Квазикомпактный морфизм

В алгебраической морфизм геометрии $f:X\to Y$ между схемами называется квазикомпактным, если Y может быть покрыта открытыми аффинными подсхемами. $V_{i}$ такие, что прообразы $f^{-1}(V_{i})$ компактны ​ . Если f квазикомпактна, то прообраз компактной открытой подсхемы (например, открытой аффинной подсхемы) относительно f компактен.

Недостаточно того, что Y допускает покрытие компактными открытыми подсхемами, прообразы которых компактны. Чтобы привести пример, пусть A — кольцо , не удовлетворяющее условиям восходящей цепи радикальных идеалов , и положим $X=\operatorname {Spec} A$. Тогда X содержит открытое подмножество U , которое не является компактным. Пусть Y — схема, склейкой двух X вдоль U. полученная X , Y оба компактны. Если $f:X\to Y$ является включением одной из копий X , то прообраз другого X , открытый аффинно в Y , является U — некомпактным. Следовательно, f не является квазикомпактным.

Морфизм квазикомпактной схемы в аффинную схему квазикомпактен.

Позволять $f:X\to Y$ — квазикомпактный морфизм между схемами. Затем $f(X)$ закрыто тогда и только тогда, когда оно устойчиво по специализации.

Композиция квазикомпактных морфизмов квазикомпактна. Замена базы квазикомпактного морфизма квазикомпактна.

Аффинная схема квазикомпактна. Фактически схема квазикомпактна тогда и только тогда, когда она представляет собой конечное объединение открытых аффинных подсхем. Критерий Серра дает необходимое и достаточное условие аффинности квазикомпактной схемы.

Квазикомпактная схема имеет хотя бы одну замкнутую точку.

См. также

• fpqc морфизм

Ссылки

• Робин Хартсхорн , Алгебраическая геометрия .
• Анджело Вистоли , «Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска». arXiv : математика/0412512

Внешние ссылки

• В каком случае неприводимая схема является квазикомпактной?