Сепарабельная алгебра

В математике сепарабельная алгебра — это разновидность полупростой алгебры . Это обобщение на ассоциативные алгебры понятия сепарабельного расширения поля .

Определение и первые свойства [ править ]

Кольцевой гомоморфизм (колец с единицей, но не обязательно коммутативных )

K\to A

называется сепарабельным , если отображение умножения

{\begin{array}{rccc}\mu :&A\otimes _{K}A&\to &A\\&a\otimes b&\mapsto &ab\end{array}}

допускает раздел

\sigma :A\to A\otimes _{K}A

это гомоморфизм A - A - бимодулей .

Если кольцо $K$ является коммутативным и $K\to A$ карты $K$ в центр $A$ , мы называем $A$ сепарабельная алгебра над $K$ .

Полезно описать разделимость в терминах элемента

p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}\in A\otimes _{K}A

Причина в том, что сечение σ определяется этим элементом. Условие того, что σ является сечением µ , эквивалентно тому, что

\sum a_{i}b_{i}=1

и условие того, что σ является гомоморфизмом A — A- бимодулей, эквивалентно следующему требованию для любого a из A :

\sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.

Такой элемент p называется идемпотентом сепарабельности , поскольку рассматривается как элемент алгебры $A\otimes A^{\rm {op}}$ это удовлетворяет $p^{2}=p$ .

Примеры [ править ]

Для любого коммутативного кольца ( некоммутативное) кольцо n -n матриц R $M_{n}(R)$ является сепарабельной R -алгеброй. Для любого $1\leq j\leq n$ , идемпотент отделимости определяется выражением ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$ , где $e_{ij}$ обозначает элементарную матрицу , которая равна 0, за исключением записи в позиции ( i , j ) , которая равна 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными.

Сепарабельные алгебры над полем [ править ]

Расширение поля L / K конечной степени является сепарабельным расширением тогда и только тогда, когда L сепарабельна как ассоциативная K -алгебра. Если L / K имеет примитивный элемент $a$ с неприводимым полиномом ${\textstyle p(x)=(x-a)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$ , то идемпотент отделимости определяется выражением ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$ . Тензоранды являются двойными базисами карты следов: если ${\textstyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ являются различными K -мономорфизмами L в алгебраическое замыкание K , отображение следов Tr L в K определяется формулой ${\textstyle Tr(x)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(x)}$ . Отображение следов и его двойственные базисы явно определяют L как алгебру Фробениуса над K.

В более общем смысле, сепарабельные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом: они аналогичны конечным произведениям матричных алгебр над конечномерными телами, которых являются конечномерными сепарабельными расширениями поля поля K. центры В частности: каждая сепарабельная алгебра сама по себе конечномерна. Если K — совершенное поле (например, поле нулевой характеристики, или конечное поле, или алгебраически замкнутое поле), то каждое расширение K является сепарабельным, так что сепарабельные K -алгебры являются конечными произведениями матричных алгебр над конечномерным делением. алгебры над полем K . Другими словами, если K — совершенное поле, нет разницы между сепарабельной алгеброй над K и конечномерной полупростой алгеброй над K . С помощью обобщенной теоремы Машке можно показать, что ассоциативная K -алгебра A сепарабельна, если для любого расширения поля ${\textstyle L/K}$ алгебра ${\textstyle A\otimes _{K}L}$ является полупростым.

Групповые кольца [ править ]

Если K — коммутативное кольцо и G — конечная группа такая, что обратим в порядок G K , то групповое кольцо K [ G ] является сепарабельной K -алгеброй. ^[1] Идемпотент отделимости определяется выражением ${\textstyle {\frac {1}{o(G)}}\sum _{g\in G}g\otimes g^{-1}}$ .

разделимости характеристики Эквивалентные

Существует несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. K -алгебра если A сепарабельна тогда и только тогда, когда она проективна, ее рассматривать как левый модуль $A^{e}$ обычным способом. ^[2] Более того, алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она плоская, если ее рассматривать как правый модуль $A^{e}$ обычным способом.

