Линейная алгебраическая группа

В математике линейная группа это подгруппа группы обратимых — алгебраическая $n\times n$ матрицы (при умножении матриц ), определяемые полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа , определяемая соотношением $M^{T}M=I_{n}$ где $M^{T}$ это транспонирование $M$ .

Многие группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над полем действительных комплексных или . чисел (Например, каждую компактную группу Ли можно рассматривать как линейную алгебраическую группу над R (обязательно R -анизотропную и редуктивную), как и многие некомпактные группы, такие как простая группа Ли SL( n , R ) .) Простые группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880-х и 1890-х годах. В то время специально не использовался тот факт, что структуру группы можно определить полиномами, т. е. что это алгебраические группы. К основоположникам теории алгебраических групп относятся Маурер , Шевалле и Колчин ( 1948 ). В 1950-х годах Арман Борель построил большую часть теории алгебраических групп в том виде, в котором она существует сегодня.

Одним из первых применений теории было определение групп Шевалле .

Примеры

Для положительного целого числа $n$ , общая линейная группа $GL(n)$ над полем $k$ , состоящий из всех обратимых $n\times n$ матриц, является линейной алгебраической группой над $k$ . Он содержит подгруппы

U\subset B\subset GL(n)

состоящая из матриц вида соотв.,

\left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)

и

\left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)

.

Группа $U$ является примером унипотентной линейной алгебраической группы, группы $B$ является примером разрешимой алгебраической группы, называемой борелевской подгруппой группы $GL(n)$ . Следствием теоремы Ли-Колчина является то, что любая связная разрешимая подгруппа группы $\mathrm {GL} (n)$ сопряжен в $B$ . Любая унипотентная подгруппа может быть сопряжена в $U$ .

Другая алгебраическая подгруппа $\mathrm {GL} (n)$ специальная линейная группа $\mathrm {SL} (n)$ матриц с определителем 1.

Группа $\mathrm {GL} (1)$ называется мультипликативной группой и обычно обозначается $\mathbf {G} _{\mathrm {m} }$ . Группа $k$ -баллы $\mathbf {G} _{\mathrm {m} }(k)$ это мультипликативная группа $k^{*}$ ненулевых элементов поля $k$ . Группа добавок $\mathbf {G} _{\mathrm {a} }$ , чей $k$ -точки изоморфны аддитивной группе $k$ , также может быть выражен как матричная группа, например, как подгруппа $U$ в $\mathrm {GL} (2)$ :

{\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.

Эти два основных примера коммутативных линейных алгебраических групп, мультипликативная и аддитивная группы, ведут себя совершенно по-разному с точки зрения их линейных представлений (как алгебраических групп). Каждое представление мультипликативной группы $\mathbf {G} _{\mathrm {m} }$ является прямой суммой неприводимых представлений . (Все его неприводимые представления имеют размерность 1 и имеют вид $x\mapsto x^{n}$ для целого числа $n$ .) Напротив, единственное неприводимое представление аддитивной группы $\mathbf {G} _{\mathrm {a} }$ является тривиальным представлением. Таким образом, каждое представление $\mathbf {G} _{\mathrm {a} }$ (такое как двумерное представление выше) является итеративным расширением тривиальных представлений, а не прямой суммой (если представление не тривиально). Структурная теория линейных алгебраических групп анализирует любую линейную алгебраическую группу с точки зрения этих двух основных групп и их обобщений, торов и унипотентных групп, как обсуждается ниже.

Определения

Для алгебраически замкнутого поля k большая часть структуры алгебраического многообразия X над k закодирована в его множестве X ( k ) из k - рациональных точек , что позволяет элементарно определить линейную алгебраическую группу. Во-первых, определите функцию из абстрактной группы GL ( n , k ) по k как регулярную , если ее можно записать в виде полинома в элементах размера n × n матрицы A и в 1/det( A ), где det — это определитель . Тогда линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем k является подгруппой G ( k ) абстрактной группы GL ( n , k ) для некоторого натурального числа n такого, что G ( k ) определяется обращением в нуль некоторого множества регулярных функции.

