Эквивариантная алгебраическая K-теория

В математике эквивариантная алгебраическая K-теория — это алгебраическая K-теория, связанная с категорией $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме X с действием линейной алгебраической группы G Квиллена через Q-конструкцию ; таким образом, по определению,

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).

В частности, $K_{0}^{G}(C)$ это Гротендика группа $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ . Теория была разработана Р.В. Томасоном в 1980-х годах. ^[1] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема о локализации.

Эквивалентно, $K_{i}^{G}(X)$ может быть определен как $K_{i}$ категории когерентных пучков на факторстеке $[X/G]$ . ^[2]^[3] (Следовательно, эквивариантная К-теория является частным случаем К-теории стека .)

Версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке справедлива в рамках эквивариантной (алгебраической) K-теории. ^[4]

Фундаментальные теоремы

Пусть X — эквивариантная алгебраическая схема.

Теорема о локализации . Учитывая замкнутое погружение. $Z\hookrightarrow X$ эквивариантных алгебраических схем и открытого погружения $Z-U\hookrightarrow X$ , существует длинная точная последовательность групп

\cdots \to K_{i}^{G}(Z)\to K_{i}^{G}(X)\to K_{i}^{G}(U)\to K_{i-1}^{G}(Z)\to \cdots

Примеры [ править ]

Одним из фундаментальных примеров эквивариантных групп K-теории являются эквивариантные K-группы $G$ -эквивариантные когерентные пучки в точках, так что $K_{i}^{G}(*)$ . С ${\text{Coh}}^{G}(*)$ эквивалентно категории ${\text{Rep}}(G)$ конечномерных представлений $G$ . Затем группа Гротендика ${\text{Rep}}(G)$ , обозначенный $R(G)$ является $K_{0}^{G}(*)$ . ^[5]

Кольцо Тора [ править ]

Дан алгебраический тор $\mathbb {T} \cong \mathbb {G} _{m}^{k}$ конечномерное представление $V$ определяется прямой суммой $1$ -мерный $\mathbb {T}$ называемые весами -модули , $V$ . ^[6] Существует явный изоморфизм между $K_{\mathbb {T} }$ и $\mathbb {Z} [t_{1},\ldots ,t_{k}]$ передано путем отправки $[V]$ связанному с ним персонажу. ^[7]

См. также [ править ]

Топологическая К-теория , топологическая эквивариантная К-теория

Ссылки [ править ]

^ Чарльз А. Вейбель, Роберт В. Томасон (1952–1995) .
^ Адем, Алехандро; Руан, Ёнбин (июнь 2003 г.). «К-теория витого орбифолда». Связь в математической физике . 237 (3): 533–556. arXiv : math/0107168 . Бибкод : 2003CMaPh.237..533A . дои : 10.1007/s00220-003-0849-x . ISSN 0010-3616 . S2CID 12059533 .
^ Кришна, Амаленду; Рави, Чаранья (2 августа 2017 г.). «Алгебраическая K-теория факторстеков». arXiv : 1509.05147 [ math.AG ].
^ Баум, Фултон и Кварт, 1979 г.
^ Крисс, Нил; Гинзбург, Нил. Теория представлений и комплексная геометрия . стр. 243–244.
^ Для $\mathbb {G} _{m}$ есть карта $f:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}$ отправка $t\mapsto t^{k}$ . С $\mathbb {G} _{m}\subset \mathbb {A} ^{1}$ существует индуцированное представление ${\hat {f}}:\mathbb {G} _{m}\to GL(\mathbb {A} ^{1})$ веса $k$ . См. Алгебраический тор для получения дополнительной информации.
^ Окуньков, Андрей (03.01.2017). «Лекции по K-теоретико-вычислениям в перечислительной геометрии». п. 13. arXiv : 1512.07363 [ math.AG ].

Н. Крис и В. Гинзбург, Теория представлений и сложная геометрия, Биркхойзер, 1997.
Баум, Пол; Фултон, Уильям; Кварт, Джордж (1979). «Лефшец-Риман-Рох для особых многообразий» . Акта Математика . 143 : 193–211. дои : 10.1007/BF02392092 .
Томасон, Р.В.: Алгебраическая К-теория действий групповой схемы. В: Браудер, В. (ред.) Алгебраическая топология и алгебраическая K-теория. (Ann. Math. Stud., том 113, стр. 539–563) Принстон: Princeton University Press, 1987.
Томасон, Р.В.: теорема Лефшеца – Римана – Роха и формула когерентного следа. Изобретать. Математика. 85, 515–543 (1986)
Томасон Р.В., Тробо Т.: Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий. В: Картье П., Иллюзи Л., Кац Н.М., Лаумон Г., Манин Ю., Рибет К.А. (ред.) The Grothendieck Festschrift, vol. III. (Prog. Math. vol. 88, стр. 247–435) Бостон Базель Берлин: Birkhfiuser 1990
Томасон, Р.В., Формула Лефшеца в алгебраической эквивариантной K-теории, Duke Math. Дж. 68 (1992), 447–462.

Дальнейшее чтение [ править ]

Дэн Эдидин, Риман-Рох для стеков Делиня-Мамфорда , 2012 г.

[1] Чарльз А. Вейбель, Роберт В. Томасон (1952–1995) .

[2] Адем, Алехандро; Руан, Ёнбин (июнь 2003 г.). «К-теория витого орбифолда». Связь в математической физике . 237 (3): 533–556. arXiv : math/0107168 . Бибкод : 2003CMaPh.237..533A . дои : 10.1007/s00220-003-0849-x . ISSN 0010-3616 . S2CID 12059533 .

[3] Кришна, Амаленду; Рави, Чаранья (2 августа 2017 г.). «Алгебраическая K-теория факторстеков». arXiv : 1509.05147 [ math.AG ].

[4] Баум, Фултон и Кварт, 1979 г.

[5] Крисс, Нил; Гинзбург, Нил. Теория представлений и комплексная геометрия . стр. 243–244.

[6] Для $\mathbb {G} _{m}$ есть карта $f:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}$ отправка $t\mapsto t^{k}$ . С $\mathbb {G} _{m}\subset \mathbb {A} ^{1}$ существует индуцированное представление ${\hat {f}}:\mathbb {G} _{m}\to GL(\mathbb {A} ^{1})$ веса $k$ . См. Алгебраический тор для получения дополнительной информации.

[7] Окуньков, Андрей (03.01.2017). «Лекции по K-теоретико-вычислениям в перечислительной геометрии». п. 13. arXiv : 1512.07363 [ math.AG ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Фундаментальные теоремы ​ ​