Теория Галуа Гротеньека

В математике представляет теория Галуа Гротендика собой абстрактный подход к теории полей Галуа , разработанный примерно в 1960 году, чтобы обеспечить способ изучения фундаментальной группы алгебраической топологии в контексте алгебраической геометрии . В классической теории поля он обеспечивает альтернативную точку зрения Эмиля Артина , основанную на линейной алгебре , которая стала стандартной примерно с 1930-х годов.

Подход Александра Гротендика связан с теоретичными свойствами категории которые характеризуют категории конечных G -сечений для фиксированной группы G. , Например, G может быть группой, обозначенной ${\hat {\mathbb {Z} }}$ (См. Profinite Integer ), который является обратным пределом циклических аддитивных групп z / n z - или эквивалентно завершение бесконечной циклической группы Z для топологии подгрупп конечного индекса . Конечный G -Set -это конечный набор x , на котором G действует через коэффициентную конечную циклическую группу, так что он определяется путем давления некоторой перестановки x .

В приведенном выше примере связь с классической теорией Галуаса в отношении можно увидеть ${\hat {\mathbb {Z} }}$ как предварительная Galois Group Gal ( / F ) алгебраического закрытия F любого конечного поля F , над F. F То есть, автоморфизмы F Fixing F описаны обратным пределом, так как мы принимаем большие и более крупные конечные расщепления по F. поля Соединение с геометрией можно увидеть, когда мы смотрим на покрывающие пространства единичного диска в сложной плоскости с удалением начала: конечное покрытие, реализованное z ^не Карта диска, о которой мыслите с помощью числа комплексной переменной z , соответствует подгруппе n . Z фундаментальной группы проколотого диска.

Теория Grothendieck, опубликованная в SGA1 , показывает, как реконструировать категорию g -сетса из фанкора волокна φ, который в геометрической обстановке берет волокно покрытия над фиксированной базовой точкой (в качестве набора). На самом деле есть изоморфизм, о котором доказано в типе

G ≅ Aut(Φ),

последняя представляет собой группу автоморфизмов (самоестественных эквивалентностей ) группы Φ. Дана абстрактная классификация категорий с функтором категории множеств, с помощью которой можно распознавать категории G -множеств для G проконечных.

Чтобы увидеть, как это применимо к случаю полей, нужно изучить тензорное произведение полей . В теории топоса это часть изучения атомарных топосов .

См. также

• Таннакский формализм
• Оптоволоконный оператор
• Анабелева геометрия

Ссылки

• Grothendieck, A.; и др. (1971). Стабильные покрытия SGA1 и фундаментальная группа, 1960–1961 . Чтение заметок по математике. Полет. 224. Springersphiwe Verlag. Arxiv : математика/0206203 . ISBN  978-3-540-36910-3 .
• Джойаль, Андре; Тирни, Майлз (1984). Расширение теории Galois of Grothendieck . Мемуары американского математического общества. ISBN  0-8218-2312-4 .

• Borceux, F.; Janelidze, G. (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80309-8 Полем (Эта книга знакомит читателя с теорией Galois of Grothendieck , и некоторые обобщения, что приводит к Galois Grogyoids .)
• Самуэли, Т. (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-48114-4 .
• Дубук, Э.Дж.; де ла Вега, CS (2000). «О теории Галуа Гротендика». arXiv : math/0009145 .

• Карамелло, Оливия (2016). «Топологическая теория Галуа» . Достижения в математике . 291 : 646–695. arXiv : 1301.0300 . дои : 10.1016/j.aim.2015.11.050 .