Переменные Аштекара

Основные статьи: Поля системы отсчета в общей теории относительности , спиновая связь и самодвойственное действие Палатини.

В относительности ADM теории формулировке общей пространство-время разделено на пространственные срезы и ось времени. В качестве базовых переменных принимается индуцированная метрика $q_{ab}(x)$ на пространственном срезе и сопряженном импульсе метрики $K^{ab}(x)$, которая связана с внешней кривизной и является мерой того, как индуцированная метрика развивается во времени. Это метрические канонические координаты .

В 1986 году Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, Аштекар ( новые ) переменные , чтобы представить необычный способ перезаписи метрических канонических переменных на трехмерных пространственных срезах в терминах SU (2) калибровочного поля и его дополнительной переменной.

Обзор

Переменные Аштекара обеспечивают так называемое представление связи канонической общей теории относительности, которое привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности. и, в свою очередь, петлевая квантовая гравитация и голономии . квантовая теория

Введем набор из трех векторных полей $\ E_{j}^{a}\ ,$ $\ j=1,2,3\$ ортогональны, то есть

$\delta _{jk}=q_{ab}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~.$

The $\ E_{i}^{a}\$ называются триадой или дрей-бейн (дословный немецкий перевод «три ноги»). Теперь существует два разных типа индексов: «космические» индексы. $\ a,b,c\$ которые ведут себя как обычные индексы в искривленном пространстве и «внутренние» индексы $\ j,k,\ell \$ которые ведут себя как индексы плоского пространства (соответствующая «метрика», которая повышает и понижает внутренние индексы, просто $\ \delta _{jk}\$). Дайте определение двойной тройке. $\ E_{a}^{j}\$ как

$\ E_{a}^{j}=q_{ab}\ E_{j}^{b}~.$

Тогда у нас есть два отношения ортогональности

$\ \delta ^{jk}=q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ ,$

где $q^{ab}$ – обратная матрица метрики $\ q_{ab}\$ (это происходит в результате замены формулы двойственного дрей-бейна терминами дрей-бейн на $\ q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\$ и используя ортогональность дрей-бейнов ).

и

$\ E_{j}^{a}\ E_{b}^{k}\ =\delta _{b}^{a}\$

(это происходит в результате заключения контракта $\ \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{k}^{b}\ E_{j}^{a}\$ с $\ E_{c}^{j}\$ и используя независимость линейную $\ E_{a}^{k}\$). Тогда это легко проверить из первого соотношения ортогональности, используя $\ E_{j}^{a}\ E_{b}^{j}=\delta _{b}^{a}\ ,$ что

$\ q^{ab}~=~\sum _{j,\ k=1}^{3}\;\delta _{jk}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~=~\sum _{j=1}^{3}\;E_{j}^{a}\ E_{j}^{b}\ ,$

мы получили формулу обратной метрики в терминах дрей-бейнов . Drei -beins можно рассматривать как «квадратный корень» метрики (физический смысл этого состоит в том, что метрика $\ q^{ab}\ ,$ когда написано в терминах основы $\ E_{j}^{a}\ ,$ локально плоская). На самом деле то, что действительно считается,

$\ \left(\mathrm {det} (q)\right)\ q^{ab}~=~\sum _{j=1}^{3}\;{\tilde {E}}_{j}^{a}\ {\tilde {E}}_{j}^{b}\ ,$

который включает в себя «уплотненный» дрей-бейн ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ вместо этого ( уплотняется как ${\textstyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}={\sqrt {\det(q)\ }}\ E_{j}^{a}\ }$) . Человек выздоравливает от $\ {\tilde {E}}_{j}^{a}\$ метрика умножается на коэффициент, заданный ее определителем. Ясно, что $\ {\tilde {E}}_{j}^{a}\$ и $\ E_{j}^{a}\$ содержат ту же информацию, только перегруппированную. Теперь выбор для $\ {\tilde {E}}_{j}^{a}\$ не является единственным, и фактически можно выполнить локальный поворот в пространстве относительно внутренних индексов $\ j\$ без изменения (обратной) метрики. Это происхождение $\ \mathrm {SU(2)} \$ Калибровочная инвариантность. Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, имеющими внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную ( ковариантную производную ), например ковариантную производную для объекта. $\ V_{i}^{b}\$ будет

$\ D_{a}\ V_{j}^{b}=\partial _{a}V_{j}^{b}-\Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ V_{k}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}\ V_{j}^{c}\$

где $\ \Gamma _{ac}^{b}\$ это обычное соединение Леви-Чивита и $\ \Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\$ это так называемая спиновая связь . Возьмем конфигурационную переменную

$\ A_{a}^{j}=\Gamma _{a}^{j}+\beta \ K_{a}^{j}\$

где $\Gamma _{a}^{j}=\Gamma _{ak\ell }\ \epsilon ^{k\ell j}$ и ${\textstyle K_{a}^{j}=K_{ab}\ {\tilde {E}}^{bj}/{\sqrt {\det(q)\ }}~.}$ Уплотненный драй-бейн - это сопряженная переменная импульса этого трехмерного калибровочного поля SU (2) (или связи). $\ A_{b}^{k}\ ,$ в том, что он удовлетворяет соотношению скобки Пуассона

$\ \{\ {\tilde {E}}_{j}^{a}(x),\ A_{b}^{k}(y)\ \}=8\pi \ G_{\mathsf {Newton}}\ \beta \ \delta _{b}^{a}\ \delta _{j}^{k}\ \delta ^{3}(x-y)~.$

Константа $\beta$ — параметр Иммирзи , фактор, который перенормирует постоянную Ньютона $\ G_{\mathsf {Newton}}~.$ Уплотненный драй-бейн можно использовать для восстановления метрики, как обсуждалось выше, а соединение можно использовать для восстановления внешней кривизны. Переменные Аштекара соответствуют выбору $\ \beta =-i\$ (отрицательное мнимое число , $\ i\$), $\ A_{a}^{j}\$ тогда называется киральной спиновой связью.

Причиной такого выбора спиновой связи было то, что Аштекар мог значительно упростить самое сложное уравнение канонической общей теории относительности, а именно гамильтоново ограничение LQG . Этот выбор привел к исчезновению его огромного второго члена, а оставшийся член стал полиномиальным от его новых переменных. Это упрощение породило новые надежды на программу канонической квантовой гравитации. Однако это действительно представляло определенные трудности: хотя переменные Аштекара имели то преимущество, что упрощали гамильтониан, у них была проблема: переменные становились комплексными . Когда кто-то квантовает теорию, трудно гарантировать, что мы восстановим настоящую общую теорию относительности, в отличие от сложной общей теории относительности. Кроме того, ограничение гамильтониана, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана; то есть он работал с ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H~.}$

Были серьезные трудности с переводом этой величины в квантовый оператор . В 1996 году Томас Тиманн смог использовать обобщение формализма Аштекара для реальных связей ( $\beta$ принимает действительные значения) и, в частности, разработал способ упрощения исходного гамильтониана вместе со вторым членом. Ему также удалось превратить это гамильтоново ограничение в четко определенный квантовый оператор в петлевом представлении.

Ли Смолин, Тед Джейкобсон и Джозеф Сэмюэл независимо друг от друга обнаружили, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассмотрев самодвойственную формулировку тетрадного принципа действия Палатини общей теории относительности. Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Гольдбергом. и в терминах тетрад Хенно, Нельсона и Шомблонда (1989).

Дальнейшее чтение

• Аштекар, Абхай (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 57 (18): 2244–2247. Бибкод : 1986PhRvL..57.2244A . doi : 10.1103/PhysRevLett.57.2244 . ПМИД   10033673 .