Теория Калуцы – Клейна

Эта статья о гравитации и электромагнетизме. Математическое обобщение теории К см. в разделе «КК-теория» .

В физике построенная теория Калуцы-Клейна ( теория К.К. это классическая единая полевая теория гравитации ) — и электромагнетизма, на идее пятого измерения за пределами общего 4D пространства и времени и считающаяся важным предшественником теории струн . В их конструкции вакуум имеет обычные три измерения пространства и одно измерение времени, но с еще одним микроскопическим дополнительным пространственным измерением в форме крошечного круга. Гуннара Нордстрема Похожая идея возникла у раньше. Но в этом случае к электромагнитному векторному потенциалу был добавлен пятый компонент, представляющий ньютоновский гравитационный потенциал и записывающий уравнения Максвелла в пяти измерениях.

Пятимерная (5D) теория развивалась в три этапа. Оригинальная гипотеза исходила от Теодора Калуцы , который отправил свои результаты Эйнштейну в 1919 году. и опубликовал их в 1921 году. Калуца ​​представил чисто классическое расширение общей теории относительности на 5D с метрическим тензором из 15 компонентов. Десять компонентов отождествляются с четырехмерной метрикой пространства-времени, четыре компонента — с электромагнитным векторным потенциалом и один компонент — с неопознанным скалярным полем , которое иногда называют « радионом » или «дилатоном». Соответственно, 5D-уравнения Эйнштейна дают 4D- уравнения поля Эйнштейна , уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для скалярного поля. Калуца ​​также представил гипотезу «состояния цилиндра», согласно которой ни один компонент пятимерной метрики не зависит от пятого измерения. Без этого ограничения вводятся члены, включающие производные полей по пятой координате, и эта дополнительная степень свободы делает математику полностью переменной 5D-теории относительности чрезвычайно сложной. Стандартная 4D-физика, кажется, демонстрирует это «состояние цилиндра», а вместе с ним и более простую математику.

В 1926 году Оскар Кляйн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию. в соответствии с недавними на тот момент открытиями Гейзенберга и Шрёдингера. Кляйн выдвинул гипотезу о том, что пятое измерение свернуто и микроскопично, чтобы объяснить состояние цилиндра. Кляйн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга радиусом 10 ⁻³⁰ см . Точнее, радиус кругового измерения в 23 раза больше планковской длины, которая, в свою очередь, порядка 10 ⁻³³ см . Кляйн также внес вклад в классическую теорию, предоставив правильно нормализованную 5D-метрику. Работа над теорией поля Калуцы продолжалась в 1930-х годах Эйнштейном и его коллегами из Принстона.

В 1940-х годах классическая теория была завершена, и уравнения полного поля, включая скалярное поле, были получены тремя независимыми исследовательскими группами: Трии, работал во Франции над диссертацией под руководством Лихнеровича; Йордан, Людвиг и Мюллер в Германии. при критическом вкладе Паули и Фирца; и Шеррер работаю один в Швейцарии. Работа Джордана привела к созданию скалярно-тензорной теории Бранса-Дике ; Бранс и Дике, по-видимому, не знали ни о Тири, ни о Шеррере. Полные уравнения Калуцы в условиях цилиндра довольно сложны, и большинство англоязычных обзоров, а также английские переводы Тири содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны полных уравнений Калуцы были оценены с использованием программного обеспечения тензорной алгебры в 2015 году: проверка результатов Феррари и Кокеро и Эспозито-Фарезе. 5D-ковариантная форма членов источника энергии-импульса рассматривается Уильямсом.

