Гамильтоново ограничение LQG

В относительности ADM теории формулировке общей пространство-время разбивается на пространственные срезы и время, базовыми переменными считаются индуцированная метрика , $q_{ab}(x)$, на пространственном срезе ( функция расстояния, индуцированная на пространственном срезе метрикой пространства-времени) и ее сопряженная переменная импульса, связанная с внешней кривизной, $K^{ab}(x)$, (это говорит нам, как пространственный срез искривляется относительно пространства-времени, и является мерой того, как индуцированная метрика развивается во времени). Это метрические канонические координаты .

Динамика, такая как эволюция полей во времени, контролируется гамильтоновым ограничением .

Идентичность гамильтонова ограничения является основным открытым вопросом в квантовой гравитации , как и извлечение физических наблюдаемых из любого такого конкретного ограничения.

В 1986 году Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, переменные Аштекара, чтобы представить необычный способ перезаписи метрических канонических переменных на трехмерных пространственных срезах в терминах SU (2) калибровочного поля и его дополнительной переменной. В этой переформулировке гамильтониан был значительно упрощен. Это привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности. и, в свою очередь, петлевая квантовая гравитация .

В рамках петлевой квантовой гравитации представления Томас Тиманн смог сформулировать математически строгий оператор в качестве такого ограничения. Хотя этот оператор определяет полную и непротиворечивую квантовую теорию, возникли сомнения в физической реальности этой теории из-за несоответствия классической общей теории относительности (квантовая алгебра ограничений замкнута, но не изоморфна классической алгебре ограничений ОТО, что рассматривается как косвенное свидетельство несоответствий, а не доказательство несоответствий), поэтому были предложены варианты.

Классические выражения для гамильтониана

Метрическая формулировка

Идея заключалась в квантовании канонических переменных. $q_{ab}$ и $\pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})$, превращая их в операторы, действующие на волновые функции в пространстве 3-метрик, а затем квантовая гамильтониан (и другие ограничения). Однако вскоре эта программа стала считаться чрезвычайно сложной по разным причинам, одна из которых заключалась в неполиномиальной природе гамильтонова ограничения:

$H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)$

где $\;^{3}R$ скалярная кривизна трех метрик $q_{ab}(x)$. Будучи неполиномиальным выражением от канонических переменных и их производных, его очень сложно превратить в квантовый оператор.

Выражение с использованием переменных Ashtekar

Переменные конфигурации переменных Аштекара ведут себя как $SU(2)$ поле датчика или соединение $A_{a}^{i}$. Его канонически сопряженный импульс ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ — это уплотненное «электрическое» поле или триада (уплотненная как ${\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}$). Их связь с гравитацией заключается в том, что уплотненные триады можно использовать для восстановления пространственной метрики посредством

$\det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}$.

Уплотненные триады не уникальны, и фактически можно осуществить локальное вращение в пространстве относительно внутренних индексов. $i$. Собственно, это и есть происхождение $SU(2)$ Калибровочная инвариантность. Соединение можно использовать для восстановления внешней кривизны. Отношение определяется выражением

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}$

где $\Gamma _{a}^{i}$ связано со спиновой связью , $\Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}$, к $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ и $K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}$.

В терминах переменных Аштекара классическое выражение ограничения имеет вид

$H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}$.

где $F_{ab}^{k}$ тензор напряженности калибровочного поля $A_{a}^{i}$ . Из-за фактора $1/{\sqrt {\det(q)}}$ это неполиномиально по переменным Аштекара. Поскольку мы налагаем условие

$H=0$,

мы могли бы рассмотреть уплотненный гамильтониан ${\tilde {H}}$ вместо:

${\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0$.

Этот гамильтониан теперь является полиномом от переменных Аштекара. Это событие породило новые надежды на программу канонической квантовой гравитации. Хотя переменные Аштекара обладают тем преимуществом, что упрощают гамильтониан, существует проблема, заключающаяся в том, что переменные становятся комплексными числами. Когда кто-то квантовает теорию, трудно гарантировать, что мы восстановим настоящую общую теорию относительности, а не сложную общую теорию относительности. Существуют также серьезные трудности с превращением уплотненного гамильтониана в квантовый оператор.

