Комплексное ламеллярное векторное поле

В векторном исчислении комплексное ламеллярное векторное поле — это векторное поле , ортогональное семейству поверхностей. В более широком контексте дифференциальной геометрии сложные пластинчатые векторные поля чаще называют гиперповерхностно-ортогональными векторными полями. Их можно охарактеризовать по-разному, многие из которых связаны с завитком . Пластинчатое векторное поле — это частный случай векторных полей с нулевым ротором.

Прилагательное «ламеллярный» происходит от существительного «ламелла», что означает тонкий слой. Ламели , к которым относится «ламеллярное векторное поле», представляют собой поверхности постоянного потенциала или, в сложном случае, поверхности, ортогональные векторному полю.

Сложные ламеллярные векторные поля

В векторном исчислении комплексное ламеллярное векторное поле представляет собой векторное поле трехмерное , ортогональное своему собственному ротору . То есть,

$\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$

Термин ламеллярное векторное поле иногда используется как синоним особого случая безвихревого векторного поля , что означает, что

$\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .$

Комплексные ламеллярные векторные поля — это именно те поля, которые нормальны к семейству поверхностей. Безвихревое векторное поле локально является градиентом функции и, следовательно, ортогонально семейству поверхностей уровня ( эквипотенциальных поверхностей ). Любое векторное поле можно разложить как сумму безвихревого векторного поля и комплексного пластинчатого поля.

Гиперповерхностно-ортогональные векторные поля

В большей общности векторное поле F на псевдоримановом многообразии называется ортогональным гиперповерхности, если через произвольную точку проходит гладко вложенная гиперповерхность , которая во всех своих точках ортогональна векторному полю. По теореме Фробениуса это эквивалентно требованию, чтобы скобка Ли любых гладких векторных полей, ортогональных F, по-прежнему была ортогональна F .

Условие ортогональности гиперповерхности можно перефразировать в терминах дифференциальной 1-формы ω, двойственной к F . Ранее заданное условие скобки Ли можно переработать, чтобы потребовать, чтобы внешняя производная dω при вычислении любых двух касательных векторов, ортогональных F , была равна нулю. Это также можно сформулировать как требование существования гладкой 1-формы, произведение клина которой с ω равно dω .

Альтернативно это можно записать как условие того, что дифференциальная 3-форма ω ∧ dω равна нулю. , определяемой метрикой, это также можно сформулировать В терминах связи Леви-Чивита как требование, чтобы полностью антисимметричная часть 3-тензорного поля ω _i ∇ _j ω _k была равна нулю. Используя другую формулировку теоремы Фробениуса, это также эквивалентно требованию, чтобы ω локально выражалось как λ d u для некоторых функций λ и u .

В частном случае векторных полей в трехмерном евклидовом пространстве условие ортогональности гиперповерхности эквивалентно комплексному ламеллярному условию, как видно из переписывания ω ∧ dω в терминах оператора звезды Ходжа как ∗⟨ω, ∗dω⟩ , где ∗dω является 1-формой, двойственной векторному полю ротора.

Векторные поля, ортогональные гиперповерхности, особенно важны в общей теории относительности , где (помимо других причин) существование векторного поля Киллинга , которое является ортогональным гиперповерхности, является одним из требований статического пространства-времени . В этом контексте ортогональность гиперповерхности иногда называют безвихревостью , хотя это противоречит стандартному использованию трехмерных измерений. Другое название — свобода от вращения .

Еще более общее понятие на языке пфаффовых систем — это понятие вполне интегрируемой 1-формы ω , которое сводится к условию ω ∧ dω = 0, как указано выше. В этом контексте не существует метрики, а значит, нет и понятия «ортогональности».

См. также

• Векторное поле Бельтрами
• Консервативное векторное поле

Ссылки

• Арис, Резерфорд (1962). Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости . Перепечатано в 1989 году. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. ISBN.  0-486-66110-5 . Збл   0123.41502 .
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль ; Диллард-Блейк, Маргарет (1982). Анализ, многообразия и физика (второе издание оригинальной редакции 1977 г.). Амстердам – Нью-Йорк: издательства North-Holland Publishing Co. ISBN  0-444-86017-7 . МР   0685274 . Збл   0492.58001 .
• Фландрия, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дуврские книги по высшей математике (второе издание оригинального издания 1963 года). Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-66169-5 . МР   1034244 .
• Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 218 (Второе издание оригинальной редакции 2003 г.). Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN  978-1-4419-9981-8 . МР   2954043 . Збл   1258.53002 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company . ISBN  0-7503-0948-2 . МР   0418833 . Збл   1375.83002 .
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Том. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN  0-12-526740-1 . МР   0719023 . Збл   0531.53051 .
• Пантон, Рональд Л. (2013). Несжимаемый поток (Четвертое исправленное, расширенное и обновленное издание оригинального издания 1984 г.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons . ISBN  978-1-118-01343-4 . Збл   1275.76001 .
• Стефани, Ганс ; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембриджские монографии по математической физике (второе издание оригинального издания 1980 г.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511535185 . ISBN  0-521-46136-7 . МР   2003646 . Збл   1057.83004 .
• Трусделл, К. ; Тупен, Р. (1960). «Классические теории поля». Во Флюгге, С. (ред.). Основы классической механики и теории поля . Энциклопедия физики. Том. III/1. С приложением Дж. Л. Эриксена о тензорных полях . Берлин: Шпрингер . стр. 226–858. Бибкод : 1960HDP.....2..226T . дои : 10.1007/978-3-642-45943-6_2 . ISBN  978-3-540-02547-4 . МР   0118005 . Збл   0118.39702 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета . дои : 10.7208/Чикаго/9780226870373.001.0001 . ISBN  0-226-87032-4 . МР   0757180 . Збл   0549.53001 .