Карта подковы

Не путать с теорией подковы .

Карта подковы Смейла   f   представляет собой композицию трех геометрических преобразований.

Смешивание настоящего шарика цветной замазки после последовательных итераций карты подковы Смейла.

В математике теории хаоса подковообразная карта — это любой член класса хаотических карт квадрата в себя. Это основной пример в изучении динамических систем . Карта была введена Стивеном Смейлом при изучении поведения орбит осциллятора Ван дер Поля . Действие карты определяется геометрически: сжимается квадрат, затем растягивается результат в длинную полосу и, наконец, складывается полоса в форме подковы.

Большинство точек со временем покидают квадрат под действием карты. Они идут к боковым заглушкам, где в ходе итерации сходятся к фиксированной точке в одной из заглушек. Точки, оставшиеся в квадрате при повторной итерации, образуют фрактальное множество и являются частью инвариантного множества карты.

Сжатие, растяжение и складывание подковообразной карты типичны для хаотических систем, но не являются необходимыми или даже достаточными.

В подковообразной карте сжатие и растяжение равномерны. Они компенсируют друг друга так, что площадь квадрата не меняется. Складывание сделано аккуратно, так что орбиты, навсегда оставшиеся в квадрате, можно просто описать.

Для карты-подковы:

• существует бесконечное число периодических орбит;
• существуют периодические орбиты сколь угодно большого периода;
• количество периодических орбит растет экспоненциально с периодом; и
• вблизи любой точки фрактального инвариантного множества находится точка периодической орбиты.

Карта-подкова

Подковообразное отображение   f   представляет собой диффеоморфизм , определенный из области S плоскости в себя. Область S представляет собой квадрат, увенчанный двумя полудисками. Кодомен $f$ («подкова») является собственным подмножеством своей области $S$. Действие   f   определяется через композицию трех геометрически определенных преобразований. Сначала квадрат сжимается в вертикальном направлении в коэффициент а < 1/2 ​ ​ . Колпачки сжимаются так, чтобы оставаться полудисками, прикрепленными к полученному прямоугольнику. Сжатие менее чем в половину гарантирует, что между ветвями подковы останется зазор. Затем прямоугольник растягивается по горизонтали в раз. 1 / а ; шапки остаются без изменений. полученную полоску сгибают в форме подковы и помещают обратно в S. Наконец ,

Интересная часть динамики — это изображение квадрата в себе. Как только эта часть определена, карту можно расширить до диффеоморфизма , определив его действие на шапочках. Колпачки сжимаются и в конечном итоге попадают внутрь одного из колпачков (левого на рисунке). Расширение f до заглавных букв добавляет фиксированную точку к неблуждающему множеству карты. Чтобы сохранить класс карт подковы простым, изогнутая область подковы не должна отображаться обратно в квадрат.

Отображение подковы взаимно однозначно, что означает, что обратное f ⁻¹ существует, если ограничиться образом S под   f .

Складывая сжатый и растянутый квадрат разными способами, возможны другие типы карт-подков.

Варианты карты-подковы

Чтобы карта оставалась взаимно однозначной, сжатый квадрат не должен перекрывать себя. При распространении действия на квадрате до диффеоморфизма продолжение не всегда можно осуществить на плоскости. Например, карту справа необходимо расширить до диффеоморфизма сферы, используя «шапку», охватывающую экватор.

Отображение подковы — это диффеоморфизм аксиомы А , который служит моделью общего поведения в трансверсальной гомоклинической точке , где пересекаются устойчивое и неустойчивое многообразия периодической точки.

Динамика карты

Карта-подкова была создана для воспроизведения хаотичной динамики потока в окрестности заданной периодической орбиты. Окрестность выбрана в виде небольшого диска, перпендикулярного орбите . По мере развития системы точки этого диска остаются близкими к заданной периодической орбите, отслеживая орбиты, которые в конечном итоге снова пересекают диск. Остальные орбиты расходятся.

