Скалярный потенциал

Эта статья посвящена общему описанию функции, используемой в математике и физике для описания консервативных полей. Чтобы узнать о скалярном потенциале электромагнетизма, см. электрический потенциал . Для всех других вариантов использования см. потенциал .

В математической физике скалярный потенциал , проще говоря, описывает ситуацию, когда разница потенциальных энергий объекта в двух разных положениях зависит только от положений, а не от пути, пройденного объектом при перемещении из одного положения в другое. Это скалярное поле в трехмерном пространстве : ненаправленная величина ( скаляр ), которая зависит только от ее местоположения. Знакомый пример – потенциальная энергия, обусловленная гравитацией .

Векторное поле (справа) и соответствующий скалярный потенциал (слева).

Скалярный часто опускается , потенциал — фундаментальное понятие в векторном анализе и физике (прилагательное скаляр если нет опасности путаницы с векторным потенциалом ). Скалярный потенциал является примером скалярного поля . Для векторного поля F скалярный потенциал P определяется так, что:

$$\mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),$$

где ∇ P — градиент P , а вторая часть уравнения — минус градиент функции декартовых координат x, y, z . В некоторых случаях математики могут использовать положительный знак перед градиентом, чтобы определить потенциал. Из-за этого определения P в терминах градиента направление F в любой точке является направлением наибольшего уменьшения P в этой точке, а его величина - это скорость этого уменьшения на единицу длины.

Чтобы F можно было описать только с точки зрения скалярного потенциала, любое из следующих эквивалентных утверждений должно быть истинным:

1. $-\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),$ где интегрирование производится по жордановой дуге, проходящей от местоположения a к местоположению b , а P ( b ) — это P, вычисляемое в местоположении b .
2. $\oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,$ где интеграл ведется по любому простому замкнутому пути, также известному как жордановая кривая .
3. ${\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.$

Первое из этих условий представляет собой фундаментальную теорему о градиенте и верно для любого векторного поля, которое является градиентом дифференцируемого однозначного скалярного поля P . Второе условие — это требование к F , чтобы его можно было выразить как градиент скалярной функции. Третье условие повторно выражает второе условие в терминах ротора F , используя фундаментальную теорему ротора . Векторное поле F, удовлетворяющее этим условиям, называется безвихревым (консервативным).

Гравитационная потенциальная яма возрастающей массы, где F = –∇ P

Скалярные потенциалы играют заметную роль во многих областях физики и техники. Гравитационный потенциал — это скалярный потенциал, связанный с силой тяжести на единицу массы, т. е. ускорением поля в зависимости от положения. Гравитационный потенциал — это потенциальная энергия гравитации на единицу массы. В электростатике электрический потенциал — это скалярный потенциал, связанный с электрическим полем , т. е. с электростатической силой, приходящейся на единицу заряда . Электрический потенциал в данном случае представляет собой электростатическую потенциальную энергию на единицу заряда. В гидродинамике безвихревые ламеллярные поля обладают скалярным потенциалом только в частном случае, когда это поле Лапласа . Некоторые аспекты ядерных сил можно описать потенциалом Юкавы . Потенциал играет заметную роль в лагранжевой и гамильтоновой формулировках классической механики . Кроме того, скалярный потенциал является фундаментальной величиной квантовой механики .

Не каждое векторное поле имеет скалярный потенциал. Те, которые это делают, называются консервативными , что соответствует понятию консервативной силы в физике. Примеры неконсервативных сил включают силы трения, магнитные силы и в механике жидкости поле скорости соленоидального поля . Однако по теореме о разложении Гельмгольца все векторные поля можно описать в терминах скалярного потенциала и соответствующего векторного потенциала . В электродинамике электромагнитный скалярный и векторный потенциалы вместе известны как электромагнитный четырехпотенциал .

Условия интегрируемости

Если F — консервативное векторное поле (также называемое , безроторным или непрерывные потенциальным ) , и его компоненты имеют частные производные , потенциал F безвихревым относительно опорной точки r ₀ определяется в терминах линейного интеграла :

$$V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,$$

где C — параметризованный путь от r ₀ до r ,

$$\mathbf {r} (t),a\leq t\leq b,\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ,\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .$$

Тот факт, что линейный интеграл зависит от пути C только через его конечные точки r ₀ и r , по сути, является свойством независимости пути консервативного векторного поля. Из фундаментальной теоремы линейных интегралов следует, что если V определено таким образом, то F = –∇ V , так что V является скалярным потенциалом консервативного векторного поля F . Скалярный потенциал не определяется только векторным полем: действительно, градиент функции не изменяется, если к нему добавляется константа. Если V определяется через линейный интеграл, неоднозначность V отражает свободу выбора опорной точки r ₀ .

Высота как

Основная статья: Гравитационный потенциал

однородное гравитационное поле у ​​поверхности Земли

График двумерного среза гравитационного потенциала внутри и вокруг однородного сферического тела. Точки перегиба сечения находятся на поверхности тела.

