Распространение алгебры

В коммутативной алгебре конечному произведению конечных сепарабельных расширений этальная алгебра над полем — это особый тип алгебры, изоморфный полей. Этальная алгебра — это особый вид коммутативной сепарабельной алгебры .

Определения

Пусть К — поле . Пусть L — коммутативная -алгебра с единицей ассоциативная K . Тогда L называется этальной K -алгеброй, если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• $L\otimes _{K}E\simeq E^{n}$ для некоторого расширения поля E поля K и некоторого неотрицательного целого числа n .
• $L\otimes _{K}{\overline {K}}\simeq {\overline {K}}^{n}$ для любого алгебраического замыкания ${\overline {K}}$ K n неотрицательного целого числа . и некоторого
• L изоморфно конечному произведению конечных сепарабельных расширений полей K .
• L конечномерна над K , а форма следа Tr( xy ) невырождена.
• Морфизм схем $\operatorname {Spec} L\to \operatorname {Spec} K$ является этальным морфизмом .

Примеры

The $\mathbb {Q}$-алгебра $\mathbb {Q} (i)$ является этальным, поскольку является конечным сепарабельным расширением поля.

The $\mathbb {R}$-алгебра $\mathbb {R} [x]/(x^{2})$ не эталь, так как $\mathbb {R} [x]/(x^{2})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq \mathbb {C} [x]/(x^{2})$.

Характеристики

Пусть G обозначает абсолютную группу Галуа группы K . Тогда категория этальных K -алгебр эквивалентна категории конечных G -множеств с непрерывным G -действием. этальные алгебры размерности n классифицируются по классам сопряженности непрерывных гомоморфизмов из G в симметрическую группу Sn _. В частности , Они глобализуются, например, с определением этальных фундаментальных групп и классифицируются по теории Галуа Гротендика .

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1990), Алгебра. II. Главы 4–7. , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-19375-8 , МР   1080964
• Милн, Джеймс, Теория поля http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf