Телепараллелизм

Телепараллелизм (также называемый телепараллельной гравитацией ) был попыткой Альберта Эйнштейна. основать единую теорию электромагнетизма и гравитации на математической структуре удаленного параллелизма, также называемого абсолютным или телепараллелизмом. В этой теории пространство-время характеризуется линейной связью без кривизны в сочетании с метрическим тензорным полем, которые определяются в терминах динамического тетрадного поля.

Телепараллельное пространство-время

Важнейшей новой идеей для Эйнштейна было введение тетрадного поля, т. е. набора {X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ } четырех векторных полей, определенных на всем таких M, что для каждого p ∈ M , множество {X ₁ ( p ), X ₂ ( p ), X ₍ p ) , X ₄ ( p )} является базисом M T _p p , где T _p M обозначает слой над 3 касательного векторного расслоения TM . Следовательно, четырехмерное пространственно-временное многообразие M должно быть параллелизуемым многообразием . Поле тетрад было введено, чтобы обеспечить возможность удаленного сравнения направления касательных векторов в разных точках многообразия, отсюда и название удаленного параллелизма. Его попытка провалилась, потому что в его упрощенном уравнении поля не было решения Шварцшильда.

Фактически, можно определить соединение распараллеливания (также называемое Вайценбека соединением ) {X _i } как линейное соединение ∇ на M такое, что

$$\nabla _{v}\left(f^{i}\mathrm {X} _{i}\right)=\left(vf^{i}\right)\mathrm {X} _{i}(p),$$

где v ∈ T _p M и f ^я являются (глобальными) функциями на M ; таким образом, f ^я X _i — глобальное векторное поле на M . Другими словами, все коэффициенты связности Вайценбека ∇ относительно {X _i } тождественно равны нулю, что неявно определяется следующим образом:

$$\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}=0,$$

следовательно

$${W^{k}}_{ij}=\omega ^{k}\left(\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}\right)\equiv 0,$$

для коэффициентов связи (также называемых коэффициентами Вайценбека) в этом глобальном базисе. Здесь ω ^к — двойственный глобальный базис (или кофрейм), определяемый ω ^я (X _j ) = δ ^я
_Дж .

Это то, что обычно происходит в R ^н , в любом аффинном пространстве или группе Ли (например, «искривленная» сфера S ³ но «плоское многообразие Вайценбека»).

Используя закон преобразования связности или, что то же самое, свойства ∇ , мы получаем следующий результат.

Предложение . В естественном базисе, связанном с локальными координатами ( U , x ^м ) , т. е. в голономной системе отсчета ∂ _µ (локальные) коэффициенты связности связности Вайценбека определяются выражением:

$${\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }=h_{i}^{\beta }\partial _{\nu }h_{\mu }^{i},$$

где X _i = h ^м
_i ∂ _µ для i , µ = 1, 2,… n — локальные выражения глобального объекта, то есть данной тетрады.

Связность Вайценбека имеет исчезающую кривизну , но, вообще говоря, неисчезающее кручение .

Учитывая поле кадра {X _i } , можно также определить метрику, представляя поле кадра как ортонормированное векторное поле. Тогда можно было бы получить псевдориманово метрическое тензорное поле g сигнатуры формуле (3,1) по

$$g\left(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{j}\right)=\eta _{ij},$$

где

$$\eta _{ij}=\operatorname {diag} (-1,-1,-1,1).$$

Соответствующее базовое пространство-время в этом случае называется пространством-временем Вайценбека .

Стоит отметить, что эти «параллельные векторные поля» порождают метрический тензор в качестве побочного продукта.

гравитации

Новая телепараллельная теория гравитации (или новая общая теория относительности ) представляет собой теорию гравитации в пространстве-времени Вайценбека и приписывает гравитацию тензору кручения, образованному из параллельных векторных полей.

В новой теории телепараллельной гравитации фундаментальные предположения заключаются в следующем:

1. В основе пространства-времени лежит пространство-время Вайценбека, фундаментальной структурой которого является четверка параллельных векторных полей. Эти параллельные векторные поля порождают метрический тензор как побочный продукт. Все физические законы выражаются уравнениями, ковариантными или инвариантными по форме относительно группы общих преобразований координат.
2. Принцип эквивалентности справедлив только в классической физике.
3. Уравнения гравитационного поля выводятся из принципа действия.
4. Уравнения поля представляют собой уравнения в частных производных по полевым переменным не выше второго порядка.