Способ решения проблемы условий реальности заключался в том, чтобы отметить, что если мы примем сигнатуру за $(+,+,+,+)$, то есть евклидово, а не лоренцево, то можно сохранить простую форму гамильтониана только для действительных переменных. Затем можно определить так называемое обобщенное вращение Вика, чтобы восстановить лоренцеву теорию. Это преобразование Вика в фазовом пространстве, не имеющее ничего общего с аналитическим продолжением параметра времени. $t$.

Выражение для реальной формулировки переменных Аштекара

Томас Тиманн смог решить обе вышеупомянутые проблемы. Он использовал реальную связь

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}$

В действительных переменных Аштекара полный гамильтониан равен

$H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'$.

где константа $\beta$ – параметр Барберо-Иммирзи . Константа $\zeta$ равен -1 для лоренцевой сигнатуры и +1 для евклидовой сигнатуры. $\Gamma _{a}^{i}$ имеют сложную связь с деситизированными триадами и вызывают серьезные проблемы при квантовании. Переменные Аштекара можно рассматривать как выбор $\beta =i$ чтобы второй, более сложный член, был обращен в ноль (первый член обозначается $H_{E}$ поскольку для теории Евклида этот член остается для реального выбора $\beta =\pm 1$). Также у нас все еще есть проблема с $1/{\sqrt {\det(q)}}$ фактор.

Тиманн смог заставить это работать по-настоящему $\beta$. Сначала он мог упростить трудные $1/{\sqrt {\det(q)}}$ используя личность

$\{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}$

где $V$ это объем,

$V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}|}}$.

Первый член ограничения Гамильтона становится

$H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}$

при использовании личности Тимана. Эта скобка Пуассона заменяется коммутатором при квантовании. Оказывается, аналогичный трюк можно использовать и для второго семестра. Почему $\Gamma _{a}^{i}$ заданные уплотненными триадами ${\tilde {E}}_{i}^{a}$? Это происходит из условия совместимости

$D_{a}E_{b}^{i}=0$.

Мы можем решить это почти так же, как связь Леви-Чивита можно рассчитать по уравнению $\nabla _{c}g_{ab}=0$; вращая различные индексы, а затем добавляя и вычитая их ( см. в статье «Спиновая связь» более подробную информацию о выводе , хотя там мы используем немного другие обозначения). Затем мы перепишем это в терминах уплотненной триады, используя это $\det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}$. Результат сложный и нелинейный, но однородная функция ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ нулевого порядка,

$\Gamma _{a}^{i}={1 \over 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b}^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^{l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \over 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{\Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E}})}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}})}{\Big ]}$.

Чтобы обойти проблемы, возникающие из-за этого сложного соотношения, Тиман сначала определяет инвариантную калибровочную величину Гаусса.

$K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}$

где $K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}$и отмечает, что

$K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}$.

(это потому, что $\{\Gamma _{a}^{i},K\}=0$ что происходит от того, что $\beta K$ является генератором канонического преобразования постоянного масштабирования, ${\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_{i}^{a}/\beta$, и $\Gamma _{a}^{i}$ — однородная функция нулевого порядка). Тогда мы сможем написать

$A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}$

и таким образом найдите выражение через переменную конфигурации $A_{a}^{i}$ и $K$ для второго члена гамильтониана

$H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}$.

Почему легче квантовать $K$? Это потому, что его можно переписать в терминах величин, которые мы уже умеем квантовать. Конкретно $K$ можно переписать как

$K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}$

где мы использовали, что интегрированный уплотненный след внешней кривизны является «производной объема по времени».

Связь с материей

Связь со скалярным полем

Лагранжиан скалярного поля в искривленном пространстве-времени

$L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -V(\varphi ))$.

где $\mu ,\nu$ являются индексами пространства-времени. Определим сопряженный импульс скалярного поля с обычным ${\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}$, гамильтониан можно переписать как

$H=\int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}}(q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi$,

где $N$ и $N^{a}$ являются упущением и сдвигом. В переменных Аштекара это выглядит так:

$H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi$

Как обычно, (размытое) пространственное ограничение диффеоморфизма связано с функцией сдвига $N^{a}$ а (размытый) гамильтониан связан с функцией отклонения $N$. Итак, мы просто считываем пространственный диффеоморфизм и гамильтоновы ограничения:

$C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi$

$H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)$.

