Спиновое соединение

В дифференциальной геометрии и математической физике спиновая связь — это связь на спинорном расслоении . Оно индуцируется каноническим образом из аффинной связности . Его также можно рассматривать как калибровочное поле, порожденное локальными преобразованиями Лоренца . В некоторых канонических формулировках общей теории относительности спиновая связь определяется на пространственных срезах и также может рассматриваться как калибровочное поле, создаваемое локальными вращениями .

Спиновая связь встречается в двух распространенных формах: спиновая связь Леви-Чивита , когда она получена из связи Леви-Чивита , и аффинная спиновая связь , когда она получается из аффинной связи. Разница между ними заключается в том, что соединение Леви-Чивита по определению является уникальным соединением без кручения , тогда как аффинное соединение (и, следовательно, аффинное спиновое соединение) может содержать кручение.

Определение

Позволять $e_{\mu }^{\;\,a}$ быть локальными полями системы Лоренца или Вирбейном (также известными как тетрада), которые представляют собой набор ортонормированных векторных полей пространства-времени, которые диагонализуют метрический тензор $g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{\;\,a}e_{\nu }^{\;\,b}\eta _{ab},$ где $g_{\mu \nu }$ является метрикой пространства-времени и $\eta _{ab}$ – метрика Минковского . Здесь латинскими буквами обозначены индексы локальной системы Лоренца ; Греческие индексы обозначают общие индексы координат. Это просто выражает то, что $g_{\mu \nu }$ , если писать в терминах базиса $e_{\mu }^{\;\,a}$ , является локально плоским. Греческие индексы Вирбейна могут быть повышены или понижены по метрике, т.е. $g^{\mu \nu }$ или $g_{\mu \nu }$ . Латинские или «лоренцевские» индексы Вирбена можно повышать или понижать путем $\eta ^{ab}$ или $\eta _{ab}$ соответственно. Например, $e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}$ и $e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}$

Спиновое соединение без кручения определяется выражением $\omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}+e_{\nu }^{\ a}\partial _{\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}-e^{\nu b}\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a},$ где $\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }$ являются символами Кристоффеля . Это определение следует воспринимать как определение спиновой связи без кручения, поскольку по соглашению символы Кристоффеля получены из связи Леви-Чивита , которая является уникальной метрически совместимой связью без кручения на римановом многообразии. В общем, ограничения нет: спиновое соединение может содержать и кручение.

Обратите внимание, что $\omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\partial _{;\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}(\partial _{\mu }e^{\nu b}+\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b})$ используя гравитационную ковариантную производную $\partial _{;\mu }e^{\nu b}$ контравариантного вектора $e^{\nu b}$ . Спиновую связь можно записать чисто через поле Вирбена как ^[1] $\omega _{\mu }^{\ ab}={\tfrac {1}{2}}e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ b}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ b})-{\tfrac {1}{2}}e^{\nu b}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ a})-{\tfrac {1}{2}}e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial _{\rho }e_{\sigma c}-\partial _{\sigma }e_{\rho c})e_{\mu }^{\ c},$ который по определению антисимметричен по своим внутренним индексам $a,b$ .

Спиновое соединение $\omega _{\mu }^{\ ab}$ определяет ковариантную производную $D_{\mu }$ на обобщенных тензорах. Например, его действие на $V_{\nu }^{\ a}$ является $D_{\mu }V_{\nu }^{\ a}=\partial _{\mu }V_{\nu }^{\ a}+{{\omega _{\mu }}^{a}}_{b}V_{\nu }^{\ b}-\Gamma _{\ \nu \mu }^{\sigma }V_{\sigma }^{\ a}$

Структурные уравнения Картана

В формализме Картана спиновая связь используется для определения как кручения, так и кривизны. Их легче всего читать, работая с дифференциальными формами , поскольку это скрывает часть обилия индексов. Представленные здесь уравнения по сути являются переформулировкой тех, которые можно найти в статье о форме соединения и форме кривизны . Основное отличие состоит в том, что они сохраняют индексы вирбена, а не полностью их скрывают. В более узком смысле формализм Картана следует интерпретировать в его историческом контексте как обобщение идеи аффинной связи с однородным пространством ; она еще не столь общая, как идея главной расслоения связности . Она служит подходящей промежуточной точкой между более узкой постановкой римановой геометрии и полностью абстрактной постановкой расслоений, тем самым подчеркивая сходство с калибровочной теорией . Обратите внимание, что структурные уравнения Картана, выраженные здесь, имеют прямой аналог: уравнения Маурера – Картана для Группы Ли (то есть это те же уравнения, но в другой постановке и обозначениях).

