К -теория

Чтобы узнать о группе хип-хопа, см. K Theory .

В математике — это , K-теория грубо говоря, исследование кольца , порожденного векторными расслоениями над топологическим пространством или схемой . В алгебраической топологии это теория когомологий , известная как топологическая K-теория . В алгебре и алгебраической геометрии это называется алгебраической К-теорией . Это также фундаментальный инструмент в области операторных алгебр . Его можно рассматривать как изучение определенных видов инвариантов больших матриц .

К-теория предполагает построение семейств К - функторов , отображающих топологические пространства или схемы в ассоциированные кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае с функторами групп в алгебраической топологии, причина этого функториального отображения заключается в том, что некоторые топологические свойства легче вычислить на основе отображенных колец, чем на основе исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных на основе подхода K-теории, включают теорему Гротендика-Римана-Роха , периодичность Ботта , теорему об индексе Атьи-Зингера и операции Адамса .

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, скрученная K-теория появились в теории струн типа II , где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны , напряженности полей Рамона-Рамонда , а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях . В физике конденсированного состояния К-теория использовалась для классификации топологических изоляторов , сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми . Подробнее см. К-теория (физика) .

Завершение Гротендика

Основная статья: Группа Гротендика

Пополнение Гротендиком абелева моноида в абелеву группу является необходимым ингредиентом для определения K-теории, поскольку все определения начинаются с построения абелева моноида из подходящей категории и превращения его в абелеву группу посредством этой универсальной конструкции. Учитывая абелев моноид $(A,+')$ позволять $\sim$ быть отношением к $A^{2}=A\times A$ определяется

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})$

если существует $c\in A$ такой, что $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ Тогда набор $G(A)=A^{2}/\sim$ имеет структуру группы $(G(A),+)$ где:

$[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].$

Классы эквивалентности этой группы следует понимать как формальные различия элементов абелева моноида. Эта группа $(G(A),+)$ также связан с моноидным гомоморфизмом $i:A\to G(A)$ данный $a\mapsto [(a,0)],$ обладающий определенным универсальным свойством .

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида. $(A,+)$. Здесь мы будем обозначать единичный элемент $A$ к $0$ так что $[(0,0)]$ будет элементом идентичности $(G(A),+).$ Первый, $(0,0)\sim (n,n)$ для любого $n\in A$ поскольку мы можем установить $c=0$ и примените уравнение из отношения эквивалентности, чтобы получить $n=n.$ Из этого следует

$[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]$

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в $G(A)$. Это должно дать нам намек на то, что нам следует думать о классах эквивалентности. $[(a,b)]$ как формальные различия $a-b.$ Еще одно полезное наблюдение — это инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

$(a,b)\sim (a+k,b+k)$ для любого $k\in A.$

Пополнение Гротендика можно рассматривать как функтор $G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} ,$ и он обладает тем свойством, что остается сопряженным с соответствующим функтором забывания $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .$ Это означает, что, учитывая морфизм $\phi :A\to U(B)$ абелева моноида $A$ к основному абелеву моноиду абелевой группы $B,$ существует единственный морфизм абелевой группы $G(A)\to B.$

Пример натуральных чисел

Показательным примером является завершение Гротендиком $\mathbb {N}$. Мы видим, что $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).$ Для любой пары $(a,b)$ мы можем найти минимального представителя $(a',b')$используя инвариантность при масштабировании. Например, из масштабной инвариантности мы можем видеть, что

$(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)$

В общем, если $k:=\min\{a,b\}$ затем

$(a,b)\sim (a-k,b-k)$ который имеет вид $(c,0)$ или $(0,d).$

Это показывает, что нам следует подумать о $(a,0)$ как положительные целые числа и $(0,b)$ как отрицательные целые числа.

Определения

Этот раздел посвящен K ₀ , самой основной группе K-теории (см. также группу Гротендика ). Определения высших K-групп K _i см. в разделах Алгебраическая K-теория и Топологическая K-теория .