Примером может служить (почти) однородное гравитационное поле у ​​поверхности Земли. Он имеет потенциальную энергию

$$U=mgh$$

где U — потенциальная энергия гравитации, а h — высота над поверхностью. Это означает, что гравитационная потенциальная энергия на контурной карте пропорциональна высоте. На контурной карте двумерный отрицательный градиент высоты представляет собой двумерное векторное поле, векторы которого всегда перпендикулярны контурам, а также перпендикулярны направлению силы тяжести. Но в холмистой местности, представленной контурной картой, трехмерный отрицательный градиент U всегда направлен прямо вниз в направлении силы тяжести; Ф. ​Однако шарик, катящийся с холма, не может двигаться прямо вниз из-за нормальной силы поверхности холма, которая уравновешивает составляющую силы тяжести, перпендикулярную поверхности холма. Составляющая силы тяжести, которая остается для перемещения шара, параллельна поверхности:

$$\mathbf {F} _{\mathrm {S} }=-mg\ \sin \theta$$

где θ — угол наклона, а составляющая F _S, перпендикулярная силе тяжести, равна

$$\mathbf {F} _{\mathrm {P} }=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .$$

Эта сила F _P , параллельная земле, максимальна, когда угол θ равен 45 градусам.

Пусть ∆h — равномерный интервал высот между контурами на контурной карте, а ∆x — расстояние между двумя контурами. Затем

$$\theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}$$

так что

$$F_{P}=-mg{\Delta x\,\Delta h \over \Delta x^{2}+\Delta h^{2}}.$$

Однако на контурной карте градиент обратно пропорционален Δ x , что не похоже на силу F _P : высота на контурной карте не совсем двумерное потенциальное поле. Величины сил разные, но направления сил одинаковы как на контурной карте, так и на холмистом участке земной поверхности, представленном контурной картой.

Давление

В механике жидкости жидкость находится в равновесии, но при наличии однородного гравитационного поля пронизана однородной выталкивающей силой, которая нейтрализует силу гравитации: именно так жидкость поддерживает свое равновесие. Эта выталкивающая сила представляет собой отрицательный градиент давления :

$$\mathbf {f_{B}} =-\nabla p.$$

Поскольку выталкивающая сила направлена ​​вверх, в направлении, противоположном силе тяжести, то давление в жидкости увеличивается вниз. Давление в неподвижном водоеме увеличивается пропорционально глубине под поверхностью воды. Поверхности постоянного давления представляют собой плоскости, параллельные поверхности, которую можно охарактеризовать как плоскость нулевого давления.

Если жидкость имеет вертикальный вихрь (ось вращения которого перпендикулярна поверхности), то вихрь вызывает депрессию поля давления. Поверхность жидкости внутри вихря тянется вниз, как и любые поверхности равного давления, которые все еще остаются параллельными поверхности жидкости. Эффект наиболее силен внутри вихря и быстро уменьшается по мере удаления от оси вихря.

Выталкивающую силу, действующую на твердый объект, погруженный в эту жидкость и окруженный жидкостью, можно получить путем интегрирования градиента отрицательного давления вдоль поверхности объекта:

$$F_{B}=-\oint _{S}\nabla p\cdot \,d\mathbf {S} .$$

потенциал в

В трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{3}$скалярный потенциал безвихревого векторного поля E определяется выражением

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$$

где dV ( r' ) — бесконечно малый элемент объема относительно r' . Затем

$$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$$

Это справедливо при условии, что и асимптотически E непрерывно обращается в нуль к бесконечности, убывая быстрее, чем / r , и если дивергенция E 1 также исчезает к бесконечности, убывая быстрее, чем 1/ r. ² .

Написано по-другому, пусть

$$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}$$

быть ньютоновским потенциалом . Это фундаментальное решение , уравнения Лапласа означающее, что лапласиан Γ равен отрицательному значению дельта -функции Дирака :

$$\nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.$$

это дивергенция свертки E Γ с Тогда скалярный потенциал — :

$$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).$$

Действительно, свертка безвихревого векторного поля с вращательно- инвариантным потенциалом также является безвихревой. Для безвихревого векторного поля G можно показать, что

$$\nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).$$

Следовательно

$$\nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E}$$

по мере необходимости.

В более общем смысле формула

$$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )$$

выполняется в n -мерном евклидовом пространстве ( n > 2 ) с ньютоновским потенциалом, определяемым тогда формулой

$$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{n(n-2)\omega _{n}\|\mathbf {r} \|^{n-2}}}$$

где ω _n — объем единичного n -шара. Доказательство идентично. Альтернативно, интегрирование по частям (или, более строго, свойства свертки ) дает

$$\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{n\omega _{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}}}\,dV(\mathbf {r} ').$$

См. также

• Градиентная теорема
• Основная теорема векторного анализа
• Эквипотенциальные (изопотенциальные) линии и поверхности

Внешние ссылки

• СМИ, связанные со скалярным потенциалом, на Викискладе?