном случае частица улетит в бесконечность . Все решения этих простых уравнений гармонического осциллятора аналогичны:

$x=A_{x}\cos(\omega _{0}t+\phi _{x}),$

$y=A_{y}\cos(\omega _{0}t+\phi _{y}),$

$z=A_{z}\cos(\omega _{0}t+\phi _{z}),$

где положительные константы A _x , A _y и A _z представляют собой амплитуды колебаний, а углы φ _x , φ _y и φ _z представляют их фазы . Полученная орбита r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] замкнута, поскольку повторяется ровно через один период.

$T\equiv {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}.$

Система также устойчива, поскольку небольшие возмущения амплитуд и фаз вызывают соответственно небольшие изменения общей орбиты.

Дальнейшее чтение

• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-02918-5 .
• Сантос, ФК; Соарес, В.; Торт, AC (2011). «Английский перевод теоремы Бертрана». Латиноамериканский журнал физического образования . 5 (4): 694–696. arXiv : 0704.2396 . Бибкод : 2007arXiv0704.2396S .
• Линхер, Патрик Де; Масгроув, Джон; Шимлек, Тайлер (2023). «Всеобъемлющее доказательство теоремы Бертрана» . Обзор СИАМ . 65 (2): 563–588. дои : 10.1137/21M1436658 . ISSN   0036-1445 . S2CID   258585586 .