Гипотеза Серра II
В математике предположил Серр Жан- Пьер [ 1 ] [ 2 ] следующее утверждение о когомологиях Галуа группы односвязной полупростой алгебраической . А именно, он предположил, что если G — такая группа над совершенным полем F когомологической размерности не выше 2, то множество когомологий Галуа H 1 ( F , G ) равно нулю.
Верна обратная гипотеза: если поле F совершенно и если множество когомологий H 1 ( F , G ) равна нулю для любой полупростой односвязной алгебраической группы G , то p -когомологическая размерность F не превосходит 2 для любого простого числа p . [ 3 ]
Гипотеза верна в случае, когда F — локальное поле (например, p-адическое поле ) или глобальное поле без вещественных вложений (например, Q ( √ −1 )). Это частный случай принципа Хассе Кнезера – Хардера – Черноусова для алгебраических групп над глобальными полями. (Заметим, что такие поля действительно имеют когомологическую размерность не более 2. [ 2 ] ) Гипотеза также верна, когда F конечно порождено комплексными числами и имеет степень трансцендентности не выше 2. [ 4 ]
Известно также, что эта гипотеза верна для некоторых групп G . Для специальных линейных групп это является следствием теоремы Меркурьева–Суслина . [ 5 ] Основываясь на этом результате, гипотеза верна, если G — классическая группа . [ 6 ] Гипотеза верна и в том случае, если G — один из некоторых видов исключительной группы . [ 7 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Серр, Дж.П. (1962). «Когомологии Галуа линейных алгебраических групп». Симпозиум по теории алгебраических групп : 53–68.
- ^ Jump up to: а б Серр, Дж.П. (1964). Когомологии Галуа . Конспект лекций по математике. Полет. 5. Спрингер.
- ^ Серр, Жан-Пьер (1995). «Галуазовые когомологии: прогресс и проблемы» . Звездочка . 227 : 229–247. МР 1321649 . Збл 0837.12003 – через НУМДАМ.
- ^ де Йонг, Эй Джей; Он, Сюйхуа; Старр, Джейсон Майкл (2008). «Семейства рационально односвязных многообразий над поверхностями и торсорами для полупростых групп». arXiv : 0809.5224 [ math.AG ].
- ^ Меркурьев А.С.; Суслин, А.А. (1983). «K-когомологии многообразий Севери-Брауэра и гомоморфизм нормы-вычета». Математика. Известия СССР . 21 (2): 307–340. Бибкод : 1983ИзМат..21..307М . дои : 10.1070/im1983v021n02abeh001793 .
- ^ Байер-Флюкигер, Э.; Паримала, Р. (1995). «Когомологии Галуа классических групп над полями когомологической размерности ≤ изобретения Математические 122 : 195–229. Бибкод : 1995InMat.122..195B . дои : 10.1007/BF01231443 . S2CID 124673233 .
- ^ Гилле, П. (2001). «Когомологии Галуа квазирасширенных алгебраических групп на полях когомологической размерности ≤ 2» . Композиция Математика . 125 (3): 283–325. дои : 10.1023/А:1002473132282 . S2CID 124765999 .