Для произвольного поля k алгебраические многообразия над k определяются как частный случай схем над k . На этом языке линейная алгебраическая группа G над полем k представляет собой гладкую замкнутую схему подгрупп группы GL ( n ) над k для некоторого натурального числа n . В частности, G определяется обращением в нуль некоторого набора регулярных функций в GL ( n ) над k эти функции должны обладать тем свойством, что для каждой коммутативной k - алгебры R , и G ( R ) является подгруппой абстрактной группы. ГЛ ( п , р ). (Таким образом, алгебраическая группа G над k — это не просто абстрактная группа G ( k ), а целое семейство групп G ( R ) для коммутативных k -алгебр R ; это философия описания схемы с помощью ее функтора точек .)

В любом языке существует понятие гомоморфизма линейных алгебраических групп. Например, когда k алгебраически замкнуто, гомоморфизм из G ⊂ GL ( m ) в H ⊂ GL ( n ) является гомоморфизмом абстрактных групп G ( k ) → H ( k ), который определяется регулярными функциями на G . Это превращает линейные алгебраические группы над k в категорию . В частности, это определяет, что означает изоморфность двух линейных алгебраических групп .

На языке схем линейная алгебраическая группа G над полем k — это, в частности, групповая схема над k , то есть схема над k вместе с k -точкой 1 ∈ G ( k ) и морфизмами

m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G

над k, которые удовлетворяют обычным аксиомам умножения и обратных отображений в группе (ассоциативность, тождество, обратные). Линейная алгебраическая группа также гладкая, имеет конечный тип над k и аффинна ( как схема). И наоборот, каждая аффинная групповая схема G конечного типа над полем k имеет точное представление в GL ( n ) над k для некоторого n . ^[1] Примером может служить вложение аддитивной группы G _a в GL (2), как говорилось выше. В результате можно думать о линейных алгебраических группах либо как о матричных группах, либо, более абстрактно, как о гладких аффинных групповых схемах над полем. (Некоторые авторы используют «линейную алгебраическую группу» для обозначения любой аффинной групповой схемы конечного типа над полем.)

Для полного понимания линейных алгебраических групп необходимо рассмотреть более общие (негладкие) групповые схемы. Например, пусть k — алгебраически замкнутое поле характеристики p > 0. Тогда гомоморфизм f : Gm _, → Gm _{определенный} равенством x ↦ x ^п индуцирует изоморфизм абстрактных групп k * → k *, но f не является изоморфизмом алгебраических групп (поскольку x ^{1/ п} не является регулярной функцией). На языке групповых схем есть более ясная причина, почему f не является изоморфизмом: f сюръективен, но имеет нетривиальное ядро , а именно групповую схему µ _p корней p -й степени из единицы. Эта проблема не возникает в нулевой характеристике. Действительно, всякая групповая схема конечного типа над полем k нулевой характеристики гладкая над k . ^[2] Групповая схема конечного типа над любым полем k является гладкой над k тогда и только тогда, когда она геометрически редуцирована , то есть замена базы $G_{\overline {k}}$ сокращается , где ${\overline {k}}$ является замыканием k . алгебраическим ^[3]

Поскольку аффинная схема X определяется своим кольцом регулярных функций O ( X ), то аффинная групповая схема G над полем k определяется кольцом O ( G ) со структурой алгебры Хопфа (полученной из умножения и обратного карты на G ). Это дает эквивалентность категорий (переворачивающих стрелок) между аффинными групповыми схемами над k и коммутативными алгебрами Хопфа над k . Например, алгебра Хопфа, соответствующая мультипликативной группе G _m = GL (1), представляет собой полиномов Лорана кольцо k [ x , x ⁻¹], с умножением, заданным формулой

x\mapsto x\otimes x.

Основные понятия

Для линейной алгебраической группы G над полем k единичная компонента G ^тот ( компонента связности , содержащая точку 1) — нормальная подгруппа конечного индекса . Итак, есть расширение группы

1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,

где F — конечная алгебраическая группа. (Для k алгебраически замкнутой группы F можно отождествить с абстрактной конечной группой.) По этой причине изучение алгебраических групп в основном сосредотачивается на связных группах.

Различные понятия абстрактной теории групп можно распространить на линейные алгебраические группы. Несложно определить, что означает, что линейная алгебраическая группа является коммутативной , нильпотентной или разрешимой , по аналогии с определениями в абстрактной теории групп. Например, линейная алгебраическая группа разрешима , если она имеет композиционный ряд линейных алгебраических подгрупп такой, что факторгруппы коммутативны. Кроме того, нормализатор , центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы G естественно рассматриваются как замкнутые схемы подгрупп G. группы Если они гладкие над k , то они являются линейными алгебраическими группами, как определено выше.