Их следует добавить (умножить на $8\pi G\beta$) пространственному диффеоморфизму и гамильтоновой связи гравитационного поля соответственно. Это представляет собой связь скалярной материи с гравитацией.

Связь с фермионным полем

Существуют проблемы, связывающие гравитацию со спинорными полями: не существует конечномерных спинорных представлений общей ковариационной группы. Однако, конечно, существуют спинорные представления группы Лоренца . Этот факт используется путем использования тетрадных полей, описывающих плоское касательное пространство в каждой точке пространства-времени. Матрицы Дирака $\gamma ^{I}$ сокращаются на vierbiens,

$\gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)$.

Мы хотим построить общековариантное уравнение Дирака. В плоском касательном пространстве преобразование Лоренца преобразует спинор как

$\psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi$

Мы ввели локальные преобразования Лоренца в плоском касательном пространстве, поэтому $\epsilon _{IJ}$ является функцией пространства-времени. Это означает, что частная производная спинора больше не является настоящим тензором. Как обычно, вводится поле подключения $\omega _{\mu }^{IJ}$ это позволяет нам оценить группу Лоренца. Ковариантная производная, определенная с помощью спиновой связи, равна:

$\nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a}^{IJ}\sigma _{IJ})\psi$,

и является настоящим тензором, а уравнение Дирака переписывается как

$(i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0$.

Действие Дирака в ковариантной форме есть

$S_{Dirac}={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]$

где $\Psi =(\psi ,\eta )$ является биспинором Дирака и ${\overline {\Psi }}=(\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}$ является его сопряжением. Ковариантная производная $\nabla _{a}$ определяется как аннигилирующая тетрада $E_{a}^{I}$.

Связь с электромагнитным полем

Действие электромагнитного поля в искривленном пространстве-времени имеет вид

$L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })$

где

${\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu }-\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }$

– тензор напряженности поля, в компонентах

${\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}$

и ${\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}$

где электрическое поле определяется выражением

${\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\mathcal {A}}}_{a}$

и магнитное поле есть.

$B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}$.

Классический анализ с действием Максвелла с последующей канонической формулировкой с использованием параметризации шкалы времени приводит к:

$H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}$

$B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}$

с ${\mathcal {A}}_{a}$ и ${\tilde {\mathcal {E}}}^{a}$ являются каноническими координатами.

Связь с полем Янга – Миллса

Действие поля Янга–Миллса для некоторой компактной калибровочной группы $G$ в искривленном пространстве-времени

$L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }^{I}{\mathcal {F}}_{\alpha \beta }^{J}\delta _{IJ})$

где $F$ это кривизна некоторых $G-$связь. Для стандартной модели $U(1)\times SU(2)\times SU(3)$.

$H={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]$

Полный гамильтониан материи, связанной с гравитацией

Динамика связанной системы гравитация-материя просто определяется добавлением членов, определяющих динамику материи, к гравитационному гамильтониану. Полный гамильтониан описывается формулой

$H=H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}$.

Квантовое гамильтоновое ограничение

В этом разделе мы обсуждаем квантование гамильтониана чистой гравитации, то есть в отсутствие материи. Случай включения материи обсуждается в следующем разделе.

Ограничения в их примитивной форме довольно своеобразны, и поэтому их следует «размазать» соответствующими тестовыми функциями. Гамильтониан записывается как

$H(N)=\int d^{3}xN\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}\epsilon ^{abc}$.

Для простоты мы рассматриваем только «евклидову» часть гамильтонова ограничения; расширение до полного ограничения можно найти в литературе. На самом деле существует много разных вариантов выбора функций, и в результате получается (размытое) ограничение гамильтониана. Требовать, чтобы они все исчезли, эквивалентно исходному описанию.

Представление цикла

Петля Вильсона определяется как

$h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}$

где ${\mathcal {P}}$ указывает порядок пути таким образом, чтобы факторы для меньших значений $s$ появляются слева, и где $T_{i}$ удовлетворить $su(2)$ алгебра,

$[T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}$.

Отсюда легко увидеть, что

$Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})$.

подразумевает, что $Tr(T^{i})=0$.

Петли Вильсона не являются независимыми друг от друга, и фактически некоторые их линейные комбинации, называемые состояниями спиновой сети, образуют ортонормированный базис. Поскольку функции спиновой сети составляют основу, мы можем формально расширить любую калибровочно-инвариантную функцию Гаусса следующим образом:

$\Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]$.

Это называется обратным циклическим преобразованием. Преобразование цикла определяется выражением

$\Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]$

и аналогично тому, что происходит, когда мы переходим к представлению импульса в квантовой механике:

$\psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)$.

Преобразование цикла определяет представление цикла. Учитывая оператор ${\hat {O}}$ в представлении соединения,

$\Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]$,

мы определяем $\Phi [\gamma ]$ с помощью преобразования цикла,

$\Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]$.

Это означает, что необходимо определить соответствующий оператор ${\hat {O}}'$ на $\Psi [\gamma ]$ в представлении цикла как

${\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]$,

или

${\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }s_{\gamma }[A])\Psi [A]$,

где ${\hat {O}}^{\dagger }$ мы имеем в виду оператора ${\hat {O}}$ но с обратным порядком факторов. Действие этого оператора на спин-сети мы оцениваем как вычисление в представлении связности и перестановку результата как манипуляцию чисто в терминах циклов (следует помнить, что при рассмотрении действия на спин-сети следует выбирать тот оператор, который пожелается преобразовать с противоположным порядком множителя в тот, который выбран для его действия на волновые функции $\Psi [A]$). Это придает физический смысл оператору ${\hat {O}}'$. Например, если ${\hat {O}}^{\dagger }$ были пространственным диффеоморфизмом, то это можно рассматривать как сохранение поля связности $A$ принадлежащий $s_{\gamma }[A]$ где он находится при выполнении пространственного диффеоморфизма на $\gamma$ вместо. Следовательно, смысл ${\hat {O}}'$ является пространственным диффеоморфизмом на $\gamma$, аргумент $\Psi [\gamma ]$.

Оператор голономии в представлении цикла — это оператор умножения,

${\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]$

Продвижение гамильтонова ограничения на квантовый оператор

Мы превращаем гамильтоново ограничение в квантовый оператор в петлевом представлении. Вводится процедура регуляризации решетки. мы предполагаем, что пространство разделено на тетраэдры $\Delta$. Строят выражение так, что предел уменьшения размеров тетраэдров аппроксимирует выражение для гамильтониана ограничения.

Для каждого тетраэдра выберите вершину и вызовите $v(\Delta )$. Позволять $s_{i}(\Delta )$ с $i=1,2,3$ быть тремя ребрами, заканчивающимися на $v(\Delta )$. Теперь мы создадим цикл

$\alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}$

двигаясь вдоль $s_{i}(\Delta )$ затем по линии, соединяющей точки $s_{i}$ и $s_{j}$ это не $v(\Delta )$ (который мы обозначили $s_{ij}$), а затем возвращаясь к $v(\Delta )$ вдоль $s_{j}$. Голономия

$h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}$

вдоль линии в пределе тетраэдр сжимается аппроксимирует связь через

$\lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_{k}^{c}$

где $s_{k}^{c}$ вектор в направлении края $s_{k}$. Можно показать, что

$\lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij}}=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}$.

(это выражает тот факт, что тензор напряженности поля, или кривизна, измеряет голономию вокруг «бесконечно малых петель»). Мы вынуждены пытаться

$H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{k}}^{-1},V\}{\big )}$

где сумма ведется по всем тетраэдрам $\Delta$. Заменяя голономии,

$H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}(I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_{d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}$.

Тождество будет иметь исчезающую скобку Пуассона с объемом, поэтому единственный вклад будет вносить связь. Поскольку скобка Пуассона уже пропорциональна $s_{k}^{c}$ только тождественная часть голономии $h_{s_{k}}$ вне скобок способствует. Наконец мы имеем, что голономия вокруг $\alpha _{ij}$; тождественный член не вносит никакого вклада, поскольку скобка Пуассона пропорциональна матрице Паули (поскольку $A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}$ и постоянная матрица $T_{i}$ можно вынести за скобки Пуассона) и берут след. Оставшийся срок $h_{\alpha _{ij}}$ дает $F_{ab}$. Три длины $s$Появляющиеся числа объединяются с предельным суммированием, образуя интеграл.