Поведение всех орбит диска можно определить, рассматривая то, что происходит с диском. Пересечение диска с данной периодической орбитой возвращается в себя каждый период орбиты, как и точки в его окрестности. Когда это соседство возвращается, его форма меняется. Среди точек, вернувшихся внутрь диска, есть точки, которые покинут окрестность диска, и другие, которые продолжат возвращаться. Множество точек, никогда не покидающих окрестность данной периодической орбиты, образует фрактал.

Символическое имя можно дать всем орбитам, остающимся по соседству. Исходный диск окрестностей можно разделить на небольшое количество областей. Знание последовательности, в которой орбита посещает эти регионы, позволяет точно определить орбиту. Последовательность посещений орбит обеспечивает символическое представление динамики, известной как символическая динамика .

Орбиты

Можно описать поведение всех начальных условий карты-подковы. Начальная точка u ₀ = ( x , y ) отображается в точку u ₁ = f ( u ₀ ). Его итерацией является точка u ₂ = f ( u ₁ ) = f ² ( u ₀ ), а повторная итерация генерирует орбиту u ₀ , u ₁ , u ₂ , ...

При повторной итерации карты-подковы большинство орбит оказываются в фиксированной точке в левом верхнем углу. Это связано с тем, что подкова отображает левую вершину в себя с помощью аффинного преобразования , имеющего ровно одну фиксированную точку. Любая орбита, попадающая в левую крышку, никогда не покидает ее и сходится к фиксированной точке в левой границе во время итерации. Точки в правом колпаке на следующей итерации сопоставляются с левым колпачком, и большинство точек в квадрате сопоставляются с колпаками. При итерации большинство точек будут частью орбит, которые сходятся к фиксированной точке в левой заглушке, но некоторые точки квадрата никогда не покидают ее.

Итерация квадрата

Предварительные изображения квадратной области

При прямых итерациях карты-подковы исходный квадрат преобразуется в серию горизонтальных полос. Точки этих горизонтальных полос происходят из вертикальных полос исходного квадрата. Пусть S ₀ — исходный квадрат, отобразите его вперед n раз и рассматривайте только те точки, которые попадают обратно в квадрат S ₀ , который представляет собой набор горизонтальных полос.

$H_{n}=f^{n}(S_{0})\cap S_{0}.$

Точки на горизонтальных полосах взяты из вертикальных полос.

$V_{n}=f^{-n}(H_{n})$,

которые представляют собой горизонтальные полосы H _n, отображенные назад n раз. То есть точка в V _n за n итераций подковы окажется в множестве H _n вертикальных полос.

Инвариантный набор

Пересечения, сходящиеся к инвариантному множеству

Пример инвариантной меры

Если точка должна оставаться в квадрате неопределенное время, то она должна принадлежать множеству Λ, отображающемуся в себя. Необходимо определить, пусто ли это множество или нет. Вертикальные полосы V ₁ отображаются в горизонтальные полосы H ₁ , но не все точки V ₁ отображаются обратно в V ₁ . Только точки пересечения V 1 , что можно проверить , _и H 1 _могут принадлежать Λ проследив за точками за пределами пересечения еще одну итерацию.

Пересечение горизонтальной и вертикальной полос H _n ∩ V _n — это квадраты, которые в пределе n → ∞ сходятся к инвариантному множеству Λ (это множество представляет собой пересечение канторова множества вертикальных прямых с канторовым множеством горизонтальных прямых). ). Структуру этого множества можно лучше понять, если ввести систему меток для всех пересечений — символическую динамику.

Символическая динамика

Основные области карты подковы

Поскольку H _n ∩ V _n ⊂ V ₁ , любая точка, находящаяся в Λ при итерации, должна попасть в левую вертикальную полосу A из V ₁ или в правую вертикальную полосу B . Нижняя горизонтальная полоса H ₁ — это изображение A , а верхняя горизонтальная полоса — это изображение B , поэтому H ₁ = f(A) ∪ f(B) . Полоски A и B можно использовать для обозначения четырех квадратов на пересечении V ₁ и H ₁ :

${\begin{aligned}\Lambda _{A\bullet A}&=f(A)\cap A\\\Lambda _{A\bullet B}&=f(A)\cap B\\\Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}$

Множество Λ _B•A состоит из точек полосы A , которые находились в полосе B на предыдущей итерации. Точка используется для отделения области, в которой находится точка орбиты, от области, из которой она пришла.

