Каноническая квантовая гравитация

В физике каноническая квантовая гравитация — это попытка квантовать каноническую формулировку общей теории относительности (или канонической гравитации ). Это гамильтонова формулировка Эйнштейна общей теории относительности . Основная теория была изложена Брайсом ДеВиттом. ^[1] в основополагающей статье 1967 года, основанной на более ранней работе Питера Г. Бергманна. ^[2] используя так называемые методы канонического квантования для гамильтоновых систем с ограничениями, изобретенные Полем Дираком . ^[3] Подход Дирака позволяет квантовать системы, которые включают калибровочные симметрии , используя гамильтоновы методы при фиксированном выборе калибровки . Новые подходы, частично основанные на работах Девитта и Дирака, включают состояние Хартла-Хокинга , исчисление Редже , уравнение Уиллера-ДеВитта и петлевую квантовую гравитацию .

Каноническое квантование

В гамильтоновой формулировке обычной классической механики важным понятием является скобка Пуассона. «Каноническая система координат» состоит из канонических переменных положения и импульса, которые удовлетворяют каноническим соотношениям скобок Пуассона: $\{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}$ где скобка Пуассона определяется выражением $\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).$ для произвольных функций фазового пространства $f(q_{i},p_{j})$ и $g(q_{i},p_{j})$ . С помощью скобок Пуассона уравнения Гамильтона можно переписать в виде: ${\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},$ ${\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.$

Эти уравнения описывают «поток» или орбиту в фазовом пространстве, порожденную гамильтонианом. $H$ . Учитывая любую функцию фазового пространства $F(q,p)$ , у нас есть ${d \over dt}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.$

При каноническом квантовании переменные фазового пространства преобразуются в квантовые операторы в гильбертовом пространстве , а скобка Пуассона между переменными фазового пространства заменяется каноническим коммутационным соотношением: $[{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar .$

В так называемом позиционном представлении это коммутационное соотношение реализуется выбором: ${\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)$ и ${\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar {d \over dq}\psi (q)$

Динамика описывается уравнением Шрёдингера: $i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ={\hat {H}}\psi$ где ${\hat {H}}$ – оператор, образованный из гамильтониана $H(q,p)$ с заменой $q\mapsto q$ и $p\mapsto -i\hbar {d \over dq}$ .

Каноническое квантование с ограничениями

Каноническая классическая общая теория относительности является примером полностью ограниченной теории. В теориях с ограничениями существуют разные виды фазового пространства: неограниченное (также называемое кинематическим) фазовое пространство, в котором определены функции ограничений, и сокращенное фазовое пространство, в котором ограничения уже решены. Для канонического квантования в общих чертах фазовое пространство заменяется соответствующим гильбертовым пространством , а переменные фазового пространства должны быть повышены до квантовых операторов.

В подходе Дирака к квантованию неограниченное фазовое пространство заменяется так называемым кинематическим гильбертовым пространством, а функции ограничений заменяются операторами ограничений, реализованными в кинематическом гильбертовом пространстве; Затем ищутся решения. Эти уравнения квантовых ограничений являются центральными уравнениями канонической квантовой общей теории относительности, по крайней мере, в подходе Дирака, который обычно используется.

В теориях с ограничениями существует также квантование сокращенного фазового пространства, при котором ограничения решаются на классическом уровне, а переменные фазового пространства сокращенного фазового пространства затем преобразуются в квантовые операторы, однако этот подход считался невозможным в общей теории относительности, поскольку казалось, что это эквивалентно поиску общего решения классических уравнений поля. Однако с довольно недавней разработкой Бьянкой Диттрих систематической аппроксимационной схемы расчета наблюдаемых общей теории относительности (впервые) на основе идей, представленных Карло Ровелли, была разработана жизнеспособная схема квантования гравитации в сокращенном фазовом пространстве. Томас Тиманн. Однако оно не полностью эквивалентно квантованию Дирака, поскольку «часовые переменные» должны считаться классическими при квантовании сокращенного фазового пространства, в отличие от случая квантования Дирака.