Гипотеза Калуцы

В своей статье 1921 г. Калуца ​​установил все элементы классической пятимерной теории: метрику, уравнения поля, уравнения движения, тензор энергии-импульса и состояние цилиндра. Не имея свободных параметров , он просто расширяет общую теорию относительности до пяти измерений. Начинаем с предположения о форме пятимерной метрики ${\widetilde {g}}_{ab}$, где латинские индексы охватывают пять измерений. Введем также четырехмерную метрику пространства-времени ${g}_{\mu \nu }$, где греческие индексы охватывают обычные четыре измерения пространства и времени; 4-вектор $A^{\mu }$ отождествляется с электромагнитным векторным потенциалом; и скалярное поле $\phi$. Затем разложите 5D-метрику так, чтобы 4D-метрика была оформлена электромагнитным векторным потенциалом со скалярным полем на пятой диагонали. Это можно представить как

${\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.$

Можно написать точнее

${\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55}\equiv \phi ^{2},$

где индекс $5$ по соглашению указывает пятую координату, хотя первые четыре координаты имеют индексы 0, 1, 2 и 3. Соответствующая обратная метрика равна

${\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{\phi ^{2}}}\end{bmatrix}}.$

Это разложение является весьма общим, и все члены безразмерны. аппарат стандартной общей теории относительности Затем Калуца ​​применяет к этой метрике . Уравнения поля получены из пятимерных уравнений Эйнштейна , а уравнения движения — из пятимерной геодезической гипотезы. Полученные в результате уравнения поля представляют собой уравнения как общей теории относительности, так и электродинамики; уравнения движения дают четырехмерное уравнение геодезических и закон силы Лоренца , и можно обнаружить, что электрический заряд отождествляется с движением в пятом измерении.

Гипотеза метрики подразумевает инвариантный пятимерный элемент длины $ds$:

$ds^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }+\phi ^{2}(A_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.$

Уравнения поля из гипотезы Калуцы

Уравнения поля пятимерной теории никогда не были адекватно представлены Калуцей и Клейном, потому что они игнорировали скалярное поле . Полные уравнения поля Калуцы обычно приписывают Тири, который получил уравнения вакуумного поля, хотя Калуца Первоначально предоставил тензор энергии-напряжения для своей теории, а Тири включил тензор энергии-напряжения в свою диссертацию. Но, как описывает Гоннер, несколько независимых групп работали над уравнениями поля в 1940-х годах и ранее. Тири, пожалуй, наиболее известен только потому, что английский перевод был предоставлен Applequist, Chodos и Freund в их обзорной книге. Эпплквист и др. также предоставил английский перевод статьи Калуцы. Переводы трех (1946, 1947, 1948) статей Джордана можно найти в архивах ResearchGate и Academia.edu . Первые правильные уравнения поля Калуцы на английском языке, включая скалярное поле, были предоставлены Уильямсом.

Чтобы получить уравнения 5D поля, 5D связи ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ рассчитываются по метрике 5D ${\widetilde {g}}_{ab}$и 5D- тензор Риччи ${\widetilde {R}}_{ab}$ рассчитывается на основе 5D- соединений .

Классические результаты Тири и других авторов предполагают состояние цилиндра:

${\frac {\partial {\widetilde {g}}_{ab}}{\partial x^{5}}}=0.$

Без этого предположения уравнения поля становятся намного более сложными, обеспечивая гораздо больше степеней свободы, которые можно отождествить с различными новыми полями. Пол Вессон и его коллеги пытались ослабить состояние цилиндра, чтобы получить дополнительные члены, которые можно отождествить с полями материи. для чего Калуца в противном случае вставьте тензор энергии-импульса вручную.

Возражением против первоначальной гипотезы Калуцы было обращение к пятому измерению только для того, чтобы свести на нет его динамику. Но Тири возражал что интерпретация закона силы Лоренца в терминах пятимерной геодезической сильно противоречит пятому измерению, независимо от состояния цилиндра. Поэтому большинство авторов использовали условие цилиндра при выводе уравнений поля. Кроме того, обычно предполагаются уравнения вакуума, для которых

${\widetilde {R}}_{ab}=0,$

где

${\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}$

и

${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{ad}(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}).$

Уравнения вакуумного поля, полученные таким образом Тири и группа Джордана заключаются в следующем.