Обозначение можно распространить на более высокие итерации карты-подковы. Вертикальные полосы могут быть названы в соответствии с последовательностью посещения полосы A или B. полосы Например, множество ABB ⊂ V ₃ состоит из точек из A , которые все попадут в B за одну итерацию и останутся в B на следующей итерации:

$ABB=\{x\in A\,|\,f(x)\in B\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,f_{2}(x)\in B\}.$

Движение назад от этой траектории определяет небольшую область, набор ABB , внутри V ₃ .

Горизонтальные полосы названы по прообразам их вертикальных полос. В этих обозначениях пересечение V ₂ и H ₂ состоит из 16 квадратов, один из которых —

$\Lambda _{AB\bullet BB}=f_{2}(AB)\cap BB.$

Все точки из Λ _AB•BB находятся в B и останутся в B еще как минимум на одну итерацию. Их предыдущая траектория перед приземлением в BB была A за которой следовала B. ,

Периодические орбиты

Любое из пересечений Λ _P•F горизонтальной полосы с вертикальной полосой, где P и F — последовательности A s и B s, является аффинным преобразованием небольшой области в V ₁ . Если P содержит k символов и если   f  ^{- к} (Λ _P•F ) и Λ _P•F пересекаются, область Λ _P•F будет иметь неподвижную точку. Это происходит, когда последовательность P совпадает F. с Например, Λ _ABAB•ABAB ⊂ V ₄ ∩ H ₄ имеет хотя бы одну неподвижную точку. Эта точка также совпадает с неподвижной точкой в ​​Λ _AB•AB . Включая все больше и больше AB в части P и F метки пересечения, площадь пересечения можно сделать настолько маленькой, насколько это необходимо. Он сходится к точке, которая является частью периодической орбиты подковообразной карты. Периодическую орбиту можно обозначить простейшей последовательностью A и B , которая обозначает одну из областей, которую периодически посещает орбита.

Для каждой последовательности A s и B s существует периодическая орбита.

См. также

• Карта Бейкера
• Карта Энона

Ссылки

• Дэвид Рюэль (2006). «Что такое странный аттрактор?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (7): 764–765.
• Стивен Смейл (1967). «Дифференцируемые динамические системы» . Бюллетень Американского математического общества . 73 (6): 747–817. дои : 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 .
• П. Цвитанович; Г. Гунаратне; И. Прокачча (1988). «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Энона». Физический обзор А. 38 (3): 1503–1520. Бибкод : 1988PhRvA..38.1503C . дои : 10.1103/PhysRevA.38.1503 . ПМИД   9900529 .
• Андре де Карвальо (1999). «Обрезка фронтов и формирование подков». Эргодическая теория и динамические системы . 19 (4): 851–894. arXiv : математика/9701217 . дои : 10.1017/S0143385799133972 . S2CID   17153861 .
• Андре де Карвальо; Тоби Холл (2002). «Как обрезать подкову» (PDF) . Нелинейность . 15 (3): С19–С68. Бибкод : 2002Nonli..15R..19D . дои : 10.1088/0951-7715/15/3/201 . S2CID   53417965 . Архивировано из оригинала (PDF) 02 марта 2019 г.

Внешние ссылки

• «Маленькая подкова» . Схоларпедия .
• Евгений Демидов (2007). «Гомоклинические структуры в стандартной карте» . ibiblio.org . Проверено 11 июля 2016 г.
• ChaosBook.org Глава «Растянуть, сложить, обрезать»
• ХАОС VI - Глава «Хаос и подкова» из фильма Хоса Лейса, Этьена Гиса и Орельена Альвареса «Хаос»
• Ричесон, Дэвид (2 марта 2022 г.). «Как математики понимают хаос» . Журнал Кванта .