Распространенным заблуждением является то, что координатные преобразования — это калибровочные симметрии общей теории относительности, тогда как на самом деле истинные калибровочные симметрии — это диффеоморфизмы, определенные математиком (см. аргумент Холе ), которые гораздо более радикальны. Ограничениями первого класса общей теории относительности являются ограничение пространственного диффеоморфизма и ограничение Гамильтона (также известное как уравнение Уиллера – Де Витта) и они накладывают отпечаток пространственной и временной диффеоморфной инвариантности теории соответственно. Наложение этих ограничений в классическом понимании является, по сути, условием допустимости исходных данных, а также порождает уравнения «эволюции» (на самом деле калибровочные преобразования) через скобку Пуассона. Важно отметить, что алгебра скобок Пуассона между ограничениями полностью определяет классическую теорию – это то, что должно каким-то образом быть воспроизведено в полуклассическом пределе канонической квантовой гравитации, чтобы она стала жизнеспособной теорией квантовой гравитации.

В подходе Дирака оказывается, что квантовые ограничения первого класса, налагаемые на волновую функцию, также порождают калибровочные преобразования. Таким образом, двухшаговый процесс в классической теории решения ограничений $C_{I}=0$ (эквивалентно решению условий допустимости исходных данных) и поиск калибровочных орбит (решение уравнений "эволюции") заменяется одношаговым процессом в квантовой теории, а именно поиском решений $\Psi$ квантовых уравнений ${\hat {C}}_{I}\Psi =0$ . Это связано с тем, что он, очевидно, решает ограничение на квантовом уровне и одновременно ищет состояния, которые являются калибровочно-инвариантными, поскольку ${\hat {C}}_{I}$ – квантовый генератор калибровочных преобразований. На классическом уровне решение условий допустимости и уравнений эволюции эквивалентно решению всех уравнений поля Эйнштейна, что подчеркивает центральную роль уравнений квантовых ограничений в подходе Дирака к канонической квантовой гравитации.

Каноническое квантование, диффеоморфизм-инвариантность и явная конечность

Диффеоморфизм можно рассматривать как одновременное «перетаскивание» полей метрики (гравитационного поля) и материи по голому многообразию, оставаясь при этом в той же системе координат, и поэтому он более радикален, чем инвариантность при простом преобразовании координат. Эта симметрия возникает из тонкого требования, согласно которому законы общей теории относительности не могут зависеть от какой-либо априорно заданной геометрии пространства-времени.

Эта инвариантность диффеоморфизма имеет важное следствие: каноническая квантовая гравитация будет явно конечной, поскольку способность «перетаскивать» метрическую функцию по голому многообразию означает, что малые и большие «расстояния» между абстрактно определенными координатными точками калибровочно эквивалентны! Более строгий аргумент представил Ли Смолин:

«Независимый от фона оператор всегда должен быть конечным. Это связано с тем, что в процедуре регуляризации масштаб регулятора и фоновая метрика всегда вводятся вместе. Это необходимо, поскольку масштаб, к которому относится параметр регуляризации, должен быть описан в терминах фоновой метрики или координатной карты, введенной при построении регулируемого оператора. В связи с этим зависимость регулируемого оператора от среза, или параметра регулятора, связана с его зависимостью от фоновой метрики. Когда кто-то принимает предел параметра регулятора, приближающийся к нулю, он изолирует ненулевые члены. Если они имеют какую-либо зависимость от параметра регулятора (что было бы в случае, если член раздувается), то они также должны зависеть от фоновой метрики. И наоборот, если члены, ненулевые в пределе удаления регулятора, не зависят от фоновой метрики, она должна быть конечной».

Фактически, как упоминается ниже, Томас Тиманн явно продемонстрировал, что петлевая квантовая гравитация (хорошо развитая версия канонической квантовой гравитации) явно конечна даже в присутствии всех форм материи! ^{[ нужна ссылка ]} Поэтому нет необходимости в перенормировке и исключении бесконечностей. Однако в другой работе Томас Тиманн признал необходимость перенормировки как способа устранения неоднозначностей квантования. ^[1]