Уравнение поля для $\phi$ получается из

${\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={\frac {1}{4}}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta },$

где $F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },$ $\Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu },$ и $\nabla _{\mu }$ — стандартная 4D- ковариантная производная . Это показывает, что электромагнитное поле является источником скалярного поля . Обратите внимание, что скалярное поле не может быть установлено постоянным без ограничения электромагнитного поля. Более ранние исследования Калуцы и Кляйна не содержали адекватного описания скалярного поля и не учитывали подразумеваемое ограничение на электромагнитное поле, предполагающее, что скалярное поле является постоянным.

Уравнение поля для $A^{\nu }$ получается из

${\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={\frac {1}{2}}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }(\phi ^{3}F_{\alpha \beta }).$

Оно имеет вид вакуумных уравнений Максвелла, если скалярное поле постоянно.

Уравнение поля для четырехмерного тензора Риччи $R_{\mu \nu }$ получается из

${\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R}}&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R&={\frac {1}{2}}\phi ^{2}\left(g^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi ),\end{aligned}}$

где $R$ — стандартный 4D-скаляр Риччи.

Это уравнение демонстрирует замечательный результат, названный «чудом Калуцы», заключающийся в том, что точная форма электромагнитного тензора напряжения-энергии возникает из 5D-уравнений вакуума в качестве источника в 4D-уравнениях: поля из вакуума. Это соотношение позволяет окончательно идентифицировать $A^{\mu }$ с электромагнитным векторным потенциалом. Следовательно, поле необходимо масштабировать с помощью константы преобразования. $k$ такой, что $A^{\mu }\to kA^{\mu }$.

Соотношение выше показывает, что мы должны иметь

${\frac {k^{2}}{2}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}={\frac {2G}{c^{2}}}4\pi \epsilon _{0},$

где $G$ гравитационная постоянная , а $\mu _{0}$ это проницаемость свободного пространства . В теории Калуцы гравитационную постоянную можно понимать как константу электромагнитной связи в метрике. Существует также тензор энергии-импульса для скалярного поля. Скалярное поле ведет себя как переменная гравитационная постоянная с точки зрения модуляции связи электромагнитного напряжения-энергии с кривизной пространства-времени. Знак $\phi ^{2}$ в метрике фиксируется соответствием с 4D-теорией, так что плотности электромагнитной энергии положительны. Часто полагают, что пятая координата по своей сигнатуре в метрике пространственноподобна.

При наличии материи нельзя предполагать состояние 5D-вакуума. Действительно, Калуца ​​этого не предполагал. Уравнения полного поля требуют оценки 5D-тензора Эйнштейна.

${\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R}},$

как видно из восстановления тензора электромагнитного напряжения-энергии выше. Тензоры 5D-кривизны сложны, и большинство англоязычных обзоров содержат ошибки либо в ${\widetilde {G}}_{ab}$ или ${\widetilde {R}}_{ab}$, как и английский перевод Тири. См. Уильямс для полного набора 5D-тензоров кривизны в состоянии цилиндра, оцененных с помощью программного обеспечения тензорной алгебры.

Уравнения движения из гипотезы Калуцы

Уравнения движения получены из пятимерной геодезической гипотезы. в плане 5-скоростной ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$:

${\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={\frac {d{\widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0.$

Это уравнение можно переписать несколькими способами, и оно изучалось в различных формах авторами, включая Калуцу, Паули, Гросс и Перри, Гегенберг и Кунштаттер, и Вессон и Понсе де Леон, но поучительно преобразовать его обратно в обычный 4-мерный элемент длины $c^{2}\,d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }$, который связан с 5-мерным элементом длины $ds$ как указано выше:

$ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}+\phi ^{2}(kA_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.$

Тогда уравнение 5D геодезической можно записать для пространственно-временных составляющих 4-скорости:

$U^{\nu }\equiv {\frac {dx^{\nu }}{d\tau }},$

${\frac {dU^{\nu }}{d\tau }}+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }(U^{5})^{2}+U^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\ln {\frac {c\,d\tau }{ds}}=0.$

Термин квадратичный по $U^{\nu }$ предоставляет четырехмерное геодезическое уравнение плюс некоторые электромагнитные термины:

${\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{\beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).$

