Спектральная последовательность Серра

В математике спектральная Серра последовательность (иногда спектральная последовательность Лере-Серра в знак признания более ранней работы Жана Лере в спектральной последовательности Лере ) является важным инструментом в алгебраической топологии . На языке гомологической алгебры он выражает сингулярные (ко)гомологии тотального пространства X Серра) расслоения через (ко)гомологии базового пространства B и слоя F. ( Результат принадлежит Жану-Пьеру Серру в его докторской диссертации.

Спектральная последовательность когомологий

Позволять $f\colon X\to B$ — расслоение Серра топологических пространств, и пусть F — (линейно-связный) слой . Спектральная последовательность когомологий Серра следующая:

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(B,H^{q}(F))\Rightarrow H^{p+q}(X).$

Здесь, по крайней мере, при стандартных упрощающих условиях, группа коэффициентов в $E_{2}$-term — это q -я группа когомологий F , а внешняя группа — это сингулярные когомологии B целочисленная с коэффициентами из этой группы. Дифференциал на k -й странице равен $d_{k}:E_{k}^{p,q}\to E_{k}^{p+k,q+1-k}$.

Строго говоря, речь идет о когомологиях относительно локальной системы коэффициентов на B, заданной когомологиями различных слоев. предположить, например, что B односвязен Если , то это сводится к обычным когомологиям. Для базы , связной по путям , все различные слои гомотопически эквивалентны . В частности, их когомологии изоморфны, поэтому выбор «того» слоя не дает никакой неоднозначности.

Устой тотального пространства X. означает целые когомологии

Эту спектральную последовательность можно получить из точной пары, построенной из длинных точных последовательностей когомологий пары $(X_{p},X_{p-1})$, где $X_{p}$ есть ограничение расслоения на p -остов B . Точнее, используя эти обозначения ,

$A=\bigoplus _{p,q}H^{q}(X_{p}),$   $E_{1}^{p,q}=C=\bigoplus _{p,q}H^{q}(X_{p},X_{p-1}),$

f определяется путем ограничения каждой части на $X_{p}$ к $X_{p-1}$, g определяется с использованием отображения кограниц в длинной точной последовательности пары , а h определяется путем ограничения $(X_{p},X_{p-1})$ к $X_{p}.$

Существует мультипликативная структура.

$E_{r}^{p,q}\times E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{p+s,q+t},$

совпадающий на E ₂ -терме с (−1) ^{вопросы} умноженное на чашку продукта, и относительно которого дифференциалы $d_{r}$ являются (градуированными) производными, индуцирующими продукт на $E_{r+1}$-страница с той, что на $E_{r}$-страница.

Гомологическая спектральная последовательность

Подобно спектральной последовательности когомологий, существует одна для гомологии:

$E_{p,q}^{2}=H_{p}(B,H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(X).$

где обозначения двойственны приведенным выше, в частности, дифференциал на k -й странице представляет собой отображение $d_{k}:E_{p,q}^{k}\to E_{p-k,q-1+k}^{k}$.

Пример вычислений

расслоение Хопфа

Напомним, что расслоение Хопфа имеет вид $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2}$. $E_{2}$-страница спектральной последовательности Лере-Серра гласит:

${\begin{array}{c|ccc}1&H^{0}(S^{2};\mathbb {Z} )&0&H^{2}(S^{2};\mathbb {Z} )\\0&H^{0}(S^{2};\mathbb {Z} )&0&H^{2}(S^{2};\mathbb {Z} )\\\hline &0&1&2\end{array}}$

Дифференциал $d_{2+i}$ идет $1+i$ вниз и $2+i$ верно. Таким образом, единственный дифференциал, который не обязательно равен 0, — это d ^0,1 ₂ , поскольку остальные имеют домен или кодомен 0 они равны 0 (поскольку на странице E ₂ ). последовательность вырождается при E2 _E∞ = В _{частности, эта} . На странице E ₃ написано:

${\begin{array}{c|ccc}1&\ker d_{2}^{0,1}&0&H^{2}(S^{2};\mathbb {Z} )\\0&H^{0}(S^{2};\mathbb {Z} )&0&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\\\hline &0&1&2\end{array}}$

Спектральная последовательность примыкает к $H^{p+q}(S^{3}),$ то есть $E_{3}^{p,q}=Gr^{p}H^{p+q}(S^{3}).$ Оценивая интересные моменты, мы имеем $\ker d_{2}^{0,1}=Gr^{1}H^{1}(S^{3})$ и $\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}=Gr^{0}H^{2}(S^{3}).$ Зная когомологии $S^{3},$ оба равны нулю, поэтому дифференциал $d_{2}^{0,1}$ является изоморфизмом.

