Показать морфизм

В алгебраической геометрии этальный морфизм ( Французский: [etal] ) — это морфизм схем , формально этальный и локально конечного представления. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в комплексной аналитической топологии. Они удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции , но поскольку открытые множества в топологии Зариского настолько велики, они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, этальные отображения сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны при определении алгебраической фундаментальной группы и этальной топологии .

Слово étale — французское прилагательное , которое означает «слабый», как в «слабом приливе», или, образно говоря, спокойный, неподвижный, что-то, оставленное для урегулирования.

Определение

Позволять $\phi :R\to S$ — кольцевой гомоморфизм . Это делает $S$ а $R$-алгебра. Выберите монический полином $f$ в $R[x]$ и полином $g$ в $R[x]$ такая, что производная $f'$ из $f$ является единицей в $(R[x]/fR[x])_{g}$. Мы говорим, что $\phi$ если стандартные спреды , $f$ и $g$ можно выбрать так, чтобы $S$ изоморфен как $R$-алгебра к $(R[x]/fR[x])_{g}$ и $\phi$ это каноническая карта.

Позволять $f:X\to Y$ быть морфизмом схем . Мы говорим, что $f$ этальна тогда и только тогда , когда она обладает любым из следующих эквивалентных свойств:

1. $f$ плоский ​ и неразветвленный .
2. $f$ является гладким морфизмом и неразветвлен.
3. $f$ плоская, локально конечного представления и для любого $y$ в $Y$, волокно $f^{-1}(y)$ представляет собой непересекающееся объединение точек, каждая из которых представляет собой спектр конечного сепарабельного полевого расширения поля вычетов $\kappa (y)$.
4. $f$ плоская, локально конечного представления и для любого $y$ в $Y$ и каждое алгебраическое замыкание $k'$ поля вычетов $\kappa (y)$, геометрическое волокно $f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}k'$ — непересекающееся объединение точек, каждая из которых изоморфна ${\mbox{Spec }}k'$.
5. $f$ является гладким морфизмом нулевой относительной размерности.
6. $f$ — гладкий морфизм и локально квазиконечный морфизм .
7. $f$ локально конечного представления и локально является стандартным этальным морфизмом, т. е.

   Для каждого $x$ в $X$, позволять $y=f(x)$. Тогда существует открытая аффинная окрестность $\operatorname {Spec} R$ из $y$ и открытая аффинная окрестность $\operatorname {Spec} S$ из $x$ такой, что $f(\operatorname {Spec} S)$ содержится в $\operatorname {Spec} R$ и такой, что гомоморфизм колец $R\rightarrow S$ вызванный $f$ стандартный спред.

8. $f$ локально конечного представления и формально этальна .
9. $f$ локально конечного представления и формально этальна для отображений из локальных колец, т. е.:

   Позволять $A$ быть местным кольцом и $J$ быть идеалом $A$ такой, что $J^{2}=0$. Набор $Z=\operatorname {Spec} A$ и $Z_{0}=\operatorname {Spec} A/J$, и пусть $i\colon Z_{0}\rightarrow Z$ — каноническое закрытое погружение. Позволять $z$ обозначаем замкнутую точку $Z_{0}$. Позволять $h\colon Z\rightarrow Y$ и $g_{0}\colon Z_{0}\rightarrow X$ являются морфизмами такими, что $f(g_{0}(z))=h(i(z))$. Тогда существует единственный $Y$-морфизм $g\colon Z\rightarrow X$ такой, что $gi=g_{0}$.

Предположим, что $Y$ локально нётерово и f локально имеет конечный тип. Для $x$ в $X$, позволять $y=f(x)$ и пусть ${\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ — индуцированное отображение на полных локальных кольцах. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $f$ раскинулся.
2. Для каждого $x$ в $X$индуцированное отображение на полных локальных кольцах формально этально для адической топологии.
3. Для каждого $x$ в $X$, ${\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ это бесплатно ${\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}$-модуль и волокно ${\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ - поле, которое является конечным сепарабельным расширением поля вычетов $\kappa (y)$. (Здесь $m_{y}$ является максимальным идеалом ${\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}$.)
4. $f$ формально этален для отображений локальных колец со следующими дополнительными свойствами. Местное кольцо $A$ можно считать артиновым. Если $m$ является максимальным идеалом $A$, затем $J$ можно считать удовлетворяющим $mJ=0$. Наконец, морфизм полей вычетов $\kappa (y)\rightarrow A/m$ можно считать изоморфизмом.

Если дополнительно все отображения на поля вычетов $\kappa (y)\to \kappa (x)$ являются изоморфизмами, или если $\kappa (y)$ сепарально замкнуто, то $f$ этальна тогда и только тогда, когда для каждого $x$ в $X$, индуцированное отображение на полных локальных кольцах является изоморфизмом.

Примеры

Любое открытое погружение является этальным, поскольку оно локально изоморфизм.

Накрывающие пространства являются примерами этальных морфизмов. Например, если $d\geq 1$ — целое число, обратимое в кольце $R$ затем

${\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])$

это степень $d$ этальный морфизм.

Любое разветвленное покрытие $\pi :X\to Y$ имеет неразветвленное локус

$\pi :X_{un}\to Y_{un}$

что такое лестница.

Морфизмы

${\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)$

индуцированные конечными сепарабельными расширениями полей, являются этальными - они образуют арифметические накрытия с группой преобразований колоды, заданной формулой ${\text{Gal}}(L/K)$.

Любой кольцевой гомоморфизм вида $R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})$, где все $f_{i}$ являются полиномами, и где Якобиана определитель $\det(\partial f_{i}/\partial x_{j})$ является единицей в $S$, является этальным. Например, морфизм $\mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)$ этальный и соответствует степени $n$ охватывающее пространство $\mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C}$ с группой $\mathbb {Z} /n$ трансформаций колод.