Можно задаться вопросом, в какой степени свойства связной линейной алгебраической группы G над полем k определяются абстрактной группой G ( k ). Полезный результат в этом направлении состоит в том, что если поле k совершенно то (например, нулевой характеристики) если G редуктивно (как определено ниже), G унирационально или над k . Следовательно, если, кроме того, бесконечно , группа G ( k ) плотна по Зарисскому в G. k ^[4] Например, при упомянутых предположениях G коммутативна, нильпотентна или разрешима тогда и только тогда, когда G ( k ) обладает соответствующим свойством.

В этих результатах нельзя исключить предположение о связности. Например, пусть G — группа µ ₃ ⊂ GL (1) кубических корней из единицы над рациональными числами Q . Тогда G — линейная алгебраическая группа над Q, для которой G ( Q ) = 1 не плотна по Зарисскому в G , поскольку $G({\overline {\mathbf {Q} }})$ является группой порядка 3.

Над алгебраически замкнутым полем существует более сильный результат об алгебраических группах как алгебраических многообразиях: каждая связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем является рациональным многообразием . ^[5]

Алгебра Ли алгебраической группы

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ алгебраической группы G можно определить несколькими эквивалентными способами: как касательное пространство T1 _k ( G ) в единичном элементе 1 ∈ G ( ) или как пространство левоинвариантных дифференцирований . Если k алгебраически замкнуто, дифференцирование D : O ( G ) → O ( G ) над k координатного кольца G является левоинвариантным , если

D\lambda _{x}=\lambda _{x}D

для каждого x в G ( k ), где λ _x : O ( G ) → O ( G ) индуцируется умножением слева на x . Для произвольного поля k левая инвариантность вывода определяется как аналогичное равенство двух линейных отображений O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). ^[6] Скобка Ли двух дифференцирований определяется формулой [ D ₁ , D ₂ ] знак равно D ₁ D ₂ - D ₂ D ₁ .

Переход от G к ${\mathfrak {g}}$ Таким образом, это процесс дифференциации . Для элемента x ∈ G ( k ) производная в точке 1 ∈ G ( k ) сопряжения отображения G → G , g ↦ xgx ⁻¹, автоморфизмом является ${\mathfrak {g}}$ , давая присоединенное представление :

\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).

Над полем нулевой характеристики связная подгруппа H линейной алгебраической группы G однозначно определяется ее алгеброй Ли ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ . ^[7] Но не каждая подалгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ соответствует алгебраической подгруппе группы G видно на примере тора G = ( Gm _{, как} ) ² над С. В положительной характеристике в группе G может быть много разных связных подгрупп с одной и той же алгеброй Ли (опять же тор G = ( G _m ) ² приводит примеры). По этим причинам, хотя алгебра Ли алгебраической группы важна, структурная теория алгебраических групп требует более глобальных инструментов.

Полупростые и унипотентные элементы

Для алгебраически замкнутого поля k матрица g в GL ( n , k ) называется полупростой , если она диагонализуема , и унипотентной , если матрица g −1 нильпотентна . Эквивалентно, g является унипотентным, если все собственные значения равны g 1. Каноническая форма Иордана для матриц подразумевает, что каждый элемент g из GL ( n , k ) может быть записан однозначно как произведение g = g _ss g _u такое, что g _ss полупроста, g _u унипотентна, g _ss и g _u коммутируют друг с другом.

Для любого поля k элемент g группы GL ( n , k ) называется полупростым, если он становится диагонализуемым над алгебраическим замыканием поля k . Если поле k совершенно, то полупростая и унипотентная части g также лежат в GL ( n , k ). Наконец, для любой линейной алгебраической группы G ⊂ GL ( n ) над полем k определите k -точку группы G как полупростую или унипотентную, если она полупроста или унипотентна в GL ( n , k ). (Эти свойства фактически не зависят от выбора точного представления G .) Если поле k совершенно, то полупростая и унипотентная части k -точки G автоматически находятся в G . То есть ( разложение Жордана ): каждый элемент g из G ( k ) можно однозначно записать как произведение g = g _ss g _u в G ( k ) такое, что g _ss полупрост, g _u унипотентен, а g _ss и вы _ездите на работу друг с другом. ^[8] Это сводит задачу описания классов сопряженности в G ( k ) к полупростому и унипотентному случаям.

Тори

Тор ( алгебраически замкнутым полем k означает группу, изоморфную Gm _над ) ^н, произведение копий n мультипликативной группы над k для некоторого натурального числа n . Для линейной алгебраической группы G максимальный тор в G означает тор из G , который не содержится ни в каком большем торе. Например, группа диагональных матриц в ( n ) над k является максимальным тором в GL ( n ), изоморфным ( Gm _GL ) ^н. Основной результат теории состоит в том, что любые два максимальных тора в группе над алгебраически замкнутым полем k сопряжены G некоторым элементом из G ( k ). ^[9] Ранг G тора . означает размерность любого максимального

Для произвольного поля k тор над T которой k означает линейную алгебраическую группу над k, замена базы $T_{\overline {k}}$ алгебраическому замыканию k изоморфно ( G _m ) ^н над ${\overline {k}}$ , для некоторого натурального числа n . Расщепляемый тор над k означает группу, изоморфную ( G _m ) ^н более k для некоторого n . Пример нерасщепляемого тора над действительными числами R :

T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},

со структурой группы, заданной формулой умножения комплексных чисел x + iy . Здесь T тор размерности 1 над R. — Она не расщеплена, поскольку ее группа вещественных точек ( R ) представляет собой группу окружностей , которая даже как абстрактная группа не изоморфна Gm _T ( R ) = R *.

Каждая точка тора над полем k полупроста. Обратно, если G — связная линейная алгебраическая группа такая, что каждый элемент $G({\overline {k}})$ полупроста, то G — тор. ^[10]

Для линейной алгебраической группы G над общим полем k нельзя ожидать, что все максимальные торы в G над k будут сопряжены элементами из G ( k ). Например, и мультипликативная группа G _m , и группа окружностей T выше встречаются как максимальные торы в SL (2) над R . Однако всегда верно, что любые два максимальных расщепляемых тора в G над k (имеются в виду расщепляемые торы в G , которые не содержатся в большем расщепляемом торе) сопряжены некоторым элементом G ( k ). ^[11] В результате имеет смысл определить k -ранг или расщепленный ранг группы G над k как размерность любого максимального расщепляемого тора в G над k .

Для любого максимального тора T в линейной алгебраической группе G над полем k Гротендик показал, что $T_{\overline {k}}$ является максимальным тором в $G_{\overline {k}}$ . ^[12] Отсюда следует, что любые два максимальных тора в G над полем k имеют одинаковую размерность, хотя они не обязаны быть изоморфными.

Унипотентные группы

Пусть U _n — группа верхнетреугольных матриц в GL ( n ) с диагональными элементами, равными 1, над полем k . Групповая схема над полем k (например, линейная алгебраическая группа) называется унипотентной если она изоморфна замкнутой подгрупповой схеме Un _, для некоторого n . Несложно проверить, что группа нильпотентна _Un . В результате каждая унипотентная групповая схема нильпотентна.

Линейная алгебраическая группа G над полем k унипотентна тогда и только тогда, когда каждый элемент из $G({\overline {k}})$ является унипотентным. ^[13]

Группа B _n верхнетреугольных матриц в GL ( n ) является полупрямым произведением

B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},

где T _n — диагональный тор ( G _m ) ^н. В более общем смысле, каждая связная разрешимая линейная алгебраическая группа является полупрямым произведением тора с унипотентной группой T ⋉ U . ^[14]

Гладкая связная унипотентная группа над совершенным полем k (например, алгебраически замкнутым полем) имеет композиционный ряд, все факторгруппы которого изоморфны аддитивной группе G _a . ^[15]

Борелевские подгруппы

Подгруппы Бореля важны для структурной теории линейных алгебраических групп. Для линейной алгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем k борелевская подгруппа группы G означает максимальную гладкую связную разрешимую подгруппу. Например, одна борелевская подгруппа группы GL ( n ) является подгруппой B верхнетреугольных матриц (все элементы ниже диагонали равны нулю).

Основной результат теории состоит в том, что любые две борелевские подгруппы связной группы G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G ( k ). ^[16] (Стандартное доказательство использует теорему Бореля о неподвижной точке : для связной разрешимой группы G, действующей на собственное многообразие X над алгебраически замкнутым полем k , существует k -точка в X , которая фиксируется действием G. ) сопряженность борелевских подгрупп в GL ( n ) сводится к теореме Ли–Колчина : каждая гладкая связная разрешимая подгруппа в GL ( n ) сопряжена подгруппе верхнетреугольной подгруппы в GL ( n ).

Для произвольного поля k борелевская подгруппа B группы G определяется как подгруппа над k такая, что над алгебраическим замыканием ${\overline {k}}$ из к , $B_{\overline {k}}$ является борелевской подгруппой $G_{\overline {k}}$ . Таким образом, G может иметь или не иметь борелевскую подгруппу над k .

замкнутой подгрупповой схемы H группы G факторпространство / G Для H является гладкой квазипроективной схемой над k . ^[17] Гладкая подгруппа P связной группы G называется параболической, если G / P проективна над (или, что k то же самое, собственная над k ). Важным свойством борелевских подгрупп B является то, что / B — проективное многообразие, называемое многообразием флагов группы G. G То есть борелевские подгруппы являются параболическими подгруппами. Точнее, для k алгебраически замкнутой подгруппы Бореля являются в точности минимальными параболическими подгруппами группы G ; и наоборот, каждая подгруппа, содержащая борелевскую подгруппу, параболична. ^[18] Таким образом, можно перечислить все параболические подгруппы группы G (с точностью до сопряжения с помощью G ( k )), перечислив все линейные алгебраические подгруппы группы G , которые содержат фиксированную борелевскую подгруппу. Например, подгруппы P ⊂ GL (3) над k , содержащие борелевскую подгруппу B верхнетреугольных матриц, — это сама B , вся группа GL (3) и промежуточные подгруппы

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}

и

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.

Соответствующими проективными однородными многообразиями GL (3)/ P являются (соответственно): многообразие флагов всех цепочек линейных подпространств

0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}

с V _i размерности i ; точка; проективное пространство P ² линий (одномерных линейных подпространств ) в A ³; и двойственное проективное пространство P ² самолетов в А ³.

Полупростые и редуктивные группы

Связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется полупростой , если каждая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа группы G тривиальна. В более общем смысле, связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если каждая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа группы G тривиальна. ^[19] (Некоторые авторы не требуют связности редуктивных групп.) Полупростая группа редуктивна. Группа G над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если $G_{\overline {k}}$ является полупростым или редуктивным. Например, группа SL ( n ) матриц размера n × n с определителем 1 над любым полем k полупроста, тогда как нетривиальный тор редуктивен, но не полупрост. Аналогично, GL ( n ) редуктивна, но не полупроста (поскольку ее центр G _m является нетривиальной гладкой связной разрешимой нормальной подгруппой).

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию , которая представляет собой комплексную редуктивную алгебраическую группу. Фактически эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. ^[20]

Линейная алгебраическая группа G над полем k называется простой (или k - простой ), если она полупроста, нетривиальна и каждая гладкая связная нормальная подгруппа группы над k тривиальна или равна G. G ^[21] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простым».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n не менее 2 и любого поля k группа SL ( n ) над k является простой, а ее центром является групповая схема µ _n степени корней n-й из единицы.

Каждая связная линейная алгебраическая группа G над совершенным полем k является (единственным образом) расширением редуктивной группы R с помощью гладкой связной унипотентной группы U , называемой унипотентным радикалом группы G :

1\to U\to G\to R\to 1.

Если k имеет нулевую характеристику, то существует более точное разложение Леви : каждая связная линейная алгебраическая группа G над k является полупрямым произведением. $R\ltimes U$ редуктивной группы унипотентной группой. ^[22]

Классификация редуктивных групп

Редуктивные группы включают в себя наиболее важные на практике линейные алгебраические группы, такие как классические группы : GL ( n ), SL ( n ), ортогональные группы SO ( n ) и симплектические группы Sp (2n ) . С другой стороны, определение редуктивных групп весьма «негативное», и неясно, можно ли много говорить о них. Примечательно, что Клод Шевалле дал полную классификацию редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем: они определяются корневыми данными . ^[23] В частности, простые группы над алгебраически замкнутым полем k классифицируются (с точностью до фактора по конечным схемам центральных подгрупп) по их диаграммам Дынкина . Примечательно, что эта классификация не зависит от характеристики k . Например, исключительные группы Ли G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ могут быть определены в любой характеристике (и даже как групповые схемы над Z ). Классификация конечных простых групп гласит, что большинство конечных простых групп возникают как группа k -точек простой алгебраической группы над конечным полем k или как второстепенные варианты этой конструкции.

Каждая редуктивная группа над полем является фактор-фактором по конечной центральной схеме подгрупп произведения тора и некоторых простых групп. Например,

GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.

Для произвольного поля k редуктивная группа G называется расщепляемой , если она содержит расщепляемый максимальный тор над k (т. е. расщепляемый тор в G , который остается максимальным над алгебраическим замыканием поля k ). Например, GL ( n ) является расщепляемой редуктивной группой над любым полем k . Шевалле показал, что классификация расщепленных редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной в зависимости от базового поля. Например, каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу SO ( q ), а каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу SL ₁ ( A ). В результате проблема классификации редуктивных групп над k по существу включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k . Эти проблемы просты для k алгебраически замкнутых и понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля , но для произвольных полей остается много открытых вопросов.

Приложения

Теория представлений

Одна из причин важности редуктивных групп кроется в теории представлений. Любое неприводимое представление унипотентной группы тривиально. В более общем смысле, для любой линейной алгебраической группы G, записанной как расширение

1\to U\to G\to R\to 1

с U унипотентным и R редуктивным, каждое неприводимое представление G факторизуется через R . ^[24] Это фокусирует внимание на теории представлений редуктивных групп. (Для ясности: рассматриваемые здесь представления являются представлениями G как алгебраической группы . Таким образом, для группы G над полем k представления находятся в k -векторных пространствах, а действие G задается регулярными функциями. Это является важной, но другой проблемой классификации непрерывных представлений группы G ( R ) для вещественной редуктивной группы G или аналогичных проблем над другими полями.)

Шевалле показал, что неприводимые представления расщепленной редуктивной группы над полем k конечномерны и индексируются доминирующими весами . ^[25] Это то же самое, что происходит в теории представлений компактных связных групп Ли или в конечномерной теории представлений комплексных полупростых алгебр Ли . Для k нулевой характеристики все эти теории по существу эквивалентны. В частности, каждое представление редуктивной группы G над полем нулевой характеристики является прямой суммой неприводимых представлений, и если G расщепляется, характеры неприводимых представлений задаются формулой характеров Вейля . Теорема Бореля –Вейля дает геометрическую конструкцию неприводимых представлений редуктивной группы G в нулевой характеристике как пространств сечений линейных расслоений над многообразием флагов G / B .

Теория представлений редуктивных групп (кроме торов) над полем положительной характеристики p менее изучена. В этой ситуации представление не обязательно должно быть прямой суммой неприводимых представлений. И хотя неприводимые представления индексируются доминирующими весами, размерности и характеры неприводимых представлений известны лишь в некоторых случаях. Андерсен, Янцен и Зёргель ( 1994 ) определили эти характеры (доказав Люстига гипотезу ), когда характеристика p достаточно велика по сравнению с числом Коксетера группы. Для малых простых чисел p нет даже точной гипотезы.

Групповые действия и геометрическая теория инвариантов

Действие X линейной алгебраической группы на многообразии (или схеме) G над полем k называется морфизмом

G\times _{k}X\to X

удовлетворяющее аксиомам группового действия . Как и в других типах теории групп, важно изучать групповые действия, поскольку группы естественным образом возникают как симметрии геометрических объектов.

Частью теории действий групп является геометрическая теория инвариантов , целью которой является построение фактормногообразия X / G , описывающего множество орбит линейной алгебраической группы G на X как алгебраическое многообразие. Возникают различные осложнения. Например, если X — аффинное многообразие, то можно попытаться построить X / G как Spec кольца инвариантов O ( X ) ^Г. Однако Масаеси Нагата показал, что кольцо инвариантов не обязательно должно быть конечно порождено как k -алгебра (и поэтому Spec кольца является схемой, а не многообразием), что является отрицательным ответом на 14-ю проблему Гильберта . В положительном направлении кольцо инвариантов конечно порождено, если G редуктивна по теореме Хабуша , доказанной в нулевой характеристике Гильбертом и Нагатой.

