Теорема Лиувилля (гамильтониан)

Эта статья о теореме Лиувилля в гамильтоновой механике. Чтобы узнать о других значениях, см. теорему Лиувилля .

В физике , названная в честь французского теорема Лиувилля математика Жозефа Лиувилля , является ключевой теоремой классической статистической и гамильтоновой механики . Он утверждает, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы , то есть плотность точек системы вблизи данной точки системы, проходящей через фазовое пространство, постоянна во времени. Эта независимая от времени плотность в статистической механике известна как классическая априорная вероятность .

Теорема Лиувилля применима к консервативным системам , то есть к системам, в которых эффекты трения отсутствуют или их можно игнорировать. Общей математической формулировкой таких систем является динамическая система, сохраняющая меру . Теорема Лиувилля применяется, когда существуют степени свободы, которые можно интерпретировать как положения и импульсы; не все динамические системы, сохраняющие меру, имеют их, но есть гамильтоновы системы. Общие настройки для сопряженных координат положения и импульса доступны в математической настройке симплектической геометрии . Теорема Лиувилля игнорирует возможность химических реакций , в которых общее число частиц может меняться с течением времени или где энергия может передаваться внутренним степеням свободы . Существуют расширения теоремы Лиувилля для охвата этих различных обобщенных ситуаций, включая стохастические системы.

Уравнение Лиувилля

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Каждая система состоит из одной массивной частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). В то время как движение отдельного члена ансамбля задается уравнениями Гамильтона , уравнение Лиувилля описывает поток всего распределения. Это движение аналогично движению красителя в несжимаемой жидкости.

Уравнение Лиувилля описывает временную эволюцию в фазовом пространстве функции распределения . Хотя это уравнение обычно называют «уравнением Лиувилля», Джозайя Уиллард Гиббс был первым, кто осознал важность этого уравнения как фундаментального уравнения статистической механики. Его называют уравнением Лиувилля, потому что при его выводе для неканонических систем используется тождество, впервые полученное Лиувиллем в 1838 году. Рассмотрим гамильтонову динамическую систему с каноническими координатами $q_{i}$ и сопряженные импульсы $p_{i}$, где $i=1,\dots ,n$. Тогда распределение в фазовом пространстве $\rho (p,q)$ определяет вероятность $\rho (p,q)\;\mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p$ что система будет находиться в бесконечно малом объеме фазового пространства $\mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p$. Уравнение Лиувилля управляет эволюцией $\rho (p,q;t)$ вовремя $t$:

${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0.$

Производные по времени обозначены точками и оцениваются в соответствии с уравнениями Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве (так Гиббс назвал теорему). Теорема Лиувилля утверждает, что

Функция распределения постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Доказательство теоремы Лиувилля использует теорему о n -мерной расходимости . Это доказательство основано на том факте, что эволюция $\rho$ подчиняется 2n -мерной версии уравнения неразрывности :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0.$

То есть тройка $(\rho ,\rho {\dot {q}}_{i},\rho {\dot {p}}_{i})$ представляет собой сохраняющийся ток . Обратите внимание, что разница между этим уравнением и уравнением Лиувилля заключается в членах

$\rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,$

где $H$ – гамильтониан, и где производные $\partial {\dot {q}}_{i}/\partial q_{i}$ и $\partial {\dot {p}}_{i}/\partial p_{i}$ были оценены с использованием уравнений движения Гамильтона. То есть, рассматривая движение в фазовом пространстве как «поток жидкости» точек системы, теорема о том, что конвективная производная плотности, $d\rho /dt$, равно нулю, следует из уравнения непрерывности, если отметить, что «поле скорости» $({\dot {p}},{\dot {q}})$ в фазовом пространстве имеет нулевую расходимость (что следует из соотношений Гамильтона).