Написание вирбенов как дифференциальных форм $e^{a}=e_{\mu }^{\;\,a}dx^{\mu }$ для ортонормированных координат на кокасательном расслоении одна форма аффинной спиновой связи равна $\omega ^{ab}=\omega _{\mu }^{\;\;ab}dx^{\mu }$ Торсионная вид 2-форма имеет $\Theta ^{a}=de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge e^{b}$ а 2-форма кривизны равна $R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}$ Эти два уравнения, взятые вместе, называются структурными уравнениями Картана . ^[2]Последовательность требует идентичности Бьянки соблюдения . Первое тождество Бьянки получается путем взятия внешней производной кручения: $d\Theta ^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge \Theta ^{b}=R_{\;\,b}^{a}\wedge e^{b}$ а второй путем дифференцирования кривизны: $dR_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge R_{\;\,b}^{c}-R_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}=0.$ Ковариантная производная общей дифференциальной формы $V_{\;\,b}^{a}$ степени p определяется выражением $DV_{\;\,b}^{a}=dV_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge V_{\;\,b}^{c}-(-1)^{p}V_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}.$ Вторая личность Бьянки тогда становится $DR_{\;\,b}^{a}=0.$ Разница между соединением с кручением и уникальным соединением без кручения определяется тензором скручивания . Связи с кручением обычно встречаются в теориях телепараллелизма , теории Эйнштейна-Картана , калибровочной теории гравитации и супергравитации .

Вывод

Метричность

Путем повышения и понижения индексов по мере необходимости легко сделать вывод, что поля кадра , определенные $g_{\mu \nu }={e_{\mu }}^{a}{e_{\nu }}^{b}\eta _{ab}$ также удовлетворит ${e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=\delta _{b}^{a}$ и ${e_{\mu }}^{b}{e^{\nu }}_{b}=\delta _{\mu }^{\nu }$ . Мы ожидаем, что $D_{\mu }$ также уничтожит метрику Минковского $\eta _{ab}$ , $D_{\mu }\eta _{ab}=\partial _{\mu }\eta _{ab}-{\omega _{\mu a}}^{c}\eta _{cb}-{\omega _{\mu b}}^{c}\eta _{ac}=0.$ Это означает, что связь антисимметрична по своим внутренним индексам, ${\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.$ Это также можно вывести, взяв гравитационную ковариантную производную $\partial _{;\beta }({e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b})=0$ что подразумевает, что $\partial _{;\beta }{e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=-{e_{\mu }}^{a}\partial _{;\beta }{e^{\mu }}_{b}$ таким образом, в конечном итоге, ${\omega _{\beta }}^{ab}=-{\omega _{\beta }}^{ba}$ . Иногда это называют условием метричности ; ^[2] это аналогично более часто формулируемому условию метричности, которое $g_{\mu \nu ;\alpha }=0.$ Заметим, что это условие выполняется только для спин-связности Леви-Чивита, а не для аффинной спин-связности вообще.

Подставив формулу символов Кристоффеля ${\Gamma ^{\nu }}_{\sigma \mu }={\tfrac {1}{2}}g^{\nu \delta }\left(\partial _{\sigma }g_{\delta \mu }+\partial _{\mu }g_{\sigma \delta }-\partial _{\delta }g_{\sigma \mu }\right)$ написано с точки зрения ${e_{\mu }}^{a}$ , спиновую связь можно полностью записать в терминах ${e_{\mu }}^{a}$ , ${\omega _{\mu }}^{ab}=e^{\nu [a}({{e_{\nu }}^{b]}}_{,\mu }-{{e_{\mu }}^{b]}}_{,\nu }+e^{\sigma |b]}{e_{\mu }}^{c}e_{\nu c,\sigma })$ где антисимметризация индексов имеет неявный коэффициент 1/2.

По метрической совместимости

Эту формулу можно вывести и другим способом. Чтобы напрямую решить условие совместимости для спинового соединения ${\omega _{\mu }}^{ab}$ , можно использовать тот же прием, который использовался для решения $\nabla _{\rho }g_{\alpha \beta }=0$ для символов Кристоффеля ${\Gamma ^{\gamma }}_{\alpha \beta }$ . Сначала заключите условие совместимости, чтобы дать ${e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}(\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}+{\omega _{[\alpha a}}^{d}\;e_{\beta ]d})=0.$

Затем выполните циклическую перестановку свободных индексов $a,b,$ и $c$ , а также сложите и вычтите три полученных уравнения: $\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}+2{e^{\alpha }}_{b}\omega _{\alpha ac}=0$ где мы использовали определение $\Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}$ . Решение для спинового соединения: $\omega _{\alpha ca}={\tfrac {1}{2}}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}).$

Отсюда мы получаем ту же формулу, что и раньше.