Существует несколько основных определений К-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Группа Гротендика для

Учитывая компактное хаусдорфово пространство $X$ рассмотрим множество классов изоморфизма конечномерных векторных расслоений над $X$, обозначенный ${\text{Vect}}(X)$ и пусть класс изоморфизма векторного расслоения $\pi :E\to X$ обозначаться $[E]$. Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо ведут себя по отношению к прямым суммам , мы можем записать эти операции над классами изоморфизма следующим образом:

$[E]\oplus [E']=[E\oplus E']$

Должно быть ясно, что $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ является абелевым моноидом, единицей которого является тривиальное векторное расслоение $\mathbb {R} ^{0}\times X\to X$. Затем мы можем применить пополнение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Это называется К-теорией $X$ и обозначается $K^{0}(X)$.

Мы можем использовать теорему Серра – Свона и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$как проективные модули . Тогда их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц. $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$. Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и сформировать абелев моноид ${\textbf {Idem}}(X)$. Его пополнение Гротендика также называют $K^{0}(X)$. Один из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств основан на спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха , что делает ее очень доступной. Единственные необходимые вычисления для понимания спектральных последовательностей — это вычисление группы $K^{0}$ для сфер $S^{n}$. ^{стр. 51-110}

Гротендика векторных расслоений в

Аналогичная конструкция существует при рассмотрении векторных расслоений в алгебраической геометрии . Для нётеровской схемы $X$ есть набор ${\text{Vect}}(X)$ всех классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений на $X$. Тогда, как и раньше, прямая сумма $\oplus$ классов изоморфизмов векторных расслоений корректно определен, что дает абелев моноид $({\text{Vect}}(X),\oplus )$. Тогда группа Гротендика $K^{0}(X)$ определяется применением конструкции Гротендика к этому абелеву моноиду.

Гротендика когерентных пучков в

В алгебраической геометрии ту же конструкцию можно применить к алгебраическим векторным расслоениям над гладкой схемой. Но для любой нетеровой схемы существует альтернативная конструкция. $X$. Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентных пучков $\operatorname {Coh} (X)$ мы можем модифицироваться по отношению $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$ если существует короткая точная последовательность

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.$

Это дает группе Гротендика $K_{0}(X)$ который изоморфен $K^{0}(X)$ если $X$гладкий. Группа $K_{0}(X)$ является особенным, поскольку существует также кольцевая структура: мы определяем ее как

$[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].$

Используя теорему Гротендика–Римана–Роха , мы имеем, что

$\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}$

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать $K_{0}(X)$ по теории пересечений .

Ранняя история

Можно сказать, что эта тема началась с Александра Гротендика (1957), который использовал ее для формулировки своей теоремы Гротендика-Римана-Роха . Свое название он получил от немецкого Klasse , что означает «класс». работать с когерентными пучками алгебраического многообразия X. Гротендику нужно было Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков в качестве генераторов группы, подчиняясь отношению, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Результирующая группа называется K ( X ), если только локально свободные пучки используются , или G ( X ), если все пучки являются когерентными. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика ; K ( X ) имеет когомологическое поведение, а G ( X ) имеет гомологическое поведение.

Если X — гладкое многообразие , эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие , то все расширения локально свободных пучков расщепляются, поэтому группа имеет альтернативное определение.

В топологии , применив ту же конструкцию к векторным расслоениям , Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили K ( X ) для топологического пространства X в 1959 году и, используя теорему о периодичности Ботта , сделали его основой экстраординарной теории когомологий . Он сыграл важную роль во втором доказательстве теоремы об индексе Атьи – Зингера (около 1962 г.). Более того, этот подход привел к некоммутативной К-теории для С*-алгебр .

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал аналогию векторных расслоений с проективными модулями, чтобы сформулировать гипотезу Серра что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов свободен , которая утверждает , ; это утверждение верно, но оно было подтверждено только 20 лет спустя. ( Теорема Свона — еще один аспект этой аналогии.)

События

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Х. Уайтхеда и других над тем, что позже стало известно как кручение Уайтхеда .