В пертурбативной квантовой гравитации (от которой происходят аргументы о неперенормировке), как и в любой пертурбативной схеме, делается разумное предположение, что пространство-время в больших масштабах должно хорошо аппроксимироваться плоским пространством; на этом примерно плоском фоне рассеиваются гравитоны и обнаруживается, что их амплитуда рассеяния имеет расходимости, которые не могут быть учтены при переопределении постоянной Ньютона. Теоретики канонической квантовой гравитации не принимают этот аргумент; однако они до сих пор не предоставили альтернативного расчета амплитуды рассеяния гравитонов, который можно было бы использовать, чтобы понять, что происходит с членами, оказавшимися неперенормируемыми в пертурбативной трактовке. Давнее ожидание состоит в том, что в теории квантовой геометрии, такой как каноническая квантовая гравитация, геометрические величины, такие как площадь и объем, становятся квантовыми наблюдаемыми и принимают ненулевые дискретные значения, обеспечивая естественный регулятор, который исключает бесконечности из теории, включая те, которые приходят. от материальных вкладов. Такое "квантование" геометрических наблюдаемых фактически реализуется в петлевой квантовой гравитации (ПКГ).

Каноническое квантование в метрических переменных

Квантование основано на разложении метрического тензора следующим образом: $g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}\,dx^{k}\,dt+\gamma _{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}$ суммирование по повторяющимся индексам где подразумевается , индекс 0 обозначает время $\tau =x^{0}$ , греческие индексы пробегают все значения 0, . . . ,3 и латинские индексы пробегают пространственные значения 1, . . ., 3. Функция $N$ называется функцией отклонения , а функции $\beta _{k}$ называются функциями сдвига. Пространственные индексы повышаются и понижаются с использованием пространственной метрики $\gamma _{ij}$ и его инверсия $\gamma ^{ij}$ : $\gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}$ и $\beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}$ , $\gamma =\det \gamma _{ij}$ , где $\delta$ это дельта Кронекера . При таком разложении лагранжиан Эйнштейна-Гильберта становится производных с точностью до полных $L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)$ где ${}^{(3)}R$ — пространственная скалярная кривизна, вычисленная относительно римановой метрики $\gamma _{ij}$ и $K_{ij}$ внешняя кривизна , $K_{ij}=-{\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}_{n}\gamma )_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial t}}\right),$ где ${\mathcal {L}}$ обозначает Ли-дифференцирование, $n$ - единица нормали к поверхностям постоянного $t$ и $\nabla _{i}$ обозначает ковариантное дифференцирование по метрике $\gamma _{ij}$ . Обратите внимание, что $\gamma _{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+n_{\mu }n_{\nu }$ . ДеВитт пишет, что лагранжиан «имеет классическую форму «кинетическая энергия минус потенциальная энергия», при этом внешняя кривизна играет роль кинетической энергии, а отрицательная часть внутренней кривизны — потенциальной энергии». Хотя эта форма лагранжиана явно инвариантна при переопределении пространственных координат, она делает общую ковариацию непрозрачной.

Поскольку функцию отклонения и функции сдвига можно исключить с помощью калибровочного преобразования , они не представляют физических степеней свободы. На это указывает при переходе к гамильтонову формализму тот факт, что их сопряженные импульсы соответственно $\pi$ и $\pi ^{i}$ , исчезают одинаково ( в оболочке и вне оболочки ). назвал их первичными ограничениями Дирак . Популярный манометр, называемый синхронным манометром , $N=1$ и $\beta _{i}=0$ , хотя в принципе их можно выбрать в качестве любой функции координат. В этом случае гамильтониан принимает вид $H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},$ где ${\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R$ и $\pi ^{ij}$ является импульсом, сопряженным с $\gamma _{ij}$ . Уравнения Эйнштейна можно восстановить, взяв скобки Пуассона с гамильтонианом. Дополнительные ограничения на оболочке, называемые Дираком вторичными ограничениями , возникают из-за непротиворечивости алгебры скобок Пуассона. Это ${\mathcal {H}}=0$ и $\nabla _{j}\pi ^{ij}=0$ . Это теория, которая квантуется в подходах к канонической квантовой гравитации.

Можно показать, что шесть уравнений Эйнштейна, описывающих эволюцию во времени (на самом деле калибровочное преобразование), могут быть получены путем вычисления скобок Пуассона трехметрики и сопряженного ей импульса с помощью линейной комбинации пространственного диффеоморфизма и гамильтоновых ограничений. Исчезновение ограничений, создающее физическое фазовое пространство, — это четыре других уравнения Эйнштейна. То есть мы имеем:

Ограничения пространственных диффеоморфизмов $C_{a}(x)=0$ которых существует бесконечное количество – один стоимостью $x$ , может быть размазано так называемыми функциями сдвига ${\vec {N}}(x)$ чтобы дать эквивалентный набор размытых ограничений пространственного диффеоморфизма, $C({\vec {N}})=\int d^{3}x\,C_{a}(x)N^{a}(x).$

Они генерируют пространственные диффеоморфизмы вдоль орбит, определяемых функцией сдвига $N^{a}(x)$ .