Геометрическая теория инвариантов включает в себя дополнительные тонкости, когда редуктивная группа G действует на проективном многообразии X . В частности, теория определяет открытые подмножества «стабильных» и «полустабильных» точек в X , при этом факторморфизм определен только на множестве полустабильных точек.

Связанные понятия

Линейные алгебраические группы допускают варианты в нескольких направлениях. Отказ от существования обратной карты $i\colon G\to G$ , получаем понятие линейного алгебраического моноида . ^[26]

Группы лжи

Для линейной алгебраической группы G над действительными числами R группа вещественных точек G ( R ) является группой Ли , по существу, потому, что вещественные многочлены, которые описывают умножение на G , являются гладкими функциями . для линейной алгебраической группы G над C Аналогично , G ( C ) является комплексной группой Ли . Большая часть теории алгебраических групп была разработана по аналогии с группами Ли.

по которым группа Ли может не иметь структуры линейной алгебраической группы над R. Существует несколько причин ,

Группа Ли с бесконечной группой компонент G/G. ^тот не может быть реализована как линейная алгебраическая группа.
Алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G ( R ) не связна, и то же самое касается односвязных групп. Например, алгебраическая группа SL (2) односвязна над любым полем, тогда как группа Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу , изоморфную целым числам Z . Двойное накрытие H группы SL (2, R ), известное как метаплектическая группа которую нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R. , представляет собой группу Ли , Более строго, H не имеет точного конечномерного представления.
Анатолий Мальцев показал, что каждую односвязную нильпотентную группу Ли можно рассматривать как унипотентную алгебраическую группу G над R единственным способом. ^[27] (Как разновидность G изоморфна аффинному пространству некоторой размерности над R .) Напротив, существуют односвязные разрешимые группы Ли, которые нельзя рассматривать как вещественные алгебраические группы. Например, универсальное накрытие H полупрямого произведения S ¹ ⋉ Р ² имеет центр, изоморфный Z , который не является линейной алгебраической группой, и поэтому H нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R .

Абелевы многообразия

Алгебраические группы , не аффинные, ведут себя совершенно иначе. В частности, гладкая связная групповая схема, являющаяся проективным многообразием над полем, называется абелевым многообразием . В отличие от линейных алгебраических групп каждое абелево многообразие коммутативно. Тем не менее абелевы многообразия имеют богатую теорию. Даже случай эллиптических кривых (абелевых многообразий размерности 1) занимает центральное место в теории чисел , и его приложения включают доказательство Великой теоремы Ферма .

Таннакские категории

Конечномерные представления алгебраической группы G вместе с тензорным произведением представлений образуют таннакову Rep _G. категорию Фактически, таннакианские категории с «расслоенным функтором» над полем эквивалентны аффинным групповым схемам. (Каждая аффинная групповая схема над полем k является проалгебраической в том смысле, что она является обратным пределом аффинных групповых схем конечного типа над k . ^[28]) Например, группа Мамфорда–Тейта и мотивная группа Галуа с использованием этого формализма строятся . Некоторые свойства (про)алгебраической группы G можно прочитать из ее категории представлений. Например, над полем нулевой характеристики Rep _G является полупростой категорией тогда и только тогда, когда единичный компонент G проредуктивен. ^[29]

См. также

Группы лиева типа — это конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
Теорема Ланга
Обобщенное многообразие флагов , разложение Брюа , пара БН , группа Вейля , подгруппа Картана , группа присоединенного типа , параболическая индукция
Действительная форма (теория лжи) , диаграмма Сатаке
Адельная алгебраическая группа , гипотеза Вейля о числах Тамагавы
Классификация Ленглендса , программа Ленглендса , геометрическая программа Ленглендса
Торсор , неабелевы когомологии , специальная группа , когомологический инвариант , существенная размерность , гипотеза Кнезера–Титса , гипотеза Серра II
Псевдоредуктивная группа
Дифференциальная теория Галуа
Распределение на линейной алгебраической группе

