Векторное поле Бельтрами

В векторном исчислении векторное поле Бельтрами , названное в честь Эухенио Бельтрами , представляет собой векторное поле в трех измерениях, параллельное собственному ротору . То есть F — векторное поле Бельтрами при условии, что $$\mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$$

Таким образом $\mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ другими словами, являются параллельными векторами, $\nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F}$.

Если $\mathbf {F}$ является соленоидальным, то есть, если $\nabla \cdot \mathbf {F} =0$ например, для несжимаемой жидкости или магнитного поля, тождество $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )$ становится $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F}$ и это приводит к $$-\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )$$и если мы далее предположим, что $\lambda$ является константой, мы приходим к простой форме $$\nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .$$

Векторные поля Бельтрами с ненулевым ротором соответствуют евклидовым контактным формам в трех измерениях.

Векторное поле $$\mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {j}$$кратно стандартной контактной структуре − z   i + j и представляет собой пример векторного поля Бельтрами.

Поля Бельтрами и механика жидкости

Поля Бельтрами с постоянным коэффициентом пропорциональности представляют собой отдельную категорию векторных полей, которые действуют как собственные функции оператора ротора. По сути, это функции, которые отображают точки в трехмерном пространстве, либо в $\mathbb {R} ^{3}$ (евклидово пространство) или на плоском торе $\mathbb {T} ^{3}$, в другие точки того же пространства. Математически это можно представить как:

$u:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ (для евклидова пространства) или $u:\mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {T} ^{3}$ (для плоского тора).

Эти векторные поля уникальны из-за особой связи между ротором векторного поля $u$ и само поле. Эту зависимость можно выразить с помощью следующего уравнения:

$\nabla \times u=\lambda u$

В этом уравнении $\lambda$ — ненулевая константа, указывающая на то, что ротор векторного поля $u$ пропорциональна самому полю.

Поля Бельтрами актуальны в гидродинамике, поскольку они предлагают классическое семейство стационарных решений уравнения Эйлера в трех измерениях. Уравнения Эйлера описывают движение идеальной несжимаемой жидкости и могут быть записаны в виде системы двух уравнений:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u=-\nabla p,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}$Для стационарных течений, где поле скорости $u$ не меняется со временем, т.е. ${\frac {\partial u}{\partial t}}=0$, мы можем ввести функцию Бернулли , $B:=p+{\frac {1}{2}}\lVert u\rVert ^{2}$и завихренность , $\omega :=\nabla \times u$. Эти новые переменные упрощают уравнения Эйлера до следующей системы:

${\begin{cases}u\times \omega =\nabla B,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}$Упрощение возможно благодаря векторному тождеству , которое связывает конвективный член $(u\cdot \nabla )u$ к градиенту кинетической энергии и векторному произведению поля скорости и его ротора:

$(u\cdot \nabla )u={\frac {1}{2}}\nabla \lVert u\rVert ^{2}-u\times (\nabla \times u)$

Когда функция Бернулли $B$ является постоянным, поля Бельтрами становятся действительными решениями упрощенных уравнений Эйлера. Обратите внимание, что для того, чтобы доказательство работало, нам не обязательно, чтобы коэффициент пропорциональности был постоянным.

Поля Бельтрами и сложности механики жидкости

Поля Бельтрами тесно связаны с лагранжевой турбулентностью, как показали работы В.И. Арнольда о стационарных потоках Эйлера.

«Гипотеза» Арнольда

Цитата Арнольда из его вышеупомянутой работы подчеркивает возможную сложную топологию линий тока в полях Бельтрами, проводя параллели с небесной механикой:

Вполне вероятно, что выделения, такие как отрыжка $\nu =\lambda \nu$, $\lambda =Cte$, имеют текущие линии со сложной топологией. Такие сложности возникают в небесной механике. Топология линий тока стационарных течений вязких жидкостей может быть аналогична топологии небесной механики.

Предлагаемые решения

Недавняя статья демонстрирует, что поля Бельтрами с высокой вероятностью обнаруживают хаотические области и инвариантные торы сложной топологии. Анализ включает асимптотические оценки числа подков , нулей и завязанных инвариантных торов, а также периодических траекторий в гауссовских случайных полях Бельтрами.

См. также

• Поток Бельтрами
• Комплексное ламеллярное векторное поле
• Консервативное векторное поле

Библиография

• Арис, Резерфорд (1989), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Дувр, ISBN  0-486-66110-5
• Лахтакия, Ахлеш (1994), Поля Бельтрами в киральных средах , World Scientific, ISBN  981-02-1403-0
• Этнайр, Дж.; Грист, Р. (2000), «Контактная топология и гидродинамика. И. Поля Бельтрами и гипотеза Зейферта», Nonlinearity , 13 (2): 441–448, Bibcode : 2000Nonli..13..441E , doi : 10.1088/0951 -7715/13/2/306 .