Q-конструкция

В алгебре сопоставляет Квиллена Q-конструкция точной категории (например, абелевой категории ) алгебраическую K-теорию . Точнее, при наличии точной категории C конструкция создает топологическое пространство $B^{+}C$ так что $\pi _{0}(B^{+}C)$ — группа Гротендика группы C , а когда C — категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом R , для $i=0,1,2$ , $\pi _{i}(B^{+}C)$ является i -й K-группой R в классическом смысле. (Обозначение «+» означает, что конструкция добавляет больше к классифицирующему пространству BC .) Положим

K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)

и назовем ее i -й K-группой C . Аналогично, i -я K-группа C с коэффициентами в группе G определяется как гомотопическая группа с коэффициентами :

K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G)

.

Конструкция широко применима и используется для определения алгебраической K-теории в неклассическом контексте. Например, можно определить эквивариантную алгебраическую K-теорию как $\pi _{*}$ из $B^{+}$ категории эквивариантных пучков на схеме.

Вальдхаузена S -конструкция обобщает Q-конструкцию в устойчивом смысле; на самом деле первая, использующая более общую категорию Вальдхаузена , создает спектр вместо пространства. Бинарный комплекс Грейсона также дает конструкцию алгебраической K-теории для точных категорий. ^[1] См. также модуль Spectrum#K-theory для K-теории кольцевого спектра .

Строительство

Пусть C — точная категория; т. е. аддитивная полная подкатегория абелевой категории, замкнутая относительно расширения. Если существует точная последовательность $0\to M'\to M\to M''\to 0$ в C , то стрелка из M′ называется допустимым моно, а стрелка из M называется допустимым эпи.

Пусть QC — категория, объекты которой такие же, как у C , а морфизмы из X в Y — классы изоморфизма диаграмм. $X\leftarrow Z\to Y$ такие, что первая стрелка является допустимым эпи, а вторая допустимая моно и две диаграммы изоморфны, если они различаются только в середине и между ними существует изоморфизм. Композиция морфизмов задается методом обратного образа.

Определить топологическое пространство $B^{+}C$ к $B^{+}C=\Omega BQC$ где $\Omega$ является функтором пространства петель и $BQC$ — классифицирующее пространство категории QC ( геометрическая реализация нерва . ) Как оказывается, он определен однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности (поэтому обозначение оправдано).

Операции

Любой кольцевой гомоморфизм $R\to S$ вызывает $B^{+}P(R)\to B^{+}P(S)$ и таким образом $K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_{i}(S)$ где $P(R)$ категория конечно порожденных проективных модулей над R. — Можно легко показать, что это отображение (называемое переносом) согласуется с отображением, определенным Милнором во « Введении в алгебраическую K-теорию» . ^[2] Конструкция также совместима с подвеской на кольце (см. Грейсон).

Сравнение с классической K-теорией кольца

Теорема Дэниела Квиллена утверждает, что, когда C является категорией конечно порожденных проективных модулей над кольцом R , $\pi _{i}(B^{+}C)$ является i -й K-группой R в классическом смысле для $i=0,1,2$ . Обычное доказательство теоремы (см. Weibel 2013 ) опирается на промежуточную гомотопическую эквивалентность. Если S — симметричная моноидальная категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом, строится (ср. Грейсон) категория $S^{-1}S$ что обобщает групповую конструкцию Гротендика моноида. Пусть C — точная категория, в которой каждая точная последовательность расщепляется, например категория конечно порожденных проективных модулей, и положим $S=\operatorname {iso} C$ , подкатегория C с тем же классом объектов, но с морфизмами, которые являются изоморфизмами в C . Тогда существует «естественная» гомотопическая эквивалентность: ^[3]

\Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)

.

Эквивалентность строится следующим образом. Пусть E — категория, объектами которой являются короткие точные последовательности в C , а морфизмы — классы изоморфизма диаграмм между ними. Позволять $f:E\to QC$ быть функтором, который отправляет короткую точную последовательность к третьему члену последовательности. Обратите внимание на волокно $f^{-1}(X)$ , которая является подкатегорией, состоит из точных последовательностей, третий член которых равен X . Это делает E категорией , расслоенной на $QC$ . Письмо $S^{-1}f$ для $S^{-1}E\to QC$ , существует очевидное (а значит, естественное) включение $\Omega BQC$ в гомотопический слой $F(BS^{-1}f)$ , что, как можно показать, является гомотопической эквивалентностью. С другой стороны, по теореме Квиллена B можно показать, что $B(S^{-1}S)$ является возвратом гомотопическим $BS^{-1}f$ вдоль $*\to BQC$ и, таким образом, гомотопически эквивалентен $F(BS^{-1}f)$ .

Теперь мы возьмем C как категорию конечно порожденных проективных модулей над кольцом R и покажем, что $\pi _{i}B(S^{-1}S)$ являются $K_{i}$ R в классическом смысле для $i=0,1,2$ . Прежде всего, по определению, $\pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)$ . Следующий, $GL_{n}(R)=\operatorname {Aut} (R^{n})\to S^{-1}S$ дает нам:

BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{-1}S)

.

(Здесь, $BGL(R)$ является либо классифицирующим пространством категории $GL(R)$ или пространство Эйленберга–Маклейна типа $K(GL(R),1)$ , что означает одно и то же.) Образ на самом деле заключен в компоненте идентичности $B(S^{-1}S)$ и так мы получаем:

f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.

Позволять $S_{n}$ — полная подкатегория S , состоящая из модулей, изоморфных $R^{n}$ (таким образом, $BS_{n}$ – компонент связности, содержащий $R^{n}$ ). Позволять $e\in \pi _{0}(BS)$ быть компонентом, содержащим R . Тогда по теореме Квиллена

H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)[\pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].

Таким образом, класс слева имеет вид $xe^{-n}$ . Но $x\mapsto xe^{m}$ индуцируется действием $R^{m}\in S$ . Следовательно,

H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n}(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.

С $B(S^{-1}S)^{0}$ является H -группой,

\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{\text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))=GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).

Осталось посмотреть $\pi _{2}$ является $K_{2}$ . Письмо $Ff$ для гомотопического слоя мы имеем длинную точную последовательность:

\pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}(Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).

Из теории гомотопии мы знаем, что второй член является центральным; то есть, $\pi _{1}(Ff)\to E(R)$ является центральным расширением . Тогда из следующей леммы следует, что $\pi _{1}(Ff)$ является универсальным центральным расширением (т. е. $\pi _{1}(Ff)$ — группа Стейнберга группы R , а ядро — $K_{2}(R)$ .)

Лемма — Пусть $f:X\to Y$ — непрерывное отображение связных CW-комплексов. Если $f_{*}:H_{*}(X,L)\to H_{*}(Y,f^{*}L)$ является изоморфизмом для любой локальной системы коэффициентов L на X , то

H_{1}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=H_{2}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=0.

Доказательство: Гомотопический тип $Ff$ не изменится, если мы заменим f на откат ${\widetilde {f}}$ вдоль универсального накрытия Y $\to Y$ . Таким образом, мы можем заменить гипотезу о том, что Y односвязен и $H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0$ . Теперь спектральные последовательности Серра для $Ff\to X\to Y$ и $*\to Y\to Y$ сказать:

{}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),

{}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).

По теореме сравнения спектральных последовательностей следует, что ${}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}$ ; то есть, $Ff$ является ациклическим . (Кстати, обращая аргументы, можно сказать, что из этого следует $H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} );$ тем самым, условие леммы.) Далее, спектральная последовательность покрытия ${\widetilde {Ff}}\to Ff$ с группой $G=\pi _{1}(Ff)$ говорит: