Неразветвленный морфизм

В алгебраической геометрии неразветвленный морфизм — это морфизм $f:X\to Y$ схем такие, что (а) она локально конечного представления и (б) для каждого $x\in X$ и $y=f(x)$ , у нас это есть

Поле остатка $k(x)$ является сепарабельным алгебраическим расширением $k(y)$ .
$f^{\#}({\mathfrak {m}}_{y}){\mathcal {O}}_{x,X}={\mathfrak {m}}_{x},$ где $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{y,Y}\to {\mathcal {O}}_{x,X}$ и ${\mathfrak {m}}_{y},{\mathfrak {m}}_{x}$ являются максимальными идеалами локальных колец.

Плоский неразветвленный морфизм называется этальным морфизмом . Менее сильно, если $f$ удовлетворяет условиям при ограничении достаточно малыми окрестностями $x$ и $y$ , затем $f$ считается неразветвленным вблизи $x$ .

Некоторые авторы предпочитают использовать более слабые условия, и в этом случае они называют морфизм, удовлетворяющий приведенному выше, G-неразветвленным морфизмом .

Простой пример [ править ]

Позволять $A$ — кольцо, а B — кольцо, полученное присоединением целого элемента к A ; то есть, $B=A[t]/(F)$ для некоторого монического полинома F . Затем $\operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)$ неразветвлен тогда и только тогда, когда многочлен F отделим (т. е. он и его производная порождают единичный идеал $A[t]$ ).

Случай кривой [ править ]

Позволять $f:X\to Y$ — конечный морфизм между гладкими связными кривыми над алгебраически замкнутым полем, P — замкнутая точка X и $Q=f(P)$ . Тогда мы имеем локальный гомоморфизм колец $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{Q}\to {\mathcal {O}}_{P}$ где $({\mathcal {O}}_{Q},{\mathfrak {m}}_{Q})$ и $({\mathcal {O}}_{P},{\mathfrak {m}}_{P})$ являются локальными кольцами в Q и P для Y и X . С ${\mathcal {O}}_{P}$ — кольцо дискретного нормирования , существует единственное целое число $e_{P}>0$ такой, что $f^{\#}({\mathfrak {m}}_{Q}){\mathcal {O}}_{P}={{\mathfrak {m}}_{P}}^{e_{P}}$ . Целое число $e_{P}$ называется ветвления индексом $P$ над $Q$ . ^[1] С $k(P)=k(Q)$ поскольку основное поле алгебраически замкнуто, $f$ неразветвлен на $P$ (на самом деле, étale ) тогда и только тогда, когда $e_{P}=1$ . В противном случае, $f$ называется разветвленной в точке P , а Q называется точкой ветвления .