гамильтоново ограничение

Гамильтонова ограничение возникает из любой теории, которая допускает гамильтонову формулировку и является инвариантной относительно репараметризации . Гамильтонова ограничение общей теории относительности является важным нетривиальным примером.

В контексте общей теории относительности гамильтоново ограничение технически относится к линейной комбинации пространственных и временных ограничений диффеоморфизма , отражающих репараметризуемость теории как в пространственных, так и во временных координатах. Однако в большинстве случаев термин гамильтоново ограничение используется для ограничения, которое порождает временные диффеоморфизмы.

Простейший пример: параметризованная система часов и маятника.

Параметризация

В обычном понимании классическая механика отводит времени особую роль как независимой переменной. Однако в этом нет необходимости. Механику можно сформулировать так, чтобы рассматривать временную переменную на тех же основаниях, что и другие переменные в расширенном фазовом пространстве, путем параметризации временной переменной (переменных) в терминах общей, хотя и неуказанной параметрической переменной. Переменные фазового пространства находятся в одном положении.

Предположим, наша система состоит из маятника, совершающего простое гармоническое движение, и часов. В то время как система может быть описана классически с помощью позиции x=x(t), где x определяется как функция времени, ту же систему также можно описать как x( $\tau$ ) и t( $\tau$ ), где связь между x и t не указана напрямую. Вместо этого x и t определяются параметром $\tau$ , который является просто параметром системы, возможно, не имеющим собственного объективного значения.

Система будет описываться положением маятника относительно центра, обозначаемым $x$ , а показание на часах обозначается $t$ . Поставим эти переменные в один ряд, введя фиктивный параметр $\tau$ , $x(\tau ),\;\;\;\;t(\tau )$ чья «эволюция» по отношению к $\tau$ постоянно проводит нас через все возможные корреляции между перемещением и показаниями часов. Очевидно, переменная $\tau$ можно заменить любой монотонной функцией , $\tau '=f(\tau )$ . Именно это делает систему репараметризационно-инвариантной. Обратите внимание, что благодаря этой репараметризационной инвариантности теория не может предсказать значение $x(\tau )$ или $t(\tau )$ за заданное значение $\tau$ а только соотношение между этими величинами. Динамика затем определяется этим соотношением.

Динамика этой репараметризационно-инвариантной системы

Тогда действие будет параметризованного гармонического осциллятора $S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right)\right],$ где $x$ и $t$ являются каноническими координатами и $p$ и $p_{t}$ являются их сопряженными импульсами соответственно и представляют наше расширенное фазовое пространство (мы покажем, что из этого выражения можно восстановить обычные уравнения Ньютона). Записываем действие как $S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-{\mathcal {H}}(x,t;p,p_{t})\right]$ мы определяем ${\mathcal {H}}$ как ${\mathcal {H}}(x,t,\lambda ;p,p_{t})=\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right).$

Уравнения Гамильтона для $\lambda$ являются ${\partial {\mathcal {H}} \over \partial \lambda }=0$ что дает ограничение, $C=p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}=0.$

$C$ — наше гамильтоново ограничение! Его также можно было получить из уравнения движения Эйлера – Лагранжа, учитывая, что действие зависит от $\lambda$ но не это $\tau$ производная. Тогда переменные расширенного фазового пространства $x$ , $t$ , $p$ , и $p_{t}$ вынуждены принимать значения на этой гиперповерхности ограничений расширенного фазового пространства. Мы ссылаемся на $\lambda C$ как "размазанное" ограничение Гамильтона, где $\lambda$ является произвольным числом. «Размазанное» ограничение Гамильтона говорит нам, как переменная расширенного фазового пространства (или ее функция) развивается по отношению к $\tau$ : ${dx \over d\tau }=\{x,\lambda C\},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=\{p,\lambda C\}\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\{t,\lambda C\},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=\{p_{t},\lambda C\}$ (на самом деле это другие уравнения Гамильтона). Эти уравнения описывают поток или орбиту в фазовом пространстве. В общем у нас есть ${dF(x,p,t,p_{t}) \over d\tau }=\{F(x,p,t,p_{t}),\lambda C\}$ для любой функции фазового пространства $F$ . Поскольку гамильтоново ограничение Пуассона коммутирует само с собой, оно сохраняет себя и, следовательно, гиперповерхность ограничения. Возможные корреляции между измеримыми величинами, такими как $x(\tau )$ и $t(\tau )$ затем соответствуют «орбитам», генерируемым ограничением внутри поверхности ограничений, причем каждая конкретная орбита отличается друг от друга, скажем, также измерением значения, скажем, $p(\tau )$ вместе с $x(\tau )$ и $t(\tau )$ в один $\tau$ -мгновенный; после определения конкретной орбиты, для каждого измерения $t(\tau )$ мы можем предсказать стоимость $x(\tau )$ возьму.