Приложения

Спиновая связь возникает в уравнении Дирака, если выразить его на языке искривленного пространства-времени , см. Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени . В частности, существуют проблемы, связанные с гравитацией и спинорными полями: не существует конечномерных спинорных представлений общей ковариационной группы . Однако, конечно, существуют спинорные представления группы Лоренца . Этот факт используется путем использования тетрадных полей, описывающих плоское касательное пространство в каждой точке пространства-времени. Матрицы Дирака $\gamma ^{a}$ сокращаются на vierbiens, $\gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x).$

Мы хотим построить общековариантное уравнение Дирака. в плоском касательном пространстве При преобразовании Лоренца спинор преобразуется как $\psi \mapsto e^{i\epsilon ^{ab}(x)\sigma _{ab}}\psi$

Мы ввели локальные преобразования Лоренца в плоском касательном пространстве, порожденном $\sigma _{ab}$ s, такой, что $\epsilon _{ab}$ является функцией пространства-времени. Это означает, что частная производная спинора больше не является настоящим тензором. Как обычно, вводится поле подключения ${\omega _{\mu }}^{ab}$ это позволяет нам оценить группу Лоренца. Ковариантная производная, определенная с помощью спиновой связи, равна: $\nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}{\omega _{\mu }}^{ab}\sigma _{ab}\right)\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}e^{\nu a}\partial _{;\mu }{e_{\nu }}^{b}\sigma _{ab}\right)\psi ,$ и является настоящим тензором, а уравнение Дирака переписывается как $(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0.$

первого порядка Обычно ковариантное фермионное действие связывает фермионы с гравитацией при добавлении к тетрадному действию Палатини : ${\mathcal {L}}=-{1 \over 2\kappa ^{2}}e\,{e^{\mu }}_{a}{e^{\nu }}_{b}{\Omega _{\mu \nu }}^{ab}[\omega ]+e{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi$ где ${\textstyle e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}}$ и ${\Omega _{\mu \nu }}^{ab}$ – кривизна спиновой связи.

Тетрадная формулировка Палатини общей теории относительности, которая представляет собой формулировку первого порядка действия Эйнштейна-Гильберта , где тетрада и спиновая связь являются основными независимыми переменными. В версии формулировки Палатини 3+1 информация о пространственной метрике $q_{ab}(x)$ , кодируется в триаде $e_{a}^{i}$ (трехмерная, пространственная версия тетрады). Здесь мы расширяем условие метрической совместимости $D_{a}q_{bc}=0$ к $e_{a}^{i}$ , то есть, $D_{a}e_{b}^{i}=0$ и получим формулу, аналогичную приведенной выше, но для пространственной спиновой связи $\Gamma _{a}^{ij}$ .

Пространственная спиновая связь появляется в определении переменных Аштекара – Барберо, что позволяет переписать общую теорию относительности 3+1 как особый тип $\mathrm {SU} (2)$ Янга–Миллса Калибровочная теория . Один определяет $\Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}$ . Переменная соединения Аштекар-Барберо тогда определяется как $A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta c_{a}^{i}$ где $c_{a}^{i}=c_{ab}e^{bi}$ и $c_{ab}$ внешняя кривизна и $\beta$ – параметр Иммирзи . С $A_{a}^{i}$ в качестве конфигурационной переменной сопряженный импульс представляет собой уплотненную триаду $E_{a}^{i}=\left|\det(e)\right|e_{a}^{i}$ . Когда общая теория относительности 3+1 переписана как особый тип $\mathrm {SU} (2)$ Калибровочная теория Янга – Миллса позволяет импортировать непертурбативные методы, используемые в квантовой хромодинамике, в каноническую квантовую общую теорию относительности.

См. также

Ссылки

^ М.Б. Грин, Дж. Х. Шварц, Э. Виттен, «Теория суперструн», Vol. 2.
^ Jump up to: ^а ^б Тору Эгучи, Питер Б. Гилки и Эндрю Дж. Хэнсон, « Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия », Physics Reports 66 (1980), стр. 213–393.

Хель, ФРВ; фон дер Хейде, П.; Керлик, Грузия; Нестер, Дж. М. (1976), «Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы» , Rev. Mod. Физ. 48 , 393.
Киббл, TWB (1961), «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле» , J. Math. Физ. 2 , 212.
Поплавски, Нью-Джерси (2009), «Пространство-время и поля», arXiv:0911.0334
Скиама, Д.В. (1964), «Физическая структура общей теории относительности» , Rev. Mod. Физ. 36 , 463.

[1] М.Б. Грин, Дж. Х. Шварц, Э. Виттен, «Теория суперструн», Vol. 2.

[eguchi-2] Jump up to: ^а ^б Тору Эгучи, Питер Б. Гилки и Эндрю Дж. Хэнсон, « Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия », Physics Reports 66 (1980), стр. 213–393.

[1]

[2]