Член линейный по $U^{\nu }$ дает закон силы Лоренца :

${\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}(F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).$

Это еще одно выражение «Калужского чуда». Та же гипотеза для 5D-метрики, которая обеспечивает электромагнитное напряжение-энергию в уравнениях Эйнштейна, также обеспечивает закон силы Лоренца в уравнении движения наряду с 4D-уравнением геодезических. Однако соответствие закону силы Лоренца требует, чтобы мы отождествили компонент 5-скорости по пятому измерению с электрическим зарядом:

$kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\to {\frac {q}{mc}},$

где $m$ - масса частицы, а $q$ – электрический заряд частицы. При этом электрический заряд понимается как движение по пятому измерению. Тот факт, что закон силы Лоренца можно было понимать как геодезическую в пяти измерениях, был для Калуцы основным мотивом для рассмотрения пятимерной гипотезы, даже при наличии эстетически неприятного состояния цилиндра.

Однако есть проблема: термин, квадратичный по $U^{5}$,

${\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}.$

Если в скалярном поле градиента нет, то термин, квадратичный по $U^{5}$ исчезает. Но в противном случае из приведенного выше выражения следует

$U^{5}\sim c{\frac {q/m}{G^{1/2}}}.$

Для элементарных частиц $U^{5}>10^{20}c$. Термин квадратичный по $U^{5}$ должно доминировать в уравнении, возможно, вопреки опыту. В этом был главный недостаток пятимерной теории, как ее видел Калуца: и он обсуждает это в своей оригинальной статье.

Уравнение движения для $U^{5}$ особенно просто в условиях цилиндра. Начнем с альтернативной формы уравнения геодезических, записанного для ковариантной 5-скорости:

${\frac {d{\widetilde {U}}_{a}}{ds}}={\frac {1}{2}}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{\frac {\partial {\widetilde {g}}_{bc}}{\partial x^{a}}}.$

Это означает, что в условиях цилиндра ${\widetilde {U}}_{5}$ – константа пятимерного движения:

${\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{\frac {c\,d\tau }{ds}}(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5})={\text{constant}}.$

Гипотеза Калуцы о тензоре энергии-напряжения материи

Калуца ​​предложил пятимерный тензор напряжений материи ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$ формы

${\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {\frac {dx^{a}}{ds}}{\frac {dx^{b}}{ds}},$

где $\rho$ — плотность, а элемент длины $ds$ такое, как определено выше.

Тогда пространственно-временная компонента дает типичный «пылевой» тензор энергии-импульса:

${\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}.$

Смешанный компонент обеспечивает источник четырех токов для уравнений Максвелла:

${\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{5}}{ds}}=\rho U^{\mu }{\frac {q}{kmc}}.$

Подобно тому, как пятимерная метрика включает в себя четырехмерную метрику, оформленную электромагнитным векторным потенциалом, пятимерный тензор энергии-импульса включает в себя четырехмерный тензор энергии-напряжения, оформленный вектором 4-тока.

Квантовая интерпретация Клейна

Первоначальная гипотеза Калуцы представляла собой чисто классическое и расширенное открытие общей теории относительности. Ко времени публикации Кляйна открытия Гейзенберга, Шредингера и де Бройля привлекали большое внимание. Кляйна в журнале Nature Статья предположил, что пятое измерение является замкнутым и периодическим и что отождествление электрического заряда с движением в пятом измерении можно интерпретировать как стоячие волны с длиной волны $\lambda ^{5}$, очень похоже на электроны вокруг ядра в Бора модели атома . Квантование электрического заряда тогда можно было бы хорошо понять в терминах целых кратных пятимерного импульса. Объединение предыдущего результата Калуцы для $U^{5}$ в терминах электрического заряда и соотношение де Бройля для импульса $p^{5}=h/\lambda ^{5}$, Клейн получил выражение для 0-й моды таких волн:

$mU^{5}={\frac {cq}{G^{1/2}}}={\frac {h}{\lambda ^{5}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5}\sim {\frac {hG^{1/2}}{cq}},$

где $h$ — постоянная Планка . Кляйн обнаружил, что $\lambda ^{5}\sim 10^{-30}$ см, и тем самым объяснение состояния цилиндра в этой небольшой величине.

