Канонические координаты

В математике и классической механике канонические координаты — это наборы координат в фазовом пространстве , которые можно использовать для описания физической системы в любой заданный момент времени. Канонические координаты используются в гамильтоновой формулировке классической механики . Близкая концепция также появляется в квантовой механике ; см . в теореме Стоуна-фон Неймана и канонических коммутационных соотношениях подробности .

Поскольку гамильтонова механика обобщается симплектической геометрией , а канонические преобразования обобщаются контактными преобразованиями в классической механике может быть обобщено до более абстрактного определения координат 20 века на кокасательном расслоении многообразия , определение канонических координат 19 века (математическое понятие фазового пространства).

Определение в классической механике

В классической механике каноническими координатами являются координаты $q^{i}$ и $p_{i}$ в фазовом пространстве , которые используются в гамильтоновом формализме. Канонические координаты удовлетворяют фундаментальным соотношениям скобок Пуассона :

\left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}

Типичный пример канонических координат: $q^{i}$ быть обычными декартовыми координатами , и $p_{i}$ быть компонентами импульса . Следовательно, в целом $p_{i}$ координаты называются «сопряженными импульсами».

Канонические координаты могут быть получены из координат лагранжева обобщенных формализма преобразованием Лежандра или из другого набора канонических координат каноническим преобразованием .

Определение котангенсных расслоений

Канонические координаты определяются как специальный набор на кокасательном расслоении многообразия . координат Обычно они записываются как набор $\left(q^{i},p_{j}\right)$ или $\left(x^{i},p_{j}\right)$ где x координаты или q обозначают на основном многообразии, а p обозначают сопряженный импульс , которые являются 1-формами в кокасательном расслоении в точке q многообразия.

Общее определение канонических координат - это любой набор координат на кокасательном расслоении, который позволяет каноническую одну форму записать в виде

\sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}

до полного дифференциала. Изменение координат, сохраняющее эту форму, есть каноническое преобразование ; это частный случай симплектоморфизма , который по существу является заменой координат на симплектическом многообразии .

В следующем изложении мы предполагаем, что многообразия являются действительными многообразиями, так что кокасательные векторы, действующие на касательные векторы, производят действительные числа.

Формальное развитие

Для данного многообразия $Q$ векторное поле $X$ на $Q$ ( часть касательного расслоения $TQ$ ) можно рассматривать как функцию, действующую на кокасательное расслоение , в силу двойственности между касательным и кокасательным пространствами. То есть определить функцию

P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R}

такой, что

P_{X}(q,p)=p(X_{q})

справедливо для всех котангенс векторов $p$ в $T_{q}^{*}Q$ . Здесь, $X_{q}$ является вектором в $T_{q}Q$ , касательное пространство к многообразию $Q$ в точке $q$ . Функция $P_{X}$ называется функцией импульса, соответствующей $X$ .

В локальных координатах векторное поле $X$ в точке $q$ можно записать как

X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}

где $\partial /\partial q^{i}$ являются системой координат на $TQ$ . Тогда сопряженный импульс имеет выражение

P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}

где $p_{i}$ определяются как функции импульса, соответствующие векторам $\partial /\partial q^{i}$ :

p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}

The $q^{i}$ вместе с $p_{j}$ вместе образуют систему координат на коткасательном расслоении $T^{*}Q$ ; эти координаты называются каноническими координатами .

Обобщенные координаты

В лагранжевой механике используется другой набор координат, называемый обобщенными координатами . Их обычно обозначают как $\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ с $q^{i}$ называется обобщенным положением и ${\dot {q}}^{i}$ обобщенная скорость . Когда на кокасательном расслоении определен гамильтониан , то обобщенные координаты связаны с каноническими координатами посредством уравнений Гамильтона – Якоби .

См. также

Ссылки

Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший ; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. стр. 347–349. ISBN 0-201-65702-3 .
Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X См. раздел 3.2 .