Затем последовал период, когда существовали различные частичные определения высших функторов К-теории . Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Дэниелом Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 годах. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения алгебраической K-теории пространств, которая связана с изучением псевдоизотопий. . Многие современные исследования по высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивных когомологий .

Соответствующие конструкции, включающие вспомогательную квадратичную форму, получили общее название L-теории . Это главный инструмент теории хирургии .

В теории струн классификация K-теорией напряженностей полей Рамона-Рамонда и зарядов стабильных D-бран была впервые предложена в 1997 году.

Примеры и свойства

K ₀ поля

Простейшим примером группы Гротендика является группа Гротендика точки. ${\text{Spec}}(\mathbb {F} )$ для поля $\mathbb {F}$. Поскольку векторное расслоение над этим пространством представляет собой просто конечномерное векторное пространство, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков и, следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма имеет вид $\mathbb {N}$соответствующий размерности векторного пространства. Несложно показать, что тогда группа Гротендика $\mathbb {Z}$.

K ₀ артиновой алгебры над полем

Одно важное свойство группы Гротендика нетеровой схемы. $X$ заключается в том, что он инвариантен относительно редукции, следовательно, $K(X)=K(X_{\text{red}})$. Следовательно, группа Гротендика любого артинова $\mathbb {F}$-алгебра представляет собой прямую сумму копий $\mathbb {Z}$, по одному на каждую компоненту связности своего спектра. Например,

$$K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$$

K ₀ проективного пространства

Одним из наиболее часто используемых вычислений группы Гротендика является вычисление $K(\mathbb {P} ^{n})$для проективного пространства над полем. Это связано с тем, что числа пересечений проективного $X$ можно вычислить, вложив $i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}$ и используя формулу «тяни-толкай» $i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])$. Это дает возможность проводить конкретные расчеты с элементами в $K(X)$ без необходимости явно знать его структуру, поскольку

$$K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}$$

Один из методов определения группы Гротендика. $\mathbb {P} ^{n}$ происходит в результате его расслоения как

$$\mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}$$

поскольку группа Гротендика когерентных пучков на аффинных пространствах изоморфна $\mathbb {Z}$, и пересечение $\mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}$ в целом

$$\mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}$$

для $k_{1}+k_{2}\leq n$.

K ₀ проективного расслоения

Другая важная формула группы Гротендика — это формула проективного расслоения: задано векторное расслоение ранга r ${\mathcal {E}}$ по нётеровской схеме $X$, группа Гротендика проективного расслоения $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$ это бесплатно $K(X)$-модуль ранга r с базисом $1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}$. Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика $\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}$. Это дает возможность вычислить $K_{0}$или поверхности Хирцебруха. Кроме того, это можно использовать для вычисления группы Гротендика. $K(\mathbb {P} ^{n})$ наблюдая, это проективное расслоение над полем $\mathbb {F}$.

K ₀ сингулярных пространств и пространств с изолированными факторособенностями

Один из недавних методов вычисления группы пространств Гротендика с небольшими особенностями основан на оценке разницы между $K^{0}(X)$ и $K_{0}(X)$, что связано с тем, что каждое векторное расслоение можно эквивалентным образом описать как когерентный пучок. Это делается с помощью группы Гротендика категории Сингулярность. $D_{sg}(X)$из производной некоммутативной алгебраической геометрии . Это дает длинную точную последовательность, начинающуюся с

$$\cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0$$

где высшие члены взяты из высшей К-теории . Заметим, что векторные расслоения на особом $X$ задаются векторными расслоениями $E\to X_{sm}$ на гладком месте $X_{sm}\hookrightarrow X$. Это позволяет вычислить группу Гротендика на весовых проективных пространствах, поскольку они обычно имеют изолированные факторособенности. В частности, если эти особенности имеют группы изотропии $G_{i}$ тогда карта

$$K^{0}(X)\to K_{0}(X)$$

инъективен, а коядро аннигилируется ${\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}$ для $n=\dim X$. ^{стр. 3}