Статья Кляйна в журнале Physics того же года: дал более подробное рассмотрение, в котором явно использовались методы Шредингера и де Бройля. Она резюмировала большую часть классической теории Калуцы, описанной выше, а затем перешла к квантовой интерпретации Клейна. Кляйн решил волновое уравнение типа Шредингера, используя разложение по пятимерным волнам, резонирующим в замкнутом, компактном пятом измерении.

Интерпретация теории групп

Пространство M × C компактифицируется над компактом C возникает эффективная теория поля . , и после разложения Калуцы–Клейна над M

В 1926 году Оскар Кляйн предположил, что четвертое пространственное измерение свернуто в круг очень малого радиуса , чтобы частица, двигающаяся на небольшое расстояние вдоль этой оси, возвращалась туда, откуда начала. Расстояние, которое частица может пройти, прежде чем достичь своего начального положения, называется размером измерения. Это дополнительное измерение представляет собой компактное множество , и построение этого компактного измерения называется компактификацией .

В современной геометрии под дополнительным пятым измерением можно понимать группу окружностей U(1) , поскольку электромагнетизм по существу можно сформулировать как калибровочную теорию на расслоении , расслоении кругов , с калибровочной группой U(1). В теории Калуцы–Клейна эта группа предполагает, что калибровочная симметрия — это симметрия круговых компактных размеров. Как только эта геометрическая интерпретация будет понята, будет относительно просто заменить U (1) общей группой Ли . Такие обобщения часто называют теориями Янга–Миллса . Если провести различие, то оно состоит в том, что теории Янга-Миллса возникают в плоском пространстве-времени, тогда как Калуца-Клейн рассматривает более общий случай искривленного пространства-времени. Базовым пространством теории Калуцы – Клейна не обязательно должно быть четырехмерное пространство-время; это может быть любое ( псевдо ) риманово многообразие , или даже суперсимметричное многообразие, или орбифолд , или даже некоммутативное пространство .

Условно конструкцию можно представить следующим образом. Начнем с рассмотрения главного расслоения P с калибровочной группой G над многообразием M. Учитывая связность на расслоении, метрику на базовом многообразии и калибровочно-инвариантную метрику на касательной каждого слоя, можно построить расслоение метрика, определенная для всего пакета. Вычислив скалярную кривизну этой метрики расслоения, можно обнаружить, что она постоянна на каждом слое: это «чудо Калуцы». Не нужно было явно накладывать условие цилиндра или проводить компактификацию: по предположению калибровочная группа уже компактна. Далее эту скалярную кривизну принимают за лагранжеву плотность и на ее основе строят действие Эйнштейна–Гильберта для расслоения в целом. Уравнения движения, уравнения Эйлера-Лагранжа , могут быть затем получены, рассматривая, где действие является стационарным относительно изменений либо метрики на базовом многообразии, либо калибровочной связности. Вариации относительно базовой метрики дают уравнения поля Эйнштейна на базовом многообразии с тензор энергии-импульса, определяемый кривизной ( напряженностью поля ) калибровочного соединения. С другой стороны, действие является стационарным по отношению к изменениям калибровочной связи именно тогда, когда калибровочная связь решает уравнения Янга – Миллса . Таким образом, применяя единственную идею: принцип наименьшего действия , к одной величине: скалярной кривизне расслоения (в целом), можно получить одновременно все необходимые уравнения поля как для пространства-времени, так и для калибровочного поля.

В качестве подхода к объединению сил легко применить теорию Калуцы – Клейна в попытке объединить гравитацию с сильными и электрослабыми взаимодействиями, используя группу симметрии модели Стандартной SU(3) × SU(2). ) × U(1) . Однако попытка превратить эту интересную геометрическую конструкцию в достоверную модель реальности сталкивается с рядом проблем, в том числе с тем, что фермионы необходимо вводить искусственным путем (в несуперсимметричных моделях). Тем не менее, КК остается важным пробным камнем в теоретической физике и часто включается в более сложные теории. Он изучается сам по себе как объект геометрического интереса в К-теории .

