Чистота (алгебраическая геометрия)

В математической области алгебраической геометрии чистота — это тема, охватывающая ряд результатов и гипотез, которые в совокупности решают вопрос доказательства того, что «когда что-то происходит, это происходит в определенном коразмерности ».

Чистота локуса ветвления

Например, ветвление — это явление коразмерности 1 (в геометрии комплексных многообразий , отражающее, как и в случае с римановыми поверхностями , которые разветвляются в отдельных точках, то, что это происходит в реальной коразмерности два). Классический результат: чистота Зариски-Нагаты Масаеши Нагаты и Оскара Зариски . называемый также чистотой локуса ветвления , доказывает, что на неособом алгебраическом многообразии локус ветвления , а именно набор точек, в которых разветвляется морфизм, должен состоять исключительно из подмногообразий коразмерности 1 ( дивизор Вейля ). Этот результат неоднократно расширялся в теоремы коммутативной алгебры и теории схем , устанавливая чистоту локуса ветвления в смысле описания ограничений на возможные «открытые подмножества отказа» как этальный морфизм .

Когомологическая чистота

Существует также связанное с этим гомологическое понятие чистоты, а именно набор результатов, утверждающих, что группы когомологий из конкретной теории тривиальны, за возможным исключением одного индекса i . Такие результаты были установлены в этальных когомологиях Майклом Артином (включены в SGA 4 ) и легли в основу теории, содержащей ожидаемые аналоги результатов из сингулярных когомологий . Общее утверждение Александра Гротендика, известное как гипотеза абсолютной когомологической чистоты, было доказано Офером Габбером. Речь идет о замкнутом погружении схем (регулярных, нётеровых), имеющих чисто коразмерность d , и относительных локальных когомологиях в этальной теории. С коэффициентами mod n, где n обратимо, когомологии должны возникать только с индексом 2 d (и принимать предсказанное значение).