В 1961 году Кристиан Мёллер возродили идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебанский нашел лагранжеву формулировку абсолютного параллелизма .

гравитации

В 1961 году Моллер показал, что тетрадное описание гравитационных полей позволяет более рационально трактовать комплекс энергии-импульса , чем теория, основанная только на метрическом тензоре . Преимущество использования тетрад в качестве гравитационных переменных было связано с тем, что это позволяло строить выражения для комплекса энергии-импульса, обладающие более удовлетворительными трансформационными свойствами, чем в чисто метрической формулировке. В 2015 году было показано, что полная энергия материи и гравитации пропорциональна скаляру Риччи трехмерного пространства с точностью до линейного порядка возмущения.

Новый перевод телепараллельной

Независимо в 1967 году Хаяси и Накано возродили идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебанский начал формулировать калибровочную теорию пространства-времени группы переноса . Хаяси указал на связь между калибровочной теорией группы перевода пространства-времени и абсолютным параллелизмом. Первую формулировку пучка волокон предложил Чо. Эта модель позже была изучена Швейцером и др., Нитч и Хель, Мейер; более поздние достижения можно найти у Альдрованди и Перейры, Гронвальда, Итина, Малуфа и да Роча Нето, Мюнха, Обухова и Перейры, а также Шукинга и Суровица.

В настоящее время телепараллелизм изучается исключительно как теория гравитации. не пытаясь объединить его с электромагнетизмом. В этой теории гравитационное поле оказывается полностью представленным поступательным калибровочным потенциалом B ^а _µ , как и должно быть в калибровочной теории для группы сдвигов.

больше не существует Если этот выбор сделан, то никакой лоренцевой калибровочной симметрии , поскольку внутренний пространства Минковского слой над каждой точкой пространственно-временного многообразия принадлежит расслоению с абелевой группой R. ⁴ как структурная группа . Однако трансляционную калибровочную симметрию можно ввести следующим образом: вместо того, чтобы рассматривать тетрады как фундаментальные, мы вводим фундаментальную R ⁴ вместо этого трансляционная калибровочная симметрия (которая действует на внутренние слои пространства Минковского аффинно, так что этот слой снова становится локальным) со связностью B и «координатным полем» x, принимающим значения в слое пространства Минковского.

Точнее, пусть π : M → M — Минковского расслоение над пространственно-временным многообразием M . каждой точки p ∈ M слой Mp _Для является аффинным пространством . В расслоенной диаграмме ( V , ψ ) координаты обычно обозначаются ψ = ( x ^м , х ^а ) , где x ^м — координаты на пространственно-временном многообразии M , а x ^а – координаты в слое M _p .

Используя обозначение абстрактного индекса , пусть a , b , c ,… относятся к M _p, а µ , ν ,… относятся к касательному расслоению TM . В любой конкретной калибровке значение x ^а в точке p задается сечением

$$x^{\mu }\to \left(x^{\mu },x^{a}=\xi ^{a}(p)\right).$$

Ковариантная производная

$$D_{\mu }\xi ^{a}\equiv \left(d\xi ^{a}\right)_{\mu }+{B^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }$$

определяется относительно формы связности B , 1-формы, принимающей значения в алгебре Ли трансляционной абелевой группы R ⁴ . Здесь d — производная компонента a го - x внешняя , который является скалярным полем (так что это не чисто абстрактное обозначение индекса). При калибровочном преобразовании полем трансляции α ^а ,

$$x^{a}\to x^{a}+\alpha ^{a}$$

и

$${B^{a}}_{\mu }\to {B^{a}}_{\mu }-\partial _{\mu }\alpha ^{a}$$

и, следовательно, ковариантная производная x ^а = х ^а ( p ) является калибровочно-инвариантным . Это отождествляется с трансляционной (ко-) тетрадой.

$${h^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }$$

которая представляет собой одноформу , принимающую значения в алгебре Ли трансляционной абелевой группы R ⁴ , откуда оно калибровочно-инвариантно. Но что это значит? х ^а = х ^а ( p ) — локальное сечение (чисто трансляционного) аффинного внутреннего расслоения M → M , еще одной важной структуры в дополнение к трансляционному калибровочному полю B. ^а _мкм . Геометрически это поле определяет происхождение аффинных пространств; он известен как радиус-вектор Картана . В рамках калибровочной теории одноформенная

$$h^{a}={h^{a}}_{\mu }dx^{\mu }=\left(\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }\right)dx^{\mu }$$

возникает как нелинейное трансляционное калибровочное поле с ξ ^а интерпретируется как поле Голдстоуна, описывающее спонтанное нарушение трансляционной симметрии.