Сепарабельные алгебры также можно охарактеризовать с помощью расщепляемых расширений: А сепарабельна над К тогда и только тогда, когда все короткие точные последовательности А - — А бимодулей, расщепляемые как А — К -бимодули, также расщепляются как А — А -бимодули. Действительно, это условие необходимо, поскольку отображение умножения ${\textstyle \mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A}$ возникающий в приведенном выше определении, представляет собой эпиморфизм A - A -бимодуля, который расщепляется как отображение A - K -бимодуля правым обратным отображением ${\textstyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$ данный $a\mapsto a\otimes 1$ . Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству теоремы Машке , применяя его компоненты внутри и без отображений расщепления). ^[3]

Эквивалентно, относительные когомологий Хохшильда группы $H^{n}(R,S;M)$ ( R , > S ) в любом коэффициентном бимодуле M равна нулю при n 0 . Примеров сепарабельных расширений много, включая первые сепарабельные алгебры, где R - сепарабельная алгебра и S = 1 раз больше основного поля. Любое кольцо R с элементами a и b , удовлетворяющими условию ab = 1 , но ba , отличному от 1, является сепарабельным расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa .

Связь Фробениуса с алгебрами

Сепарабельная алгебра называется сильно отделимой, если существует симметричный идемпотент сепарабельности , то есть

e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}

Алгебра является сильно отделимой тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает алгебру в особый вид алгебры Фробениуса, называемый симметричной алгеброй (не путать с симметричной алгеброй , возникающей как фактор тензорной алгебры ).

Если K коммутативен, A — конечно порожденный проективный сепарабельный K -модуль, то A — симметричная алгебра Фробениуса. ^[4]

к формально неразветвленным и формально расширениям Отношение этальным

Любое сепарабельное расширение A / K коммутативных колец формально неразветвлено . Обратное верно, если A — конечно порожденная K -алгебра. ^[5] Сепарабельная плоская (коммутативная) K -алгебра A формально этальна . ^[6]

результаты Дальнейшие

В этой области существует теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа–Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S -модуль R . Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S состоит в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R -модулей, расщепляемая как S -модули, распадается как R -модули. В терминах относительной гомологической алгебры Г. Хохшильда говорят, что все R -модули являются относительными ( R , S ) -проективными. Обычно относительные свойства подколец или расширений колец, такие как понятие сепарабельного расширения, служат доказательством теорем, утверждающих, что надкольцо разделяет свойства подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.

Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда ее силовская p -подгруппа циклична: самое ясное доказательство — отметить этот факт для p -групп, а затем отметить что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p -подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Приведенное выше условие отделимости будет означать, что каждый конечно порожденный A -модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль однозначно является прямой суммой кратных конечного числа неразложимых модулей, что приводит к конечному числу составляющих неразложимых модулей, M. прямой суммой которых является Следовательно, A имеет конечный тип представления, если B. таковым является Обратное доказывается аналогичным рассуждением, отмечающим, что каждая подгрупповая алгебра B является прямым B -бимодулем групповой алгебры A .

Цитаты [ править ]

^ Форд 2017 , §4.2
^ Райнер 2003 , с. 102
^ Форд 2017 , Теорема 4.4.1.
^ Эндо и Ватанабе 1967 , Теорема 4.2. Если A коммутативен, доказательство проще, см. Kadison 1999 , лемма 5.11.
^ Форд 2017 , Следствие 4.7.2, Теорема 8.3.6.
^ Форд 2017 , Следствие 4.7.3.

Ссылки [ править ]

ДеМейер, Ф.; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. Том. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2 . Збл 0215.36602 .
Сэмюэл Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовые кольца , Нагоя Матем. Дж. Том 9 (1955), 1–16.
Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), «О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом» , Осакский журнал математики , 4 : 233–242, MR 0227211
Форд, Тимоти Дж. (2017), Сепарабельные алгебры , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-3770-1 , МР 3618889
Хирата, Х.; Сугано, К. (1966), «О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец», J. Math. Соц. Япония. , 18 : 360–373
Кадисон, Ларс (1999), Новые примеры расширений Фробениуса , Серия университетских лекций, том. 14, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/ulect/014 , ISBN. 0-8218-1962-3 , МР 1690111
Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , ISBN 0-19-852673-3 , Збл 1024.16008
Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .

[FOOTNOTEFord2017§4.2-1] Форд 2017 , §4.2

[FOOTNOTEReiner2003102-2] Райнер 2003 , с. 102

[FOOTNOTEFord2017Theorem_4.4.1-3] Форд 2017 , Теорема 4.4.1.

[FOOTNOTEEndoWatanabe1967Theorem_4.2-4] Эндо и Ватанабе 1967 , Теорема 4.2. Если A коммутативен, доказательство проще, см. Kadison 1999 , лемма 5.11.

[FOOTNOTEFord2017Corollary_4.7.2,_Theorem_8.3.6-5] Форд 2017 , Следствие 4.7.2, Теорема 8.3.6.

[FOOTNOTEFord2017Corollary_4.7.3-6] Форд 2017 , Следствие 4.7.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]