гамильтоновы ограничения $H(x)=0$ которых существует бесконечное множество, могут быть размазаны так называемыми функциями отклонения $N(x)$ чтобы дать эквивалентный набор размазанных гамильтоновых ограничений, $H(N)=\int d^{3}x\,H(x)N(x).$

как упоминалось выше, структура скобок Пуассона между (размазанными) ограничениями важна, поскольку они полностью определяют классическую теорию и должны быть воспроизведены в квазиклассическом пределе любой теории квантовой гравитации.

Уравнение Уиллера – ДеВитта

Уравнение Уиллера-ДеВитта (иногда называемое гамильтоновым ограничением, иногда уравнением Эйнштейна-Шредингера) занимает центральное место, поскольку оно кодирует динамику на квантовом уровне. Оно аналогично уравнению Шредингера, за исключением временной координаты: $t$ , нефизична, физическая волновая функция не может зависеть от $t$ и, следовательно, уравнение Шредингера сводится к ограничению:

{\hat {H}}\Psi =0.

Использование метрических переменных приводит к, казалось бы, непреодолимым математическим трудностям при попытке превратить классическое выражение в четко определенный квантовый оператор, и поэтому прошли десятилетия, а этот подход не добился прогресса. Эту проблему удалось обойти, и формулировка четко определенного уравнения Уиллера-Де-Витта была впервые достигнута с введением переменных Аштекара-Барберо и петлевого представления , этого четко определенного оператора, сформулированного Томасом Тиманном. ^[4].

До этого развития уравнение Уиллера-Де-Витта было сформулировано только в моделях с пониженной симметрией, таких как квантовая космология.

Каноническое квантование в переменных Аштекара – Барберо и LQG

Многие технические проблемы канонической квантовой гравитации вращаются вокруг ограничений. Каноническая общая теория относительности изначально была сформулирована в терминах метрических переменных, но, казалось, существовали непреодолимые математические трудности при наложении ограничений на квантовые операторы из-за их сильно нелинейной зависимости от канонических переменных. Уравнения были значительно упрощены с введением новых переменных Аштекарса. Переменные Аштекара описывают каноническую общую теорию относительности в терминах новой пары канонических переменных, более близких к переменным калибровочных теорий. При этом он ввел дополнительное ограничение, помимо пространственного диффеоморфизма и ограничения Гамильтона, - калибровочное ограничение Гаусса.

Петлевое представление — это квантовое гамильтоново представление калибровочных теорий в терминах петель. Цель петлевого представления в контексте теорий Янга – Миллса состоит в том, чтобы избежать избыточности, вносимой калибровочными симметриями Гаусса, позволяя работать непосредственно в пространстве гауссовских калибровочно-инвариантных состояний. Использование этого представления естественным образом возникло из представления Аштекара – Барберо, поскольку оно обеспечивает точное непертурбативное описание, а также потому, что в этом представлении легко справиться с ограничением пространственного диффеоморфизма.

В рамках петлевого представления Тиманн предоставил четко определенную каноническую теорию присутствия всех форм материи и явно продемонстрировал ее явно конечную конечность! Поэтому нет необходимости в перенормировке . Однако, поскольку подход LQG хорошо подходит для описания физики в масштабе Планка, существуют трудности с установлением контакта с известной физикой низких энергий и установлением того, что она имеет правильный квазиклассический предел.

Проблема времени

Все канонические теории общей теории относительности сталкиваются с проблемой времени . В квантовой гравитации проблема времени представляет собой концептуальный конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой. В канонической общей теории относительности время — это просто еще одна координата в результате общей ковариантности . В квантовых теориях поля, особенно в гамильтоновой формулировке, формулировка разделена на три измерения пространства и одно измерение времени. Грубо говоря, проблема времени в том, что его нет в общей теории относительности. Это потому, что в общей теории относительности гамильтониан является ограничением, которое должно обращаться в нуль. Однако в любой канонической теории гамильтониан порождает сдвиги времени. Следовательно, мы приходим к выводу, что в общей теории относительности «ничто не движется» («нет времени»). Поскольку «времени нет», обычная интерпретация квантовомеханических измерений в заданные моменты времени терпит неудачу. Эта проблема времени является широким знаменем всех интерпретационных проблем формализма.