Даже при отсутствии полностью удовлетворяющей теоретической физики идея исследования дополнительных, компактифицированных измерений представляет значительный интерес в сообществах экспериментальной физики и астрофизики . Можно сделать множество предсказаний с реальными экспериментальными последствиями (в случае больших дополнительных измерений и искаженных моделей ). Например, исходя из простейших принципов, можно было бы ожидать наличия стоячих волн в дополнительном компактифицированном измерении(ях). Если дополнительное пространственное измерение имеет радиус R , инвариантная масса таких стоячих волн будет равна M _n = nh / Rc , где n — целое число , h — постоянная Планка , а c — скорость света . Этот набор возможных значений массы часто называют башней Калуцы-Клейна . Точно так же в тепловой квантовой теории поля компактификация евклидова временного измерения приводит к частотам Мацубары и, следовательно, к дискретизированному спектру тепловой энергии.

Однако подход Кляйн к квантовой теории ошибочен. и, например, приводит к вычисленной массе электрона порядка планковской массы .

Примеры экспериментальных исследований включают работу коллаборации CDF , которая повторно проанализировала данные коллайдера частиц на предмет выявления эффектов, связанных с большими дополнительными измерениями/ искаженными моделями .

Бранденбергер и Вафа предположили, что в ранней Вселенной космическая инфляция привела к расширению трех измерений пространства до космологических размеров, в то время как остальные измерения пространства оставались микроскопическими.

Теория пространства-времени-материи

Одним из конкретных вариантов теории Калуцы-Клейна является теория пространства-времени-материи или теория индуцированной материи , в основном пропагандируемая Полом Вессоном и другими членами Консорциума Пространство-Время-Материя. В этом варианте теории отмечено, что решения уравнения

${\widetilde {R}}_{ab}=0$

могут быть перевыражены так, что в четырех измерениях эти решения удовлетворяют уравнениям Эйнштейна

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,$

с точным видом T _µν, следующим из условия Риччи-плоскости в пятимерном пространстве. Другими словами, условие цилиндра предыдущей разработки отбрасывается, и энергия-напряжение теперь исходит из производных метрики 5D по пятой координате. Поскольку обычно считается, что тензор энергии-импульса возникает из-за концентрации материи в четырехмерном пространстве, приведенный выше результат интерпретируется как утверждение, что четырехмерная материя возникает из геометрии в пятимерном пространстве.

В частности, солитонные решения ${\widetilde {R}}_{ab}=0$ Можно показать, что она содержит метрику Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера как в формах с преобладанием излучения (ранняя Вселенная), так и в формах с преобладанием материи (более поздняя Вселенная). Можно показать, что общие уравнения достаточно согласуются с классическими тестами общей теории относительности , чтобы быть приемлемыми с точки зрения физических принципов, но при этом оставляют значительную свободу для создания интересных космологических моделей .

Геометрическая интерпретация

Теория Калуцы–Клейна имеет особенно элегантное изложение с точки зрения геометрии. В определенном смысле это похоже на обычную гравитацию в свободном пространстве , за исключением того, что она выражается в пяти измерениях вместо четырех.

Уравнения Эйнштейна

Уравнения, описывающие обычную гравитацию в свободном пространстве, можно получить из действия , применив вариационный принцип к определенному действию . Пусть M — ( псевдо ) риманово многообразие , которое можно рассматривать как пространство-время общей теории относительности . Если g — метрика определяется на этом многообразии, действие S ( g ) как

$S(g)=\int _{M}R(g)\operatorname {vol} (g),$

где R ( g ) — скалярная кривизна , а vol( g ) — элемент объёма . Применяя вариационный принцип к действию

${\frac {\delta S(g)}{\delta g}}=0,$

получаем в точности уравнения Эйнштейна для свободного пространства:

$R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0,$

где Rij _– тензор Риччи .