Депараметризация

Другие уравнения гамильтоновой механики : ${dx \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-{\partial {\mathcal {H}} \over \partial x};\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{t}},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial t}.$

При замене нашего действия они дают: ${dx \over d\tau }=\lambda {p \over m},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-\lambda m\omega ^{2}x;\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\lambda ,\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=0,$

Они представляют собой фундаментальные уравнения, управляющие нашей системой.

В случае параметризованной системы часов и маятника мы, конечно, можем восстановить обычные уравнения движения, в которых $t$ независимая переменная:

Сейчас $dx/dt$ и $dp/dt$ может быть выведено путем

${dx \over dt}={dx \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={\lambda p/m \over \lambda }={p \over m}$ ${dp \over dt}={dp \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={-\lambda m\omega ^{2}x \over \lambda }=-m\omega ^{2}x.$

Восстановим обычное дифференциальное уравнение для простого гармонического осциллятора: ${d^{2}x \over dt^{2}}=-\omega ^{2}x.$

У нас также есть $dp_{t}/dt=dp_{t}/d\tau {\big /}dt/d\tau =0$ или $p_{t}=\mathrm {const} .$

Наше гамильтоновое ограничение тогда легко рассматривать как условие постоянства энергии! Депараметризация и идентификация временной переменной, относительно которой все развивается, — это процесс, противоположный параметризации. В общем случае оказывается, что не все репараметризационно-инвариантные системы поддаются депараметризации. Общая теория относительности является ярким физическим примером (здесь координаты пространства-времени соответствуют нефизическому $\tau$ а гамильтониан представляет собой линейную комбинацию ограничений, порождающих пространственные и временные диффеоморфизмы).

Причина, по которой мы могли бы депараметризировать здесь

Основная причина, по которой мы могли бы депараметризировать (не считая того факта, что мы уже знаем, что это была искусственная репараметризация), - это математическая форма ограничения, а именно: $C=p_{t}+C'(x,p).$

Подставив гамильтонову связь в исходное действие, получим ${\begin{aligned}S&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda (p_{t}+C'(x,p))\right]\\&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p-{dt \over d\tau }C'(x,p)\right]\\&=\int dt\left[{dx \over dt}p-{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right]\end{aligned}}$ что является стандартным действием для гармонического осциллятора. Общая теория относительности является примером физической теории, в которой гамильтонова ограничение в целом не имеет указанной выше математической формы и поэтому не может быть депараметризована в целом.

Гамильтониан классической общей теории относительности

В относительности ADM теории формулировке общей пространство-время разбивается на пространственные срезы и время, базовыми переменными считаются индуцированная метрика , $q_{ab}(x)$ , на пространственном срезе ( метрика, индуцированная на пространственном срезе метрикой пространства-времени) и сопряженная с ним переменная импульса, связанная с внешней кривизной, $K^{ab}(x)$ , (это говорит нам, как пространственный срез искривляется относительно пространства-времени, и является мерой того, как индуцированная метрика развивается во времени). ^[1] Это метрические канонические координаты .

Динамика, такая как эволюция полей во времени, контролируется гамильтоновым ограничением .

Идентичность гамильтонова ограничения является основным открытым вопросом в квантовой гравитации , как и извлечение физических наблюдаемых из любого такого конкретного ограничения.

В 1986 году Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, переменные Аштекара, чтобы представить необычный способ перезаписи метрических канонических переменных на трехмерных пространственных срезах в терминах SU (2) калибровочного поля и его дополнительной переменной. ^[2] В этой переформулировке гамильтониан был значительно упрощен. Это привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности и, в свою очередь, к петлевой квантовой гравитации . ^[3]

В рамках петлевого представления квантовой гравитации Тиман сформулировал математически строгий оператор в качестве такого ограничения. ^[4] Хотя этот оператор определяет полную и непротиворечивую квантовую теорию, были высказаны сомнения. ^{[ кем? ]} что касается физической реальности этой теории из-за несоответствий с классической общей теорией относительности (квантовая алгебра ограничений замкнута, но она не изоморфна классической алгебре ограничений ОТО, которая рассматривается как косвенное свидетельство несоответствий, а определенно не доказательство несоответствий) и поэтому были предложены варианты.