Канонический формализм Джеймса Йорка . конформной декомпозиции геометродинамики ^[2] что приводит к «йоркскому времени» ^[3] была Общая теория относительности разработана Чарльзом Вангом . ^[4]^[5] Эта работа позже была развита им и его сотрудниками в подходе к идентификации и квантованию времени, подходящему для большого класса масштабно-инвариантных теорий дилатонной гравитации и материи. ^[6]^[7]

Проблема квантовой космологии

Проблема квантовой космологии заключается в том, что физические состояния, которые решают ограничения канонической квантовой гравитации, представляют квантовые состояния всей Вселенной и как таковые исключают внешнего наблюдателя, однако внешний наблюдатель является решающим элементом в большинстве интерпретаций квантовой механики. ^{[ нужны разъяснения ]}

См. также

формализм АДМ
Переменные Аштекара
Каноническое квантование
Канонические координаты
Диффеоморфизм
Дырочный аргумент
Исчисление имеет место
Петлевая квантовая гравитация — одна из этих теорий.
Петлевая квантовая космология (LQC) — это конечная модель петлевой квантовой гравитации с пониженной симметрией.
Проблема времени

Примечания

^ Бергманн, П. (1966). «Теория Гамильтона-Якоби и Шредингера в теориях с гамильтоновыми ограничениями первого класса». Физический обзор . 144 (4): 1078–1080. Бибкод : 1966PhRv..144.1078B . дои : 10.1103/PhysRev.144.1078 .
^ Девитт, Б. (1967). «Квантовая теория гравитации. I. Каноническая теория». Физический обзор . 160 (5): 1113–1148. Бибкод : 1967PhRv..160.1113D . дои : 10.1103/PhysRev.160.1113 .
^ Дирак, ПАМ (1958). «Обобщенная гамильтонова динамика». Труды Лондонского королевского общества А. 246 (1246): 326–332. Бибкод : 1958RSPSA.246..326D . дои : 10.1098/rspa.1958.0141 . JSTOR 100496 .
^ Тиманн, Т. (1996). «Безаномальная формулировка непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Буквы по физике Б. 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . Бибкод : 1996PhLB..380..257T . дои : 10.1016/0370-2693(96)00532-1 . S2CID 8691449 .

Ссылки

^ Тиманн, Томас (30 марта 2020 г.). «Каноническая квантовая гравитация, конструктивная КТП и перенормировка» . Границы в физике . 8 : 457. arXiv : 2003.13622 . Бибкод : 2020FrP.....8..457T . дои : 10.3389/fphy.2020.548232 .
^ Йорк, Джеймс В. (28 июня 1971 г.). «Гравитационные степени свободы и проблема начального значения». Письма о физических отзывах . 26 (26): 1656–1658. Бибкод : 1971PhRvL..26.1656Y . дои : 10.1103/PhysRevLett.26.1656 .
^ Шоке-Брюа, Ю.; Йорк, JW (1980). Хелд, А. (ред.). Общая теория относительности и гравитация . Нью-Йорк: Пленум Пресс. дои : 10.1002/asna.2103020310 .
^ Ван, Чарльз Х.-Т. (15 июня 2005 г.). «Конформная геометродинамика: истинные степени свободы в истинно канонической структуре». Физический обзор D . 71 (12): 124026. arXiv : gr-qc/0501024 . Бибкод : 2005PhRvD..71l4026W . дои : 10.1103/PhysRevD.71.124026 . S2CID 118968025 .
^ Ван, Чарльз Х.-Т. (06.10.2005). «Однозначная спин-калибровочная формулировка канонической общей теории относительности с инвариантностью конформизма». Физический обзор D . 72 (8): 087501. arXiv : gr-qc/0507044 . Бибкод : 2005PhRvD..72h7501W . doi : 10.1103/PhysRevD.72.087501 . S2CID 34995566 .
^ Ван, Чарльз; Станкевич, Марцин (10 января 2020 г.). «Квантование времени и большой взрыв посредством масштабно-инвариантной петлевой гравитации» . Буквы по физике Б. 800 : 135106. arXiv : 1910.03300 . Бибкод : 2020PhLB..80035106W . дои : 10.1016/j.physletb.2019.135106 . ISSN 0370-2693 .
^ Ван, Чарльз Х.-Т.; Родригес, Даниэль П.Ф. (28 декабря 2018 г.). «Закрытие пробелов в квантовом пространстве и времени: конформно дополненная калибровочная структура гравитации». Физический обзор D . 98 (12): 124041. arXiv : 1810.01232 . Бибкод : 2018PhRvD..98l4041W . дои : 10.1103/PhysRevD.98.124041 . hdl : 2164/11713 . S2CID 118961037 .