Другие составы

скобка Пуассона

Приведенную выше теорему часто переформулируют в терминах скобки Пуассона как

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\{\,H,\rho \,\}$

или, в терминах линейного оператора Лиувилля или лиувиллиана ,

$\mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=-\{H,\bullet \}$

как

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}}\rho =0.$

Эргодическая теория

В эргодической теории и динамических системах , мотивированных приведенными до сих пор физическими соображениями, существует соответствующий результат, также называемый теоремой Лиувилля. В гамильтоновой механике фазовое пространство представляет собой гладкое многообразие , которое естественным образом снабжено гладкой мерой (локально эта мера представляет собой 6 n -мерную меру Лебега ). Теорема утверждает, что эта гладкая мера инвариантна относительно гамильтонова потока . В более общем смысле можно описать необходимое и достаточное условие, при котором гладкая мера инвариантна относительно потока. . Тогда гамильтонов случай становится следствием.

Симплектическая геометрия

Мы также можем сформулировать теорему Лиувилля в терминах симплектической геометрии . Для данной системы мы можем рассмотреть фазовое пространство $(q^{\mu },p_{\mu })$ конкретного гамильтониана $H$ как многообразие $(M,\omega )$ наделенный симплектической 2-формой

$\omega =dp_{\mu }\wedge dq^{\mu }.$

Форма объёма нашего многообразия — это верхняя внешняя степень симплектической 2-формы и просто ещё одно представление меры в фазовом пространстве, описанное выше.

На нашем симплектическом многообразии фазового пространства мы можем определить гамильтоново векторное поле, порожденное функцией $f(q,p)$ как

$X_{f}={\frac {\partial f}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}.$

В частности, когда производящей функцией является сам гамильтониан, $f(q,p)=H$, мы получаем

$X_{H}={\frac {\partial H}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {dq^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}+{\frac {dp^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {d}{dt}}$

где мы использовали уравнения движения Гамильтона и определение цепного правила.

В этом формализме теорема Лиувилля утверждает, что производная Ли формы объема равна нулю вдоль потока, порождаемого $X_{H}$. То есть для $(M,\omega )$ 2n-мерное симплектическое многообразие,

${\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega ^{n})=0.$

Действительно, симплектическая структура $\omega$ сохраняется не только его высшая внешняя мощь. То есть теорема Лиувилля также дает

${\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega )=0.$

Квантовое уравнение Лиувилля

Аналог уравнения Лиувилля в квантовой механике описывает эволюцию во времени смешанного состояния . Каноническое квантование дает квантовомеханическую версию этой теоремы — уравнение фон Неймана . Эта процедура, часто используемая для создания квантовых аналогов классических систем, включает описание классической системы с использованием гамильтоновой механики. Классические переменные тогда переинтерпретируются как квантовые операторы, а скобки Пуассона заменяются коммутаторами . В этом случае полученное уравнение имеет вид

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],$

где ρ — матрица плотности .

Применительно к математическому соответствующее уравнение ожиданию наблюдаемой дается теоремой Эренфеста и принимает форму

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,A]\rangle ,$

где $A$ является наблюдаемым. Обратите внимание на разницу знаков, которая следует из предположения, что оператор стационарен, а состояние зависит от времени.

В в фазовом пространстве формулировке квантовой механики замена скобок Пуассона на скобки Мойала в фазовом аналоге уравнения фон Неймана приводит к сжимаемости вероятностной жидкости и, следовательно, к нарушению несжимаемости теоремы Лиувилля. Это приводит к сопутствующим трудностям в определении значимых квантовых траекторий.

Примеры

Фазовый объем ШО

Временная эволюция фазового пространства для простого гармонического осциллятора (ПГО). Вот мы взяли $m=\omega =1$ и рассматриваем регион $p,q\in [-1,1]$.

