Когомологический инвариант

В математике когомологический инвариант алгебраической группы G над полем — это инвариант форм G , принимающих значения в группе когомологий Галуа .

Определение [ править ]

Предположим, что G — алгебраическая группа, определенная над полем K , и выберите сепарабельно замкнутое поле K содержащее K. , Для конечного расширения L группы K в K пусть Γ _L — абсолютная группа Галуа группы L . Первые когомологии H ¹( л , г ) знак равно ЧАС ¹(Γ _L , G ) — множество, классифицирующее G -торсоры над L , и функтор L .

Когомологический инвариант группы G размерности d, принимающий значения в Γ _K -модуле M, является естественным преобразованием функторов (из L ) из H ¹(L, G ) до H ^д(Л, М ).

Другими словами, когомологический инвариант связывает элемент абелевой группы когомологий с элементами неабелева множества когомологий.

В более общем смысле, если A — любой функтор из конечно порожденных расширений поля до множеств, то когомологический инвариант A размерности d, принимающий значения в Γ-модуле M, является естественным преобразованием функторов ( L ) из A в H. ^д(Л, М ).

Когомологические инварианты фиксированной группы G или функтора A , размерность d и модуль Галуа M образуют абелеву группу , обозначаемую Inv ^д( G , M ) или Инв ^д( ЯВЛЯЮСЬ ) .

Примеры [ править ]

Предположим, что A — функтор, переводящий поле в классы изоморфизма размерности n этальных алгебр над ним. Когомологические инварианты с коэффициентами из Z /2 Z — свободный модуль над когомологиями k с базой из элементов степеней 0, 1, 2, ..., m , где m — целая часть n /2.
Инвариант Хассе -Витта квадратичной формы по существу является когомологическим инвариантом размерности 2 соответствующей спиновой группы, принимающим значения в группе порядка 2.
Если G является фактором группы по гладкой конечной центральной подгруппе C , то граничное отображение соответствующей точной последовательности дает когомологический инвариант размерности 2 со значениями в C . Если G — специальная ортогональная группа, а накрытие — спиновая группа, то соответствующий инвариант по существу является инвариантом Хассе-Витта .
Если G — ортогональная группа квадратичной формы с характеристикой, отличной от 2, то для каждой положительной размерности существуют классы Стифеля–Уитни, которые являются когомологическими инвариантами со значениями в / 2 Z. Z (Это не топологические классы Штифеля–Уитни вещественного векторного расслоения, а их аналоги для векторных расслоений над схемой.) Для размерности 1 это по существу дискриминант, а для размерности 2 – по существу дискриминант Хассе–Витта. инвариант .
e Инвариант Арасона 3 _— это инвариант размерности 3 некоторых четномерных квадратичных форм q с тривиальным дискриминантом и тривиальным инвариантом Хассе-Витта. Он принимает значения в Z 2 Z. / Его можно использовать для построения когомологического инварианта размерности 3 соответствующей спиновой группы следующим образом. Если ты в H ¹( K , Spin( q )) и p — квадратичная форма, соответствующая образу u в H ¹( K , O( q )), то e ₃ ( p − q ) является значением когомологического инварианта размерности 3 на u .
Инвариант Меркурьева –Суслина — это инвариант размерности 3 специальной линейной группы центральной простой алгебры ранга n, принимающий значения в тензорном квадрате группы корней n- й степени из единицы. Когда n =2, это, по существу, инвариант Арасона.
Для абсолютно простых односвязных групп G инвариант Роста — это инвариант размерности 3, принимающий значения в Q / Z (2), который в некотором смысле обобщает инвариант Арасона и инвариант Меркурьева–Суслина на более общие группы.

Ссылки [ править ]

Гарибальди, Скип; Меркурьев, Александр; Серр, Жан-Пьер (2003), Когомологические инварианты в когомологиях Галуа , Серия университетских лекций, том. 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-3287-5 , МР : 1999383
Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Публикации коллоквиума, том. 44, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-0904-0 , Збл 0955.16001
Серр, Жан-Пьер (1995), «Когомологии Галуаза: прогресс и проблемы» , Asterisk , Семинар Бурбаки, Vol. 1993/94. Эксп. № 783, 227 : 229–257, МР 1321649