Источники

Арновитт, Р.; Дезер, С.; Миснер, CW (2008). «Динамика общей теории относительности». Общая теория относительности и гравитация . 40 (9): 1997–2027. arXiv : gr-qc/0405109 . Бибкод : 2008GReGr..40.1997A . дои : 10.1007/s10714-008-0661-1 . S2CID 14054267 .
Виттен, Л. (1962). Гравитация: введение в современные исследования . Джон Уайли и сыновья . стр. 227–265.
Дирак, ПАМ (1958). «Теория гравитации в гамильтоновой форме». Труды Лондонского королевского общества А. 246 (1246): 333–343. Бибкод : 1958RSPSA.246..333D . дои : 10.1098/rspa.1958.0142 . JSTOR 100497 . S2CID 122053391 .
Дирак, ПАМ (1959). «Фиксация координат в гамильтоновой теории гравитации». Физический обзор . 114 (3): 924–930. Бибкод : 1959PhRv..114..924D . дои : 10.1103/PhysRev.114.924 .
Дирак, ПАМ (1964). Лекции по квантовой механике . Университет Ешива . ISBN 0-387-51916-5 .

[1] Тиманн, Томас (30 марта 2020 г.). «Каноническая квантовая гравитация, конструктивная КТП и перенормировка» . Границы в физике . 8 : 457. arXiv : 2003.13622 . Бибкод : 2020FrP.....8..457T . дои : 10.3389/fphy.2020.548232 .

[2] Йорк, Джеймс В. (28 июня 1971 г.). «Гравитационные степени свободы и проблема начального значения». Письма о физических отзывах . 26 (26): 1656–1658. Бибкод : 1971PhRvL..26.1656Y . дои : 10.1103/PhysRevLett.26.1656 .

[3] Шоке-Брюа, Ю.; Йорк, JW (1980). Хелд, А. (ред.). Общая теория относительности и гравитация . Нью-Йорк: Пленум Пресс. дои : 10.1002/asna.2103020310 .

[4] Ван, Чарльз Х.-Т. (15 июня 2005 г.). «Конформная геометродинамика: истинные степени свободы в истинно канонической структуре». Физический обзор D . 71 (12): 124026. arXiv : gr-qc/0501024 . Бибкод : 2005PhRvD..71l4026W . дои : 10.1103/PhysRevD.71.124026 . S2CID 118968025 .

[5] Ван, Чарльз Х.-Т. (06.10.2005). «Однозначная спин-калибровочная формулировка канонической общей теории относительности с инвариантностью конформизма». Физический обзор D . 72 (8): 087501. arXiv : gr-qc/0507044 . Бибкод : 2005PhRvD..72h7501W . doi : 10.1103/PhysRevD.72.087501 . S2CID 34995566 .

[6] Ван, Чарльз; Станкевич, Марцин (10 января 2020 г.). «Квантование времени и большой взрыв посредством масштабно-инвариантной петлевой гравитации» . Буквы по физике Б. 800 : 135106. arXiv : 1910.03300 . Бибкод : 2020PhLB..80035106W . дои : 10.1016/j.physletb.2019.135106 . ISSN 0370-2693 .

[7] Ван, Чарльз Х.-Т.; Родригес, Даниэль П.Ф. (28 декабря 2018 г.). «Закрытие пробелов в квантовом пространстве и времени: конформно дополненная калибровочная структура гравитации». Физический обзор D . 98 (12): 124041. arXiv : 1810.01232 . Бибкод : 2018PhRvD..98l4041W . дои : 10.1103/PhysRevD.98.124041 . hdl : 2164/11713 . S2CID 118961037 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]