Рассмотрим $N$-систему частиц в трех измерениях и сосредоточить внимание только на эволюции $\mathrm {d} {\mathcal {N}}$ частицы. В фазовом пространстве эти $\mathrm {d} {\mathcal {N}}$ частицы занимают бесконечно малый объем, определяемый формулой

$\mathrm {d} \Gamma =\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}p_{i}d^{3}q_{i}.$

Мы хотим ${\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}$ оставаться неизменным во времени, так что $\rho (\Gamma ,t)$ постоянна вдоль траекторий системы. Если мы позволим нашим частицам развиваться с бесконечно малым шагом по времени $\delta t$, мы видим, что положение каждой частицы в фазовом пространстве меняется как

${\begin{cases}q_{i}'=q_{i}+{\dot {q_{i}}}\delta t,\\p_{i}'=p_{i}+{\dot {p_{i}}}\delta t,\end{cases}}$

где ${\dot {q_{i}}}$ и ${\dot {p_{i}}}$ обозначать ${\frac {dq_{i}}{dt}}$ и ${\frac {dp_{i}}{dt}}$ соответственно, и мы сохранили члены только линейными по $\delta t$. Распространение этого на наш бесконечно малый гиперкуб $\mathrm {d} \Gamma$, длины сторон изменяются как

${\begin{cases}dq_{i}'=dq_{i}+{\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\delta t,\\dp_{i}'=dp_{i}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}dp_{i}\delta t.\end{cases}}$

Чтобы найти новый бесконечно малый объем фазового пространства $\mathrm {d} \Gamma '$, нам нужен продукт указанных выше количеств. Для первого заказа в $\delta t$, мы получаем следующее:

$dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].$

Пока что нам еще предстоит дать какие-либо характеристики нашей системы. Давайте теперь специализируемся на случае $N$ $3$-мерные изотропные гармонические осцилляторы. То есть каждую частицу в нашем ансамбле можно рассматривать как простой гармонический осциллятор . Гамильтониан для этой системы имеет вид

$H=\displaystyle \sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {1}{2m}}p_{i}^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q_{i}^{2}\right).$

Используя уравнения Гамильтона с приведенным выше гамильтонианом, мы находим, что член в скобках выше тождественно равен нулю, что дает

$dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}.$

Отсюда мы можем найти бесконечно малый объем фазового пространства:

$\mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma .$

Таким образом, мы в конечном итоге обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства не изменился, что дает

$\rho (\Gamma ',t+\delta t)={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma '}}={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}=\rho (\Gamma ,t),$

демонстрируя, что для этой системы справедлива теорема Лиувилля.

Остается вопрос о том, как на самом деле изменяется объем фазового пространства во времени. Выше мы показали, что общий объем сохраняется, но ничего не сказали о том, как он выглядит. Для одиночной частицы мы видим, что ее траектория в фазовом пространстве задается эллипсом постоянной $H$. Явным образом можно решить уравнения Гамильтона для системы и найти

${\begin{aligned}q_{i}(t)&=Q_{i}\cos {\omega t}+{\frac {P_{i}}{m\omega }}\sin {\omega t},\\p_{i}(t)&=P_{i}\cos {\omega t}-m\omega Q_{i}\sin {\omega t},\end{aligned}}$

где $Q_{i}$ и $P_{i}$ обозначают начальное положение и импульс $i$-я частица. Для системы из нескольких частиц каждая из них будет иметь траекторию в фазовом пространстве, описывающую эллипс, соответствующий энергии частицы. Частота, с которой прослеживается эллипс, определяется выражением $\omega$ в гамильтониане, независимо от каких-либо различий в энергии. В результате область фазового пространства будет просто вращаться вокруг точки $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=(0,0)$ с частотой, зависящей от $\omega$. Это можно увидеть на анимации выше.

Затухающий гармонический генератор

Эволюция фазового объема затухающего гармонического осциллятора. Используются те же значения параметров, что и в случае SHO, при этом $\gamma =0.5\ (\alpha =0.25)$.

Чтобы увидеть пример, в котором теорема Лиувилля не применима, мы можем изменить уравнения движения простого гармонического осциллятора, чтобы учесть эффекты трения или демпфирования. Рассмотрим еще раз систему $N$ частицы каждая в $3$-мерный изотропный гармонический потенциал, гамильтониан для которого приведен в предыдущем примере. На этот раз мы добавим условие, что каждая частица испытывает силу трения. $-\gamma p_{i}$, где $\gamma$ – положительная константа, определяющая величину трения. Поскольку это неконсервативная сила , нам нужно расширить уравнения Гамильтона как

${\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\\{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-\gamma p_{i}.\end{aligned}}$

В отличие от уравнений движения простого гармонического осциллятора эти модифицированные уравнения не принимают форму уравнений Гамильтона, и поэтому мы не ожидаем справедливости теоремы Лиувилля. Вместо этого, как показано на анимации в этом разделе, общий объем фазового пространства будет сжиматься по мере его развития в соответствии с этими уравнениями движения.