Расслоение сфер на сложном проективном многообразии

Для комплексного n -мерного проективного многообразия X существует каноническое семейство линейных расслоений. ${\mathcal {O}}_{X}(k)$ для $k\in \mathbb {Z}$ исходя из вложения $X\to \mathbb {CP} ^{m}$. Это дано глобальными разделами $s_{0},\ldots ,s_{m}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(1))$ которые отправляют

$x\mapsto [s_{0}(x):\ldots :s_{m}(x)]$

ранга r Если мы построим векторное расслоение ${\mathcal {E}}$ которое является конечной суммой Уитни векторных расслоений, мы можем построить расслоение сфер $S\to X$ волокнами которого являются сферы $S^{2r-1}\subset \mathbb {C} ^{r}$. Затем мы можем использовать спектральную последовательность Серра вместе с классом Эйлера для вычисления целых когомологий S . $E_{2}$-страница предоставлена $E_{2}^{p,q}=H^{p}(X;H^{q}(S^{2r-1}))$. Мы видим, что единственные нетривиальные дифференциалы заданы на $E_{2r}$-page и определяются путем объединения с классом Euler $e({\mathcal {E}})$. В данном случае это высший класс черна ${\mathcal {E}}$. Например, рассмотрим векторное расслоение ${\mathcal {O}}_{X}(a)\oplus {\mathcal {O}}_{X}(b)$ для X поверхность К3 . Тогда спектральная последовательность будет выглядеть как

$E_{2}=E_{3}=E_{4}={\begin{array}{c|ccccc}3&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&H^{1}(X;\mathbb {Z} )&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )\\2&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&H^{1}(X;\mathbb {Z} )&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )\\\hline &0&1&2&3&4\end{array}}$

Дифференциал $d_{4}=\cup a\cdot bH^{2}$ для $H^{2}$ – квадрат класса Лефшеца. В этом случае единственным нетривиальным дифференциалом является тогда

$d_{4}^{0,3}:H^{0}(X;\mathbb {Z} )\to H^{4}(X;\mathbb {Z} )$

Мы можем закончить это вычисление, отметив, что единственными нетривиальными группами когомологий являются

$H^{k}(X;\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,4\}\\\mathbb {Z} ^{\oplus 22}&k=2\end{cases}}$

Базовое расслоение пространства путей

Сначала мы начнем с простого примера; рассмотрим расслоение пространства путей

$\Omega S^{n+1}\to PS^{n+1}\to S^{n+1}.$

Мы знаем гомологии базы и полного пространства, поэтому наша интуиция подсказывает нам, что спектральная последовательность Серра должна быть в состоянии сообщить нам гомологии пространства петель. Это пример случая, когда мы можем изучать гомологии расслоения, используя E ^∞ странице (гомология общего пространства), чтобы контролировать то, что может произойти на E ² страница. Так что вспомните, что

$E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n+1};H_{q}(\Omega S^{n+1})).$

Таким образом, мы знаем, что когда q = 0, мы просто смотрим на обычные целочисленные группы гомологии H _p ( S ^{п +1} ), который имеет значение $\mathbb {Z}$ в градусах 0 и n +1 и везде значение 0. Однако, поскольку пространство путей сжимаемо, мы знаем, что к тому времени, когда последовательность дойдет до E ^∞ , все становится 0, кроме группы в точке p = q = 0. Единственный способ, которым это может произойти, — это если существует изоморфизм из $H_{n+1}(S^{n+1};H_{0}(F))=\mathbb {Z}$ в другую группу. Однако единственные места, где группа может быть ненулевой, - это столбцы p = 0 или p = n +1, поэтому этот изоморфизм должен возникать на странице E. ^{п +1} с кодоменом $H_{0}(S^{n+1};H_{n}(F))=\mathbb {Z} .$ Однако, поставив $\mathbb {Z}$ в этой группе означает, что должен быть $\mathbb {Z}$ в H _{n +1} ( S ^{п +1} ; Ч _н ( F )). Индуктивное повторение этого процесса показывает, что H _i (Ω S ^{п +1} ) имеет ценность $\mathbb {Z}$ в целых числах, кратных n и 0 везде.