K ₀ гладкой проективной кривой

Для гладкой проективной кривой $C$ группа Гротендика

$$K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)$$

для Пикара группы $C$. Это следует из спектральной последовательности Брауна-Герстена-Квиллена. ^{стр. 72} алгебраической K-теории . Для регулярной схемы конечного типа над полем существует сходящаяся спектральная последовательность

$$E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)$$

для $X^{(p)}$ набор коразмерностей $p$ точки, означающие набор подсхем $x:Y\to X$ коразмерности $p$, и $k(x)$поле алгебраических функций подсхемы. Эта спектральная последовательность обладает свойством ^{стр. 80}

$$E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)$$

для кольца Чоу $X$, по существу давая вычисление $K_{0}(C)$. Обратите внимание, что поскольку $C$ не имеет коразмерности $2$ точками, единственными нетривиальными частями спектральной последовательности являются $E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}$, следовательно

$${\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}$$

Затем конивную фильтрацию можно использовать для определения $K_{0}(C)$ как искомая явная прямая сумма, поскольку она дает точную последовательность

$$0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0$$

где левый член изоморфен ${\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)$ и правый член изоморфен $CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z}$. С ${\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0$, мы имеем последовательность абелевых групп над расщеплениями, дающую изоморфизм. Обратите внимание, что если $C$ представляет собой гладкую проективную кривую рода $g$ над $\mathbb {C}$, затем

$$K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})$$

Более того, описанные выше методы с использованием производной категории особенностей для изолированных особенностей могут быть распространены на изолированные особенности Коэна-Маколея , давая методы вычисления группы Гротендика любой сингулярной алгебраической кривой. Это связано с тем, что редукция дает вообще гладкую кривую, а все особенности — Коэна-Маколея.

Приложения

Виртуальные пакеты

Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств $Y\hookrightarrow X$ тогда существует короткая точная последовательность

$0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0$

где $C_{Y/X}$ является конормальным расслоением $Y$ в $X$. Если у нас есть единственное пространство $Y$ встроенный в гладкое пространство $X$ мы определяем виртуальное конормальное расслоение как

$[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]$

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения пересечения пространств: пусть $Y_{1},Y_{2}\subset X$— проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Затем мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения. $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$ как

$[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.$

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ.

Черн персонажи

Основная статья: Персонаж Черна

Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя ch определяется формулой

$\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.$

В более общем смысле, если $V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}$ является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Чженя $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$ характер Черна определяется аддитивно

$\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).$

Символ Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. Характер Черна используется в теореме Хирцебруха–Римана–Роха .

-

Эквивариантная алгебраическая K-теория — это алгебраическая K-теория, связанная с категорией $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме $X$ с действием линейной алгебраической группы $G$ Квиллена , через Q-конструкцию ; таким образом, по определению,

$K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).$

В частности, $K_{0}^{G}(C)$ это группа Гротендика $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$. Теория была разработана Р.В. Томасоном в 1980-х годах. В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема о локализации.

См. также

• Периодичность Ботта
• КК-теория
• КР-теория
• Список теорий когомологии
• Алгебраическая К-теория
• Топологическая К-теория
• Операторная К-теория
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). К-теория . Продвинутая книжная классика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0-201-09394-0 . МР   1043170 .
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по К-теории . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-27855-9 . ISBN  978-3-540-30436-4 . МР   2182598 .
• Парк, Эфтон (2008). Комплексная топологическая К-теория . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 111. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-85634-8 .
• Лебедь, Р.Г. (1968). Алгебраическая К-теория . Конспект лекций по математике. Том. 76. Спрингер . ISBN  3-540-04245-8 .
• Каруби, Макс (1978). К-теория: введение . Классика по математике. Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-540-79890-3 . ISBN  0-387-08090-2 .
• Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv : математика/0602082 .
• Хэтчер, Аллен (2003). «Векторные расслоения и К-теория» .
• Вайбель, Чарльз (2013). К-книга: введение в алгебраическую К-теорию . Град. Исследования по математике. Том. 145. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-9132-2 .

Внешние ссылки

• Гротендик-Риман-Рох
• Страница Макса Каруби
• Архив препринтов К-теории