Уравнения Максвелла

Напротив, уравнения Максвелла, описывающие электромагнетизм, можно понимать как уравнения Ходжа главного U (1)-расслоения или кругового расслоения. $\pi :P\to M$ со волокном U(1) . То есть электромагнитное поле $F$ является гармонической 2-формой в пространстве $\Omega ^{2}(M)$ дифференцируемых 2-форм на многообразии $M$. В отсутствие зарядов и токов уравнения Максвелла для свободного поля имеют вид

$\mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.$

где $\star$ — оператор звезды Ходжа .

Геометрия Калуцы – Клейна

Чтобы построить теорию Калуцы – Клейна, выбирают инвариантную метрику на окружности. $S^{1}$ это слой U(1)-расслоения электромагнетизма. В этом обсуждении инвариантная метрика — это просто метрика, инвариантная относительно вращения круга. Предположим, что эта метрика дает кругу общую длину $\Lambda$. Затем рассматриваются метрики ${\widehat {g}}$ на связке $P$ которые согласуются как с метрикой слоя, так и с метрикой основного многообразия $M$. Условия согласованности:

• Проекция ${\widehat {g}}$ в вертикальное подпространство $\operatorname {Vert} _{p}P\subset T_{p}P$ должно согласовываться с метрикой слоя над точкой многообразия $M$.
• Проекция ${\widehat {g}}$ в горизонтальное подпространство $\operatorname {Hor} _{p}P\subset T_{p}P$ касательного пространства в точке $p\in P$ должен быть изоморфен метрике $g$ на $M$ в $\pi (P)$.

Действие Калуцы–Клейна для такой метрики имеет вид

$S({\widehat {g}})=\int _{P}R({\widehat {g}})\operatorname {vol} ({\widehat {g}}).$

Скалярная кривизна, записанная в компонентах, затем расширяется до

$R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}\right),$

где $\pi ^{*}$ - это откат проекции пучка волокон $\pi :P\to M$. Связь $A$ на пучке волокон связана с напряженностью электромагнитного поля как

$\pi ^{*}F=dA.$

То, что такая связность всегда существует, даже для расслоений сколь угодно сложной топологии, является результатом гомологии и, в частности, К-теории . Применяя теорему Фубини и интегрируя по слою, получаем

$S({\widehat {g}})=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}|F|^{2}\right)\operatorname {vol} (g).$

Изменение действия относительно компонента $A$, мы получаем уравнения Максвелла. Применение вариационного принципа к базовой метрике $g$, получаем уравнения Эйнштейна

$R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}$

тензор энергии-импульса имеет вид

$T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},$

иногда называемый тензором напряжений Максвелла .

Оригинальная теория определяет $\Lambda$ с метрикой волокна $g_{55}$ и позволяет $\Lambda$ варьироваться от волокна к волокну. В этом случае связь между гравитацией и электромагнитным полем не постоянна, а имеет собственное динамическое поле — радион .

Обобщения

В приведенном выше размере цикла $\Lambda$ действует как константа связи между гравитационным полем и электромагнитным полем. Если базовое многообразие четырехмерно, многообразие Калуцы–Клейна P пятимерно. Пятое измерение представляет собой компактное пространство и называется компактным измерением . Техника введения компактных размерностей для получения многообразия более высокой размерности называется компактификацией . Компактификация не производит групповых действий на киральных фермионах, за исключением очень специфических случаев: размерность полного пространства должна быть 2 по модулю 8, а G-индекс оператора Дирака компактного пространства должен быть отличен от нуля.

Приведенное выше развитие более или менее прямолинейно обобщается на общие основные G -расслоения для некоторой произвольной группы Ли G, заменяющей U(1) . В таком случае теорию часто называют теорией Янга – Миллса и иногда считают синонимом. Если основное многообразие суперсимметрично , результирующая теория представляет собой суперсимметричную теорию Янга – Миллса.

Эмпирические тесты

Никаких экспериментальных или наблюдательных признаков дополнительных измерений официально не сообщалось. Многие теоретические методы поиска для обнаружения резонансов Калуцы – Клейна были предложены с использованием массовой связи таких резонансов с топ-кварком . Анализ результатов БАКа в декабре 2010 года серьезно ограничивает теории с большими дополнительными измерениями .

Наблюдение бозона типа Хиггса на БАК устанавливает новый эмпирический тест, который можно применить к поиску резонансов Калуцы-Клейна и суперсимметричных частиц.Петлевые диаграммы Фейнмана , существующие во взаимодействиях Хиггса, позволяют любой частице, имеющей электрический заряд и массу, двигаться по такой петле. Частицы Стандартной модели, помимо топ-кварка и W-бозона, не вносят большого вклада в сечение, наблюдаемое при распаде H → γγ , но если появятся новые частицы за пределами Стандартной модели, они потенциально могут изменить соотношение предсказанной Стандартной модели. H → γγ сечения к экспериментально наблюдаемому сечению. Следовательно, измерение любого резкого изменения сечения H → γγ , предсказанного Стандартной моделью, имеет решающее значение для исследования физики за ее пределами.

Статья от июля 2018 года. дает некоторую надежду на эту теорию; в статье они оспаривают, что гравитация просачивается в высшие измерения, как в теории бран . Однако статья действительно демонстрирует, что электромагнетизм и гравитация имеют одинаковое количество измерений, и этот факт подтверждает теорию Калуцы – Клейна; действительно ли число измерений составляет 3 + 1 или на самом деле 4 + 1, является предметом дальнейших дискуссий.

См. также

• Классические теории гравитации
• Комплексное пространство-время
• Модель DGP
• Квантовая гравитация
• Компактификация (физика)
• Модель Рэндалла – Сундрама
• Матей Павшич
• Теория струн
• Супергравитация
• Теория суперструн
• Нерелятивистские гравитационные поля
• Телепараллелизм

Ссылки

• Калуца, Теодор (1921). «О проблеме единства в физике». Зона встреч Пруссия. Академическая наука Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K . https://archive.org/details/sessionsreports1921preussi
• Кляйн, Оскар (1926). «Квантовая теория и пятимерная теория относительности». Журнал физики А. 37 (12): 895–906. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K . дои : 10.1007/BF01397481 .
• Виттен, Эдвард (1981). «Поиск реалистичной теории Калуцы – Клейна». Ядерная физика Б . 186 (3): 412–428. Бибкод : 1981NuPhB.186..412W . дои : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
• Аппелквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер ГО (1987). Современные теории Калуцы–Клейна . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN  978-0-201-09829-7 . (Включает перепечатки вышеупомянутых статей, а также других важных статей, касающихся теории Калуцы – Клейна.)
• Дафф, MJ (1994). «Теория Калуцы – Клейна в перспективе». В Линдстреме, Ульф (ред.). Материалы симпозиума «Столетие Оскара Кляйна» . Сингапур: World Scientific. стр. 22–35. ISBN  978-981-02-2332-8 .
• Овердуин, Дж. М.; Вессон, PS (1997). «Гравитация Калуцы – Клейна». Отчеты по физике . 283 (5): 303–378. arXiv : gr-qc/9805018 . Бибкод : 1997PhR...283..303O . дои : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . S2CID   119087814 .
• Вессон, Пол С. (2006). Пятимерная физика: классические и квантовые следствия космологии Калуцы – Клейна . Сингапур: World Scientific. Бибкод : 2006fdpc.book.....W . ISBN  978-981-256-661-4 .

Дальнейшее чтение

• Сотрудничество CDF, Поиск дополнительных измерений с использованием недостающей энергии в CDF , (2004 г.) (Упрощенное представление поиска дополнительных измерений, выполненного в детекторе коллайдеров в лаборатории физики элементарных частиц Фермилаб (CDF).)
• Джон М. Пьер, СУПЕРСТРУНЫ! Дополнительные измерения , (2003).
• Крис Поуп, Лекции по теории Калуцы – Клейна .
• Эдвард Виттен (2014). «Заметка об Эйнштейне, Бергмане и пятом измерении», arXiv : 1401.8048