Кольцо когомологий комплексного проективного пространства

Вычисляем когомологии $\mathbb {CP} ^{n}$ используя расслоение:

$S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}$

Теперь на странице E ₂ в координате 0,0 у нас есть идентификатор кольца. В координате 0,1 у нас есть элемент i , который генерирует $\mathbb {Z} .$ Однако мы знаем, что на предельной странице могут быть только нетривиальные генераторы степени 2 n +1, говорящие нам, что генератор i должен перейти к некоторому элементу x в координате 2,0. должен быть элемент ix Это говорит нам о том, что в координате 2,1 . Затем мы видим, что d ( ix ) = x ² по правилу Лейбница, говорящему нам, что координата 4,0 должна быть x ² не может быть нетривиальных гомологии поскольку до степени 2 n +1 . Индуктивное повторение этого аргумента до тех пор, пока 2 n + 1 не даст ix ^н в координате 2 n ,1, которая тогда должна быть единственным генератором $\mathbb {Z}$ в этой степени, что говорит нам о том, что координата 2 n + 1,0 должна быть равна 0. Считывание горизонтальной нижней строки спектральной последовательности дает нам кольцо когомологий $\mathbb {CP} ^{n}$ и это говорит нам, что ответ $\mathbb {Z} [x]/x^{n+1}.$

В случае бесконечного комплексного проективного пространства взятие пределов дает ответ $\mathbb {Z} [x].$

Четвертая гомотопическая группа трехсферы

Более сложное применение спектральной последовательности Серра — вычисление $\pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Этот конкретный пример иллюстрирует систематический метод, который можно использовать для получения информации о высших гомотопических группах сфер. Рассмотрим следующее расслоение, которое является изоморфизмом на $\pi _{3}$

$X\to S^{3}\to K(\mathbb {Z} ,3),$

где $K(\pi ,n)$ — пространство Эйленберга–Маклейна . Затем мы преобразуем карту $X\to S^{3}$ к расслоению; Общеизвестно, что итерированный слой — это пространство петель базового пространства, поэтому в нашем примере мы получаем, что слой — это $\Omega K(\mathbb {Z} ,3)=K(\mathbb {Z} ,2).$ Но мы знаем, что $K(\mathbb {Z} ,2)=\mathbb {CP} ^{\infty }.$ Теперь посмотрим на когомологическую спектральную последовательность Серра: предположим, что у нас есть генератор когомологий степени 3 $S^{3}$, называется $\iota$. Поскольку в полных когомологиях нет ничего степени 3, мы знаем, что это должно быть уничтожено изоморфизмом. Но единственный элемент, который может в него отобразиться, — это генератор а кольца когомологий $\mathbb {CP} ^{\infty }$, поэтому у нас есть $d(a)=\iota$. Следовательно, согласно структуре произведения чашки, генератор в степени 4, $a^{2}$, отображается в генератор $\iota a$ умножением на 2 и что генератор когомологий степени 6 отображается в $\iota a^{2}$ умножением на 3 и т. д. В частности, находим, что $H_{4}(X)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Но теперь, поскольку мы уничтожили нижние гомотопические группы X (т. е. группы степени меньше 4) с помощью повторного расслоения, мы знаем, что $H_{4}(X)=\pi _{4}(X)$ по теореме Гуревича , говорящей нам, что $\pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$

Следствие : $\pi _{4}(S^{2})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$

Доказательство. Возьмем длинную точную последовательность гомотопических групп для расслоения Хопфа. $S^{1}\to S^{3}\to S^{2}$.

См. также

• Последовательность Гайзина

Ссылки

Спектральная последовательность Серра описана в большинстве учебников по алгебраической топологии, например

• Аллен Хэтчер , Спектральные последовательности
• Эдвин Спэньер , Алгебраическая топология , Спрингер

Также

• Джеймс Дэвис, Пол Кирк. В конспектах лекций по алгебраической топологии представлено множество хороших применений спектральной последовательности Серра.

Элегантная конструкция обусловлена

• Андреас Дресс, О спектральной последовательности волокна , Inventiones Mathematicae 3 (1967), 172–178, EuDML .

Случай симплициальных множеств рассматривается в

• Пауль Гёрсс, Рик Джардин , Симплициальная теория гомотопий , Биркхойзер