Развивая предыдущий пример, предположим, что у нас есть морфизм $f$ гладких комплексных алгебраических многообразий. С $f$ задается уравнениями, мы можем интерпретировать его как карту комплексных многообразий. Всякий раз, когда якобиан $f$ ненулевое значение, $f$ является локальным изоморфизмом комплексных многообразий по теореме о неявной функции . Согласно предыдущему примеру, наличие ненулевого якобиана — это то же самое, что быть этальным.

Позволять $f:X\to Y$ — доминантный морфизм конечного типа с X , Y локально нётеровым, неприводимым и Y нормальным. Если f неразветвлено , то оно этальное.

Для поля K любая K -алгебра A обязательно плоская. Следовательно, A является этальной алгеброй тогда и только тогда, когда она неразветвлена, что также эквивалентно тому, что

$A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},$

где ${\bar {K}}$ — сепарабельное замыкание поля K , а правая часть — конечная прямая сумма, все слагаемые которой равны ${\bar {K}}$. Эта характеристика этальных K -алгебр является ступенькой в ​​переосмыслении классической теории Галуа (см. Теорию Галуа Гротендика ).

Характеристики

• Этальные морфизмы сохраняются при изменении состава и базы.
• Этальные морфизмы локальны в источнике и базе. Другими словами, $f:X\to Y$ эталь тогда и только тогда, когда для каждого покрытия $X$ открытыми подсхемами ограничение $f$ каждой из открытых подсхем накрытия этальна, а также тогда и только тогда, когда для каждого накрытия $Y$ открытыми подсхемами индуцированные морфизмы $f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U$ распространяется на каждую подсхему $U$ покрытия. В частности, можно проверить свойство étale на открытых аффинах. $V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)$.
• Произведение конечного семейства этальных морфизмов является этальным.
• Учитывая конечное семейство морфизмов $\{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}$, непересекающийся союз $\coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y$ этальна тогда и только тогда, когда каждое $f_{\alpha }$ раскинулся.
• Позволять $f:X\to Y$ и $g:Y\to Z$и предположим, что $g$ является неразветвленным и $gf$ раскинулся. Затем $f$ раскинулся. В частности, если $X$ и $X'$ разбросаны по $Y$, тогда любой $Y$-морфизм между $X$ и $X'$ раскинулся.
• Квазикомпактные морфизмы расширения квазиконечны .
• Морфизм $f:X\to Y$ является открытым погружением тогда и только тогда, когда оно этальное и радикальное .
• Если $f:X\to Y$ этальный и сюръективный, то $\dim X=\dim Y$ (конечный или нет).

Теорема об обратной функции

Показать морфизмы

е : Икс → Y

являются алгебраическим аналогом локальных диффеоморфизмов . Точнее, морфизм между гладкими многообразиями является этальным в точке тогда и только тогда, когда дифференциал между соответствующими касательными пространствами является изоморфизмом. Это, в свою очередь, в точности условие, необходимое для того, чтобы отображение между многообразиями было локальным диффеоморфизмом, т. е. для любой точки y ∈ Y существует открытая окрестность U точки x такая, что ограничение f на U является диффеоморфизмом. Этот вывод не справедлив в алгебраической геометрии, поскольку топология слишком груба. Например, рассмотрим f параболы проекцию

у = х ²

к Y. оси Этот морфизм этален в каждой точке, кроме начала координат (0, 0), поскольку дифференциал задается выражением 2 x , который не обращается в нуль в этих точках.

Однако не существует ( Зариского )локального обратного к f просто потому, что квадратный корень не является алгебраическим отображением и не задается полиномами. Однако есть выход из этой ситуации — использование этальной топологии. Точное утверждение таково: если $f:X\to Y$ является этальным и конечным, то для любой точки y, лежащей в Y , существует этальный морфизм V → Y , содержащий y в своем образе ( V можно рассматривать как этальную открытую окрестность точки y ), такой что, когда мы меняем базу f на В , тогда $X\times _{Y}V\to V$ (первый член был бы прообразом V по f, если бы V была открытой окрестностью Зариского) является конечным дизъюнктным объединением открытых подмножеств, изоморфных V . Другими словами, этально-локально в Y морфизм f является топологическим конечным накрытием.

Для гладкого морфизма $f:X\to Y$ относительной размерности n , этально-локально в X и в Y , f — открытое погружение в аффинное пространство $\mathbb {A} _{Y}^{n}$. Это этальный аналог структурной теоремы о субмерсиях .

См. также

• Чистота (алгебраическая геометрия)

Библиография

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Гротендик, Александр ; Жан Дьедонне (1964), «Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): IV. Локальное исследование диаграмм и морфизмов диаграмм, Первая часть» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5–259, doi : 10.1007/bf02684747 , S2CID   118147570
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964), «Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): IV. Локальное исследование диаграмм и морфизмов диаграмм, Первая часть» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5–259, doi : 10.1007/bf02684747 , S2CID   118147570
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1967), «Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): IV. Локальное исследование диаграмм и морфизмов диаграмм, Четвертая часть» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–333, doi : 10.1007/BF02732123 , S2CID   189794756
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1960-61 - Плоские накрытия и фундаментальная группа - (SGA 1) (Математические документы 3 ) , Париж: Société Mathématique de France, xviii+327, arXiv : математика .AG/0206203 , ISBN  978-2-85629-141-2
• Дж. С. Милн (1980), Государственные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  0-691-08238-3
• Дж. С. Милн (2008). Лекции по этальным когомологиям