Метрическая формулировка

Идея заключалась в квантовании канонических переменных. $q_{ab}$ и $\pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})$ , превращая их в операторы, действующие на волновые функции в пространстве 3-метрик, а затем квантовая гамильтониан (и другие ограничения). Однако вскоре эта программа стала считаться чрезвычайно сложной по разным причинам, одна из которых заключалась в неполиномиальной природе гамильтонова ограничения: $H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-{}^{3}R)$ где $\;^{3}R$ скалярная кривизна трех метрик $q_{ab}(x)$ . Будучи неполиномиальным выражением от канонических переменных и их производных, его очень трудно превратить в квантовый оператор .

Выражение с использованием переменных Ashtekar

Переменные конфигурации переменных Аштекара ведут себя как $SU(2)$ поле датчика или соединение $A_{a}^{i}$ . Его канонически сопряженный импульс равен ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ — это уплотненное «электрическое» поле или триада (уплотненная как ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$ ). Какое отношение эти переменные имеют к гравитации? Уплотненные триады можно использовать для восстановления пространственной метрики с помощью

$\det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.$

Уплотненные триады не уникальны, и фактически можно осуществить локальное вращение в пространстве относительно внутренних индексов. $i$ . Собственно, это и есть происхождение $SU(2)$ Калибровочная инвариантность. Соединение можно использовать для восстановления внешней кривизны. Отношение определяется выражением

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}$

где $\Gamma _{a}^{i}$ связано со спиновой связью , $\Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}$ , к $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ и ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ .

В терминах переменных Аштекара классическое выражение ограничения имеет вид:

$H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.$

где $F_{ab}^{k}$ тензор напряженности калибровочного поля $A_{a}^{i}$ . Из-за фактора ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ это неполиномиально по переменным Аштекара. Поскольку мы налагаем условие

$H=0,$

вместо этого мы могли бы рассмотреть уплотненный гамильтониан:

${\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0.$

Этот гамильтониан теперь является полиномиальным по переменным Аштекара. Это событие породило новые надежды на программу канонической квантовой гравитации. ^[5] Хотя переменные Аштекара обладают достоинством упрощения гамильтониана, существует проблема, заключающаяся в том, что переменные становятся комплексными. Когда кто-то квантовает теорию, это трудная задача: гарантировать, что мы восстановим настоящую общую теорию относительности, а не сложную общую теорию относительности. Также возникли серьезные трудности с превращением уплотненного гамильтониана в квантовый оператор.

Способ решения проблемы условий реальности заключался в том, чтобы отметить, что если мы примем сигнатуру за $(+,+,+,+)$ , то есть евклидово, а не лоренцево, то можно сохранить простую форму гамильтониана только для действительных переменных. Затем можно определить так называемое обобщенное вращение Вика, чтобы восстановить лоренцеву теорию. ^[6] В обобщенном виде, поскольку это преобразование Вика в фазовом пространстве и не имеет ничего общего с аналитическим продолжением параметра времени. $t$ .

Выражение для реальной формулировки переменных Аштекара

Томас Тиманн обратился к обеим вышеупомянутым проблемам. ^[4] Он использовал реальную связь

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}$

В действительных переменных Аштекара полный гамильтониан равен

$H=-\zeta {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}) \over {\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'.$

где константа $\beta$ – параметр Барберо– Иммирзи . ^[7] Константа $\zeta$ равен -1 для лоренцевой сигнатуры и +1 для евклидовой сигнатуры. $\Gamma _{a}^{i}$ имеют сложную связь с уплотненными триадами и вызывают серьезные проблемы при квантовании. Переменные Аштекара можно рассматривать как выбор $\beta =i$ чтобы второй, более сложный член, был обращен в ноль (первый член обозначается $H_{E}$ поскольку для теории Евклида этот член остается для реального выбора $\beta =\pm 1$ ). Также у нас все еще есть проблема с ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ фактор.

Тиманн смог заставить это работать по-настоящему $\beta$ . Сначала он мог упростить трудные ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ используя личность

$\{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}$

где $V$ это объем,

$V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {\left|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}\right|}}.$

Первый член ограничения Гамильтона становится

$H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}$

при использовании личности Тимана. Эта скобка Пуассона заменяется коммутатором при квантовании. Оказывается, аналогичный трюк можно использовать и для второго семестра. Почему $\Gamma _{a}^{i}$ заданные уплотненными триадами ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ ? На самом деле это происходит из закона Гаусса.