Это выражение может быть немедленно повышено до оператора в представлении цикла, причем как голономия, так и объем повышаются до четко определенных операторов.

Триангуляция выбирается таким образом, чтобы ее можно было адаптировать к состоянию спиновой сети, на которое воздействуют, путем соответствующего выбора вершин и линий. Когда мы переходим к пределу, будет много линий и вершин триангуляции, которые не соответствуют линиям и вершинам спиновой сети. Из-за наличия объема ограничение Гамильтона будет способствовать только тогда, когда существует как минимум три некомпланарных линии вершины.

Здесь мы рассмотрели только действие гамильтоновой связи на трехвалентные вершины. Вычисление действия на вершинах с более высокой валентностью сложнее. Отсылаем читателя к статье Борисова, Де Пьетри и Ровелли.

Конечная теория

Гамильтониан не инвариантен относительно пространственных диффеоморфизмов, поэтому его действие можно определить только на кинематическом пространстве. Его действие можно перенести на состояния, инвариантные к диффеоморфизму. Как мы увидим, это влияет на то, где именно добавляется новая строка. Рассмотрим состояние $\langle \Psi |$ такой, что $\langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle$ если спиновые сети $s$ и $s'$ диффеоморфны друг другу. Такое состояние не находится в кинематическом пространстве, а принадлежит большему двойственному пространству плотного подпространства кинематического пространства. Затем мы определяем действие ${\hat {H}}(N)$ следующим образом,

$\langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle =\lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle$.

В этом случае положение добавленной строки не имеет значения. Когда кто-то проецирует $\Psi$ положение линии не имеет значения, поскольку мы работаем в пространстве состояний, инвариантных к диффеоморфизму, и поэтому линию можно переместить «ближе» или «дальше» от вершины без изменения результата.

Пространственный диффеоморфизм играет решающую роль в построении. Если бы функции не были диффеоморфно-инвариантными, добавленную линию пришлось бы сжимать к вершине, и могли бы появиться возможные расхождения.

Ту же конструкцию можно применить к гамильтониану общей теории относительности, связанному с материей: скалярными полями, полями Янга–Миллса, фермионами. Во всех случаях теория конечна, свободна от аномалий и хорошо определена. Гравитация, по-видимому, действует как «фундаментальный регулятор» теорий материи.

Без аномалий

Квантовые аномалии возникают, когда в алгебре квантовых ограничений есть дополнительные члены, не имеющие классических аналогов. Чтобы восстановить правильную полуклассическую теорию, эти дополнительные члены должны исчезнуть, но это влечет за собой дополнительные ограничения и уменьшает количество степеней свободы теории, делая ее нефизической. Можно показать, что гамильтониан Теймана не содержит аномалий.

Ядро гамильтонова ограничения

Ядро — это пространство состояний, которое аннулируется гамильтоновым ограничением. Можно наметить явную конструкцию полного и строгого ядра предложенного оператора. Они первые с ненулевым объёмом и которым не нужна ненулевая космологическая постоянная.

Полное пространство решений пространственного диффеоморфизма $C^{a}(x)=0$ для всех $x\in \Sigma$ ограничения уже давно найдены. И даже был снабжен естественным внутренним продуктом, индуцированным из кинематического гильбертова пространства. ${\mathcal {H}}_{Kin}$ решений ограничения Гаусса. Однако нет возможности определить гамильтоновы операторы ограничений, соответствующие $H(x)$ (плотно) на ${\mathcal {H}}_{Diff}$ поскольку гамильтоновы операторы ограничений не сохраняют состояния, инвариантные к пространственному диффеоморфизму. Следовательно, невозможно просто решить ограничение пространственных диффеоморфизмов, а затем ограничение Гамильтона и, следовательно, структуру внутреннего продукта ${\mathcal {H}}_{Diff}$ не может быть использовано при построении физического внутреннего продукта. Эту проблему можно обойти, используя Мастер-ограничение (см. ниже), позволяющее применить только что упомянутые результаты для получения физического гильбертова пространства. ${\mathcal {H}}_{Phys}$ от ${\mathcal {H}}_{Diff}$.