Грубая аналогия: представьте себе M _p как экран компьютера, а внутреннее смещение — как положение указателя мыши. Думайте об изогнутом коврике для мыши как о пространстве-времени, а о положении мыши — как о положении. Сохраняя ориентацию мыши фиксированной, если мы перемещаем мышь по изогнутому коврику, положение указателя мыши (внутреннее смещение) также изменяется, и это изменение зависит от пути; т.е. оно не зависит только от начального и конечного положения мыши. Изменение внутреннего смещения при перемещении мыши по замкнутой траектории коврика — это кручение.

Еще одна грубая аналогия: представьте себе кристалл с линейными дефектами ( краевыми и винтовыми дислокациями , но не дисклинациями ). Параллельное перемещение точки М по траектории определяется путем подсчета числа пересеченных кристаллических связей (вверх/вниз, вперед/назад и влево/вправо). Вектор Бюргерса соответствует кручению. Наклоны соответствуют кривизне, поэтому ими пренебрегают.

Кручение — то есть поступательная напряженность поля телепараллельной гравитации (или поступательная «кривизна») —

$${T^{a}}_{\mu \nu }\equiv \left(DB^{a}\right)_{\mu \nu }=D_{\mu }{B^{a}}_{\nu }-D_{\nu }{B^{a}}_{\mu },$$

является калибровочным инвариантом .

Мы всегда можем выбрать калибр, где x ^а всюду равен нулю, хотя M _p — аффинное пространство и тоже слой; таким образом, начало координат должно определяться поточечно, что может быть сделано произвольно. Это возвращает нас к теории, в которой тетрада является фундаментальной.

Телепараллелизм относится к любой теории гравитации, основанной на этой теории. Существует определенный выбор действия , который делает его в точности эквивалентным. в общую теорию относительности, но существуют и другие варианты действия, не эквивалентные общей теории относительности. В некоторых из этих теорий нет эквивалентности между инерционной и гравитационной массами .

В отличие от общей теории относительности, гравитация возникает не из-за искривления пространства-времени, а из-за его скручивания.

Негравитационные контексты

Существует близкая аналогия геометрии пространства-времени со структурой дефектов в кристалле. Дислокации представлены кручением, дисклинации – кривизной. Эти дефекты не являются независимыми друг от друга. Дислокация эквивалентна паре дисклинация-антидисклинация, дисклинация эквивалентна цепочке дислокаций. Это основная причина, по которой теория Эйнштейна, основанная исключительно на кривизне, может быть переписана как телепараллельная теория, основанная только на кручении. Более того, существует бесконечно много способов переписать теорию Эйнштейна, в зависимости от того, какую часть кривизны мы хотим выразить в терминах кручения, причем теория телепараллели является лишь одной из них.

Дальнейшее применение телепараллелизма происходит в квантовой теории поля, а именно, в двумерных нелинейных сигма-моделях с целевым пространством на простых геометрических многообразиях, поведение перенормировки которых контролируется потоком Риччи , который включает кручение . Это кручение изменяет тензор Риччи и, следовательно, приводит к инфракрасной фиксированной точке связи из-за телепараллельности («геометростазис»).

См. также

• Классические теории гравитации
• Калибровочная теория гравитации
• Теория Калуцы-Клейна
• Геометродинамика

Дальнейшее чтение

• Альдрованди, Р.; Перейра, JG (2012). Телепараллельная гравитация: Введение . Спрингер: Дордрехт. ISBN  978-94-007-5142-2 .
• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968). Тензорный анализ многообразий (первое изд., Дувр, 1980 г.). Макмиллан. ISBN  978-0-486-64039-6 .
• Вайценбёк, Р. (1923). Инвариантная теория . Гронинген: Нордхофф.

Внешние ссылки

• Избранные статьи о телепараллелизме , переведенные и отредактированные Д. Х. Дельфенихом.
• Телепараллельная гравитация в n лаборатории
• Телепараллельные структуры и теории гравитации Лука Бомбелли