Чтобы увидеть это нарушение теоремы Лиувилля явно, мы можем следовать процедуре, очень похожей на случай незатухающего гармонического осциллятора, и мы снова приходим к

$dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].$

Подставляя наши модифицированные уравнения Гамильтона, мы находим

${\begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}-\gamma \right)\delta t\right],\\&=dq_{i}dp_{i}\left[1-\gamma \delta t\right].\end{aligned}}$

Вычисляем наш новый бесконечно малый объем фазового пространства и сохраняем только первый порядок в $\delta t$ мы находим следующий результат:

$\mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\left[1-\gamma \delta t\right]^{3N}\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma \left[1-3N\gamma \delta t\right].$

Мы обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства больше не является постоянным, и, следовательно, плотность фазового пространства не сохраняется. Как видно из уравнения, с увеличением времени мы ожидаем, что объем нашего фазового пространства уменьшится до нуля, поскольку на систему воздействует трение.

Что касается того, как объем фазового пространства развивается во времени, то у нас все равно будет постоянное вращение, как и в незатухающем случае. Однако затухание приведет к постепенному уменьшению радиусов каждого эллипса. Мы снова можем найти траектории явно, используя уравнения Гамильтона, стараясь использовать модифицированные, приведенные выше. Сдача в аренду $\alpha \equiv {\frac {\gamma }{2}}$ для удобства находим

${\begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[Q_{i}\cos {\omega _{1}t}+B_{i}\sin {\omega _{1}t}\right]&&\omega _{1}\equiv {\sqrt {\omega ^{2}-\alpha ^{2}}},\\p_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[P_{i}\cos {\omega _{1}t}-m(\omega _{1}Q_{i}+2\alpha B_{i})\sin {\omega _{1}t}\right]&&B_{i}\equiv {\frac {1}{\omega _{1}}}\left({\frac {P_{i}}{m}}+2\alpha Q_{i}\right),\end{aligned}}$

где значения $Q_{i}$ и $P_{i}$ обозначают начальное положение и импульс $i$-я частица. По мере развития системы общий объем фазового пространства будет приближаться к началу координат. Это можно увидеть на рисунке выше.

Примечания

• Уравнение Лиувилля справедливо как для равновесных, так и для неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики .
• Уравнение Лиувилля является неотъемлемой частью доказательства флуктуационной теоремы , из которой второй закон термодинамики можно вывести . Это также ключевой компонент при выводе соотношений Грина-Кубо для линейных коэффициентов переноса, таких как сдвиговая вязкость , теплопроводность или электропроводность .
• Практически любой учебник по гамильтоновой механике , продвинутой статистической механике или симплектической геометрии выводит теорему Лиувилля.
• В физике плазмы уравнение Власова можно интерпретировать как теорему Лиувилля, сводящую задачу решения уравнения Власова к задаче движения одиночной частицы. Используя таким образом теорему Лиувилля с сохранением энергии или магнитного момента, например, можно определить неизвестные поля, используя известные функции распределения частиц, или наоборот. Этот метод известен как отображение Лиувилля.

См. также

• Уравнение переноса Больцмана
• Алгоритм обратимого распространения эталонной системы (r-RESPA)

Дальнейшее чтение

• Муругешан, Р. Современная физика . С. Чанд.
• Миснер; Торн; Уилер (1973). «Кинетическая теория в искривленном пространстве-времени» . Гравитация . Фриман. стр. 583–590. ISBN  9781400889099 .

Внешние ссылки

• «Функции распределения в фазовом пространстве и теорема Лиувилля» .