Примечания

^ Милн (2017), Следствие 4.10.
^ Милн (2017), Следствие 8.39.
^ Милн (2017), Предложение 1.26 (b).
^ Борель (1991), Теорема 18.2 и следствие 18.4.
^ Борель (1991), Примечание 14.14.
^ Милн (2017), раздел 10.e.
^ Борель (1991), раздел 7.1.
^ Милн (2017), Теорема 9.18.
^ Борель (1991), Следствие 11.3.
^ Милн (2017), следствие 17.25
^ Спрингер (1998), Теорема 15.2.6.
^ Борель (1991), 18.2 (i).
^ Милн (2017), Следствие 14.12.
^ Борель (1991), Теорема 10.6.
^ Борель (1991), Теорема 15.4(iii).
^ Борель (1991), Теорема 11.1.
^ Милн (2017), Теоремы 7.18 и 8.43.
^ Борель (1991), Следствие 11.2.
^ Милн (2017), Определение 6.46.
^ Брёкер и Том Дик (1985), раздел III.8; Конрад (2014), раздел D.3.
^ Конрад (2014), после предложения 5.1.17.
^ Конрад (2014), Предложение 5.4.1.
^ Спрингер (1998), 9.6.2 и 10.1.1.
^ Милн (2017), Лемма 19.16.
^ Милн (2017), Теорема 22.2.
^ Реннер, Лекс (2006), Линейные алгебраические моноиды , Springer .
^ Милн (2017), Теорема 14.37.
^ Делинь и Милн (1982), Следствие II.2.7.
^ Делинь и Милн (1982), Примечание II.2.28.

Ссылки

Андерсен, ХХ ; Янцен, JC ; Зёргель, В. (1994), Представления квантовых групп с корнем p -й из единицы и полупростых групп в характеристике p : независимость p , Asterisque, vol. 220, Société Mathématique de France , ISSN 0303-1179 , MR 1272539.
Борель, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2 , МР 1102012
Брокер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Springer Nature , ISBN 0-387-13678-9 , МР 0781344
Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF) , Вокруг групповых схем , том. 1, Париж: Математическое общество Франции , стр. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0 , МР 3309122
Делинь, Пьер ; Милн, Дж. С. (1982), «Таннакские категории» , Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры , Конспекты лекций по математике, том. 900, Springer Nature , стр. 101–228, ISBN. 3-540-11174-3 , МР 0654325
Де Медтс, Том (2019), Линейные алгебраические группы (конспекты курса) (PDF) , Гентский университет
Хамфрис, Джеймс Э. (1975), Линейные алгебраические группы , Springer, ISBN 0-387-90108-6 , МР 0396773
Колчин, Э.Р. (1948), «Алгебраические матричные группы и теория Пикара – Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений», Анналы математики , вторая серия, 49 (1): 1–42, doi : 10.2307/1969111 , ISSN 0003- 486С , ДЖСТОР 1969111 , МР 0024884
Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , ISBN 978-1107167483 , МР 3729270
Спрингер, Тонни А. (1998) [1981], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Биркхойзер, ISBN 0-8176-4021-5 , МР 1642713

Внешние ссылки

«Линейная алгебраическая группа» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Милн (2017), Следствие 4.10.

[2] Милн (2017), Следствие 8.39.

[3] Милн (2017), Предложение 1.26 (b).

[4] Борель (1991), Теорема 18.2 и следствие 18.4.

[5] Борель (1991), Примечание 14.14.

[6] Милн (2017), раздел 10.e.

[7] Борель (1991), раздел 7.1.

[8] Милн (2017), Теорема 9.18.

[9] Борель (1991), Следствие 11.3.

[10] Милн (2017), следствие 17.25

[11] Спрингер (1998), Теорема 15.2.6.

[12] Борель (1991), 18.2 (i).

[13] Милн (2017), Следствие 14.12.

[14] Борель (1991), Теорема 10.6.

[15] Борель (1991), Теорема 15.4(iii).

[16] Борель (1991), Теорема 11.1.

[17] Милн (2017), Теоремы 7.18 и 8.43.

[18] Борель (1991), Следствие 11.2.

[19] Милн (2017), Определение 6.46.

[20] Брёкер и Том Дик (1985), раздел III.8; Конрад (2014), раздел D.3.

[21] Конрад (2014), после предложения 5.1.17.

[22] Конрад (2014), Предложение 5.4.1.

[23] Спрингер (1998), 9.6.2 и 10.1.1.

[24] Милн (2017), Лемма 19.16.

[25] Милн (2017), Теорема 22.2.

[26] Реннер, Лекс (2006), Линейные алгебраические моноиды , Springer .

[27] Милн (2017), Теорема 14.37.

[28] Делинь и Милн (1982), Следствие II.2.7.

[29] Делинь и Милн (1982), Примечание II.2.28.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]