Еще сюда приехать...

Критика гамильтонова ограничения

Восстановление алгебры ограничений. Классически у нас есть

$\{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})$

где

$K^{a}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}M-M\partial _{b}N)/(\det(q))$

Как мы знаем, в петлевом представлении самосопряженный оператор порождает пространственные диффеоморфизмы. Следовательно, невозможно реализовать соотношение $\{H(N),H(M)\}$ ибо в квантовой теории с бесконечно малыми ${\vec {C}}$, это максимально возможно для конечных пространственных дффеомефизмов.

Ультралокальность гамильтониана: гамильтониан действует только в вершинах и действует, «одевая» вершины линиями. Он не соединяет вершины между собой и не меняет валентность линий (вне «перевязки»). Модификации, которые оператор ограничения Гамильтона выполняет в данной вершине, не распространяются по всему графу, а ограничиваются окрестностью вершины. Фактически, повторяющееся действие гамильтониана порождает все больше и больше новых ребер, все ближе к вершине, никогда не пересекающихся друг с другом. В частности, никаких действий в новых созданных вершинах не происходит. Это означает, например, что для поверхностей, охватывающих вершину (диффеоморфно инвариантно определенных), площадь таких поверхностей будет коммутировать с гамильтонианом, что не подразумевает никакой «эволюции» этих областей, поскольку именно гамильтониан порождает «эволюцию». Это намекает на то, что теория «не распространяется». Однако Тиманн указывает, что гамильтониан действует везде.

Есть один довольно тонкий вопрос: ${\hat {H}}(x)$, хотя и определен в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{Kin}$ явно не известны (они известны с точностью до пространственного диффеоморфизма; они существуют по аксиоме выбора ).

Эти трудности можно решить с помощью нового подхода – Генеральной программы ограничений.

Расширение квантования до включения полей материи

Теория Максвелла

Обратите внимание, что ${\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}$ оба имеют вес плотности 1. Как обычно, перед квантованием нам нужно выразить ограничения (и другие наблюдаемые) в терминах голономий и потоков.

У нас есть общий фактор $q_{ab}/{\sqrt {q}}$. Как и ранее, мы вводим разложение ячеек и отмечаем:

${q_{ab} \over {\sqrt {q}}}(x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}$.

Ян – Миллс

За исключением неабелевой природы калибровочного поля, по форме выражения действуют так же, как и для случая Максвелла.

Скалярное поле - поле Хиггса

Элементарные операторы конфигурации аналогичны оператору голономии для переменных связи и действуют путем умножения как

${\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi$.

Их называют точечными голономиями. Сопряженной переменной к точечной голономии, которая в квантовой теории повышена до оператора, считается импульс размазанного поля.

$P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)$

где $\pi _{\varphi }$ – сопряженное поле импульса и $f(x)$ это тестовая функция. Их скобка Пуассона определяется выражением

$\{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f(x)h(x,\lambda )$.

В квантовой теории ищут представление скобки Пуассона как коммутатора элементарных операторов:

$[{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )$.

Конечность теории с учетом материи

Тиманн проиллюстрировал, как ультрафиолетовые отклонения обычной квантовой теории могут быть напрямую интерпретированы как следствие приближения, игнорирующего квантованную, дискретную природу квантовой геометрии. Например, Тиманн показывает, как оператор гамильтониана Янга – Миллса, включающий $E_{a}^{i}$ четко определен, пока мы рассматриваем $E$ как оператор, но становится бесконечным, как только мы заменим $E$ с гладким фоновым полем.

Основная программа ограничений

Главное ограничение

Программа главных ограничений для петлевой квантовой гравитации (LQG) было предложено как классический эквивалентный способ наложить бесконечное количество гамильтоновых уравнений ограничений

$H(x)=0$

с точки зрения одного главного ограничения,

$M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}$.

