Jump to content

Сепарабельная алгебра

В математике сепарабельная алгебра — это разновидность полупростой алгебры . Это обобщение на ассоциативные алгебры понятия сепарабельного расширения поля .

Определение и первые свойства [ править ]

Кольцевой гомоморфизм (колец с единицей, но не обязательно коммутативных )

называется сепарабельным, если отображение умножения

допускает раздел

это гомоморфизм A - A - бимодулей .

Если кольцо является коммутативным и карты в центр , мы звоним сепарабельная алгебра над .

Полезно описать разделимость в терминах элемента

Причина в том, что сечение σ определяется этим элементом. Условие того, что σ является сечением µ, эквивалентно тому, что

и условие того, что σ является гомоморфизмом A A -бимодулей, эквивалентно следующему требованию для любого a из A :

Такой элемент p называется идемпотентом сепарабельности , поскольку рассматривается как элемент алгебры это удовлетворяет .

Примеры [ править ]

Для любого коммутативного кольца R (некоммутативное) n -n кольцо матриц является сепарабельной R -алгеброй. Для любого , идемпотент отделимости определяется выражением , где обозначает элементарную матрицу , которая равна 0, за исключением записи в позиции ( i , j ) , которая равна 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными.

Сепарабельные алгебры над полем [ править ]

Расширение поля L / K конечной степени является сепарабельным расширением тогда и только тогда, когда L сепарабельна как ассоциативная K -алгебра. Если L / K имеет примитивный элемент с неприводимым полиномом , то идемпотент отделимости определяется выражением . Тензоранды являются двойными базисами карты следов: если являются различными K -мономорфизмами L в алгебраическое замыкание K , отображение следов Tr L в K определяется формулой . Отображение следов и его двойственные базисы явно определяют L как алгебру Фробениуса над K.

В более общем смысле, сепарабельные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом: они аналогичны конечным произведениям матричных алгебр над конечномерными телами, центры являются конечномерными сепарабельными расширениями поля поля K. которых В частности: каждая сепарабельная алгебра сама по себе конечномерна. Если K совершенное поле (например, поле нулевой характеристики, или конечное поле, или алгебраически замкнутое поле), то каждое расширение K является сепарабельным, так что сепарабельные K -алгебры являются конечными произведениями матричных алгебр над конечномерным делением. алгебры над полем K . Другими словами, если K — совершенное поле, нет разницы между сепарабельной алгеброй над K и конечномерной полупростой алгеброй над K .С помощью обобщенной теоремы Машке можно показать, что ассоциативная K -алгебра A сепарабельна, если для любого расширения поля алгебра является полупростым.

Групповые кольца [ править ]

Если K — коммутативное кольцо и G — конечная группа такая, что порядок G обратим в K , то групповое кольцо K [ G ] является сепарабельной K -алгеброй. [1] Идемпотент отделимости определяется выражением .

разделимости характеристики Эквивалентные

Существует несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. K , -алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она проективна если ее рассматривать как левый модуль обычным способом. [2] Более того, алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она плоская , если ее рассматривать как правый модуль обычным способом.

Сепарабельные алгебры также можно охарактеризовать с помощью расщепляемых расширений: А сепарабельна над К тогда и только тогда, когда все короткие точные последовательности А А - бимодулей, расщепляемые как А К -бимодули, также расщепляются как А А -бимодули. Действительно, это условие необходимо, поскольку отображение умножения возникающий в приведенном выше определении, представляет собой эпиморфизм A - A -бимодуля, который расщепляется как отображение A - K -бимодуля правым обратным отображением данный . Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству теоремы Машке , применяя его компоненты внутри и без отображений расщепления). [3]

Эквивалентно, относительные когомологий Хохшильда группы ( R n , S ) в любом коэффициентном бимодуле M равна нулю при > 0 . Примеров сепарабельных расширений много, включая первые сепарабельные алгебры, где R - сепарабельная алгебра и S = ​​1 раз больше основного поля. Любое кольцо R с элементами a и b, удовлетворяющими ab = 1 , но ba отличным от 1, является сепарабельным расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa .

с Фробениуса Связь алгебрами

Сепарабельная алгебра называется сильно отделимой, если существует симметричный идемпотент сепарабельности , то есть

Алгебра сильно отделима тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает алгебру в особый вид алгебры Фробениуса, называемый симметричной алгеброй (не путать с симметричной алгеброй, возникающей как фактор тензорной алгебры ).

Если K коммутативен, A конечно порожденный проективный сепарабельный K -модуль, то A — симметричная алгебра Фробениуса. [4]

Отношение к формально неразветвленным и формально этальным расширениям

Любое сепарабельное расширение A / K коммутативных колец формально неразветвлено . Обратное верно, если A — конечно порожденная K -алгебра. [5] Сепарабельная плоская (коммутативная) K -алгебра A формально этальна . [6]

результаты Дальнейшие

В этой области существует теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа–Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S -модуль R . Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S заключается в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R -модулей, расщепляемая как S -модули, распадается как R -модули. В терминах относительной гомологической алгебры Г. Хохшильда говорят, что все R -модули являются относительными ( R , S ) -проективными. Обычно относительные свойства подколец или расширений колец, такие как понятие сепарабельного расширения, служат доказательством теорем, утверждающих, что надкольцо разделяет свойства подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.

Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда ее силовская p -подгруппа циклическая: самое ясное доказательство — отметить этот факт для p -групп, а затем отметить что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p- подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Из приведенного выше условия отделимости следует, что каждый конечно порожденный A -модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль является однозначно прямой суммой кратных конечного числа неразложимых модулей, что приводит к конечному числу составляющих неразложимых модулей, M. прямой суммой которых является Следовательно, A имеет конечный тип представления, если B. таковым является Обратное доказывается аналогичным рассуждением, отмечающим, что каждая подгрупповая алгебра B является прямым B -бимодулем групповой алгебры A .

Цитаты [ править ]

  1. ^ Форд 2017 , §4.2
  2. ^ Райнер 2003 , с. 102
  3. ^ Форд 2017 , Теорема 4.4.1.
  4. ^ Эндо и Ватанабе 1967 , Теорема 4.2. Если A коммутативен, доказательство проще, см. Kadison 1999 , лемма 5.11.
  5. ^ Форд 2017 , Следствие 4.7.2, Теорема 8.3.6.
  6. ^ Форд 2017 , Следствие 4.7.3.

Ссылки [ править ]

  • ДеМейер, Ф.; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. Том. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-05371-2 . Збл   0215.36602 .
  • Сэмюэл Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовые кольца , Нагоя Матем. Дж. Том 9 (1955), 1–16.
  • Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), «О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом» , Осакский журнал математики , 4 : 233–242, MR   0227211
  • Форд, Тимоти Дж. (2017), Сепарабельные алгебры , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-1-4704-3770-1 , МР   3618889
  • Хирата, Х.; Сугано, К. (1966), «О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец», J. Math. Соц. Япония. , 18 : 360–373
  • Кадисон, Ларс (1999), Новые примеры расширений Фробениуса , Серия университетских лекций, том. 14, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/ulect/014 , ISBN.  0-8218-1962-3 , МР   1690111
  • Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , ISBN  0-19-852673-3 , Збл   1024.16008
  • Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2dc6b4149e208e5803231c7cb4fc7958__1714103460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2d/58/2dc6b4149e208e5803231c7cb4fc7958.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Separable algebra - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)