$D_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0.$

Мы можем решить это почти так же, как связь Леви-Чивита можно рассчитать по уравнению $\nabla _{c}g_{ab}=0$ ; вращая различные индексы, а затем добавляя и вычитая их. Результат сложный и нелинейный. Чтобы обойти проблемы, возникающие из-за этого сложного соотношения, Тиман сначала определяет инвариантную калибровочную величину Гаусса.

$K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}$

где ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ и отмечает, что

$K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}.$

Тогда мы сможем написать

$A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}$

и таким образом найдите выражение через переменную конфигурации $A_{a}^{i}$ и $K$ . Для второго члена гамильтониана получаем

$H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}.$

Почему легче квантовать $K$ ? Это потому, что его можно переписать в терминах величин, которые мы уже умеем квантовать. Конкретно $K$ можно переписать как

$K=-\left\{V,\int d^{3}xH_{E}\right\}$

где мы использовали, что интегрированный уплотненный след внешней кривизны является «производной объема по времени».

Ссылки

^ Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд. Гравитация . Нью-Йорк: WH Freeman и компания.
^ Аштекар, Абхай (3 ноября 1986 г.). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 57 (18). Американское физическое общество (APS): 2244–2247. дои : 10.1103/physrevlett.57.2244 . ISSN 0031-9007 .
^ Ровелли, Карло; Смолин, Ли (5 сентября 1988 г.). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма о физических отзывах . 61 (10). Американское физическое общество (APS): 1155–1158. дои : 10.1103/physrevlett.61.1155 . ISSN 0031-9007 .
^ Jump up to: ^а ^б Тиманн, Т. (1996). «Безаномальная формулировка непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Буквы по физике Б. 380 (3–4). Эльзевир Б.В.: 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . дои : 10.1016/0370-2693(96)00532-1 . ISSN 0370-2693 .
^ см. в книге «Лекции по непертурбативной канонической гравитации» Более подробную информацию об этом и последующем развитии . Впервые опубликовано в 1991 году. World Scientific Publishing Co. Pte. ООО
^ Тиманн, Т. (1 июня 1996 г.). «Условия реальности, вызывающие преобразования для квантовой калибровочной теории поля и квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 13 (6). Издательство ИОП: 1383–1403. arXiv : gr-qc/9511057 . дои : 10.1088/0264-9381/13/6/012 . ISSN 0264-9381 .
^ Барберо Дж., Дж. Фернандо (15 мая 1995 г.). «Реальные переменные Аштекара для лоренцева сигнатурного пространства-времени». Физический обзор D . 51 (10). Американское физическое общество (APS): 5507–5510. arXiv : gr-qc/9410014 . дои : 10.1103/physrevd.51.5507 . ISSN 0556-2821 .

Внешние ссылки

[1] Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд. Гравитация . Нью-Йорк: WH Freeman и компания.

[2] Аштекар, Абхай (3 ноября 1986 г.). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 57 (18). Американское физическое общество (APS): 2244–2247. дои : 10.1103/physrevlett.57.2244 . ISSN 0031-9007 .

[3] Ровелли, Карло; Смолин, Ли (5 сентября 1988 г.). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма о физических отзывах . 61 (10). Американское физическое общество (APS): 1155–1158. дои : 10.1103/physrevlett.61.1155 . ISSN 0031-9007 .

[Thiemann-4] Jump up to: ^а ^б Тиманн, Т. (1996). «Безаномальная формулировка непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Буквы по физике Б. 380 (3–4). Эльзевир Б.В.: 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . дои : 10.1016/0370-2693(96)00532-1 . ISSN 0370-2693 .

[5] см. в книге «Лекции по непертурбативной канонической гравитации» Более подробную информацию об этом и последующем развитии . Впервые опубликовано в 1991 году. World Scientific Publishing Co. Pte. ООО

[6] Тиманн, Т. (1 июня 1996 г.). «Условия реальности, вызывающие преобразования для квантовой калибровочной теории поля и квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 13 (6). Издательство ИОП: 1383–1403. arXiv : gr-qc/9511057 . дои : 10.1088/0264-9381/13/6/012 . ISSN 0264-9381 .

[7] Барберо Дж., Дж. Фернандо (15 мая 1995 г.). «Реальные переменные Аштекара для лоренцева сигнатурного пространства-времени». Физический обзор D . 51 (10). Американское физическое общество (APS): 5507–5510. arXiv : gr-qc/9410014 . дои : 10.1103/physrevd.51.5507 . ISSN 0556-2821 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]