который включает в себя квадрат рассматриваемых ограничений. Обратите внимание, что $H(x)$ их было бесконечно много, тогда как Главное ограничение только одно. Ясно, что если $M$ исчезает тогда, как и бесконечное множество $H(x)$х. И наоборот, если все $H(x)$исчезнет, ​​то и исчезнет $M$, следовательно, они эквивалентны.

Главное ограничение $M$ включает соответствующее усреднение по всему пространству и поэтому инвариантен относительно пространственных диффеоморфизмов (он инвариантен относительно пространственных «сдвигов», поскольку представляет собой суммирование по всем таким пространственным «сдвигам» величины, которая преобразуется как скаляр). Отсюда следует скобка Пуассона с (размытым) ограничением пространственного диффеоморфизма: $C({\vec {N}})$, это просто:

$\{M,C({\vec {N}})\}=0$.

(это $su(2)$ также инвариант). Кроме того, очевидно, что, поскольку любая величина Пуассона коммутирует сама с собой, а главное ограничение является единственным ограничением, оно удовлетворяет условию

$\{M,M\}=0$.

Мы также имеем обычную алгебру между пространственными диффеоморфизмами. Это представляет собой резкое упрощение структуры скобки Пуассона.

Повышение до квантового оператора

Основная статья: расширение Фридриха

Запишем классическое выражение в виде

$M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x)}=\int d^{3}x({H \over [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)({H \over [\det(q)]^{1/4}})(y)$.

Это выражение регулируется однопараметрической функцией $\chi _{\epsilon }(x,y)$ такой, что $\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)$ и $\chi _{\epsilon }(x,x)=1$. Определять

$V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)$.

Оба члена будут аналогичны выражению для ограничения Гамильтона, за исключением того, что теперь они будут включать $\{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}$ скорее, чем $\{A,V\}$ что происходит от дополнительного фактора $[\det(q)]^{1/4}$. То есть,

$M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\{A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)$.

Таким образом, мы действуем точно так же, как и в случае с гамильтоновым ограничением, и вводим разбиение на тетраэдры, разбивая оба интеграла на суммы:

$M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')$.

где смысл $C_{\epsilon }(\Delta )$ похож на тот, что $H_{\Delta }$. Это огромное упрощение, поскольку $C_{\epsilon }(\Delta )$ может быть квантовано точно так же, как $H_{\Delta }$ с простым изменением степени оператора громкости. Однако можно показать, что операторы, изменяющие график, пространственно-инвариантные к диффеоморфизму операторы, такие как Мастер-ограничение, не могут быть определены в кинематическом гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}}_{Kin}$. Выход – определить ${\hat {M}}$ не включен ${\mathcal {H}}_{Kin}$ но на ${\mathcal {H}}_{Diff}$.

Сначала мы можем вычислить матричные элементы будущего оператора ${\hat {M}}$, то есть вычисляем квадратичную форму $Q_{M}$. Мы хотели бы, чтобы существовал единственный положительный самосопряженный оператор. ${\hat {M}}$ чьи матричные элементы воспроизводят $Q_{M}$. Было показано, что такой оператор существует и задается расширением Фридрихса .

Решение Мастер-ограничения и создание физического гильбертова пространства

Как упоминалось выше, невозможно просто решить ограничение пространственного диффеоморфизма, а затем ограничение Гамильтона, вызывая физический внутренний продукт из внутреннего продукта пространственного диффеоморфизма, поскольку ограничение Гамильтона отображает инвариантные состояния пространственного диффеоморфизма на состояния, инвариантные непространственному диффеоморфизму. Однако, поскольку главное ограничение $M$ является пространственно инвариантным диффеоморфизмом, его можно определить на ${\mathcal {H}}_{Diff}$. Таким образом, мы, наконец, можем использовать всю мощь упомянутых выше результатов для получения ${\mathcal {H}}_{Diff}$ от ${\mathcal {H}}_{Kin}$.

Внешние ссылки

• Обзор Карло Ровелли
• Статья Тимана в журнале Physics Letters
• Ровелли, Карло (1998). «Петлевая квантовая гравитация» . Живые обзоры в теории относительности . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Бибкод : 1998LRR.....1....1R . дои : 10.12942/lrr-1998-1 . ПМЦ   5567241 . ПМИД   28937180 .