Неразветвленный морфизм
В алгебраической геометрии неразветвленный морфизм — это морфизм схем такие, что (а) она локально конечного представления и (б) для каждого и , у нас это есть
- Поле остатка является сепарабельным алгебраическим расширением .
- где и являются максимальными идеалами локальных колец.
Плоский неразветвленный морфизм называется этальным морфизмом . Менее сильно, если удовлетворяет условиям при ограничении достаточно малыми окрестностями и , затем считается неразветвленным вблизи .
Некоторые авторы предпочитают использовать более слабые условия, и в этом случае они называют морфизм, удовлетворяющий приведенному выше, G-неразветвленным морфизмом .
Простой пример [ править ]
Позволять — кольцо, а B — кольцо, полученное присоединением целого элемента к A ; то есть, для некоторого монического полинома F . Затем неразветвлен тогда и только тогда, когда многочлен F отделим (т. е. он и его производная порождают единичный идеал ).
Случай кривой [ править ]
Позволять — конечный морфизм между гладкими связными кривыми над алгебраически замкнутым полем, P — замкнутая точка X и . Тогда мы имеем локальный гомоморфизм колец где и являются локальными кольцами в Q и P для Y и X . С — кольцо дискретного нормирования , существует единственное целое число такой, что . Целое число называется ветвления индексом над . [1] С поскольку основное поле алгебраически замкнуто, неразветвлен на (на самом деле, étale ) тогда и только тогда, когда . В противном случае, называется разветвленной в точке P , а Q называется точкой ветвления .
Характеристика [ править ]
Учитывая морфизм то есть локально конечного представления, следующие утверждения эквивалентны: [2]
- f неразветвлен.
- Диагональная карта это открытое погружение.
- Относительный котангенс пучок равен нулю.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Хартсхорн 1977 , гл. IV, § 2.
- ^ Гротендик и Дьедонне, 1967 , следствие 17.4.2.
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 . дои : 10.1007/bf02732123 . МР 0238860 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157