Сепарабельная алгебра
В математике сепарабельная алгебра — это разновидность полупростой алгебры . Это обобщение на ассоциативные алгебры понятия сепарабельного расширения поля .
Определение и первые свойства [ править ]
Кольцевой гомоморфизм (колец с единицей, но не обязательно коммутативных )
называется сепарабельным, если отображение умножения
допускает раздел
это гомоморфизм A - A - бимодулей .
Если кольцо является коммутативным и карты в центр , мы звоним сепарабельная алгебра над .
Полезно описать разделимость в терминах элемента
Причина в том, что сечение σ определяется этим элементом. Условие того, что σ является сечением µ, эквивалентно тому, что
и условие того, что σ является гомоморфизмом A — A -бимодулей, эквивалентно следующему требованию для любого a из A :
Такой элемент p называется идемпотентом сепарабельности , поскольку рассматривается как элемент алгебры это удовлетворяет .
Примеры [ править ]
Для любого коммутативного кольца R (некоммутативное) n -n кольцо матриц является сепарабельной R -алгеброй. Для любого , идемпотент отделимости определяется выражением , где обозначает элементарную матрицу , которая равна 0, за исключением записи в позиции ( i , j ) , которая равна 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными.
Сепарабельные алгебры над полем [ править ]
Расширение поля L / K конечной степени является сепарабельным расширением тогда и только тогда, когда L сепарабельна как ассоциативная K -алгебра. Если L / K имеет примитивный элемент с неприводимым полиномом , то идемпотент отделимости определяется выражением . Тензоранды являются двойными базисами карты следов: если являются различными K -мономорфизмами L в алгебраическое замыкание K , отображение следов Tr L в K определяется формулой . Отображение следов и его двойственные базисы явно определяют L как алгебру Фробениуса над K.
В более общем смысле, сепарабельные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом: они аналогичны конечным произведениям матричных алгебр над конечномерными телами, центры являются конечномерными сепарабельными расширениями поля поля K. которых В частности: каждая сепарабельная алгебра сама по себе конечномерна. Если K — совершенное поле (например, поле нулевой характеристики, или конечное поле, или алгебраически замкнутое поле), то каждое расширение K является сепарабельным, так что сепарабельные K -алгебры являются конечными произведениями матричных алгебр над конечномерным делением. алгебры над полем K . Другими словами, если K — совершенное поле, нет разницы между сепарабельной алгеброй над K и конечномерной полупростой алгеброй над K .С помощью обобщенной теоремы Машке можно показать, что ассоциативная K -алгебра A сепарабельна, если для любого расширения поля алгебра является полупростым.
Групповые кольца [ править ]
Если K — коммутативное кольцо и G — конечная группа такая, что порядок G обратим в K , то групповое кольцо K [ G ] является сепарабельной K -алгеброй. [1] Идемпотент отделимости определяется выражением .
разделимости характеристики Эквивалентные
Существует несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. K , -алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она проективна если ее рассматривать как левый модуль обычным способом. [2] Более того, алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она плоская , если ее рассматривать как правый модуль обычным способом.
Сепарабельные алгебры также можно охарактеризовать с помощью расщепляемых расширений: А сепарабельна над К тогда и только тогда, когда все короткие точные последовательности А — А - бимодулей, расщепляемые как А — К -бимодули, также расщепляются как А — А -бимодули. Действительно, это условие необходимо, поскольку отображение умножения возникающий в приведенном выше определении, представляет собой эпиморфизм A - A -бимодуля, который расщепляется как отображение A - K -бимодуля правым обратным отображением данный . Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству теоремы Машке , применяя его компоненты внутри и без отображений расщепления). [3]
Эквивалентно, относительные когомологий Хохшильда группы ( R n , S ) в любом коэффициентном бимодуле M равна нулю при > 0 . Примеров сепарабельных расширений много, включая первые сепарабельные алгебры, где R - сепарабельная алгебра и S = 1 раз больше основного поля. Любое кольцо R с элементами a и b, удовлетворяющими ab = 1 , но ba отличным от 1, является сепарабельным расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa .
с Фробениуса Связь алгебрами
Сепарабельная алгебра называется сильно отделимой, если существует симметричный идемпотент сепарабельности , то есть
Алгебра сильно отделима тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает алгебру в особый вид алгебры Фробениуса, называемый симметричной алгеброй (не путать с симметричной алгеброй, возникающей как фактор тензорной алгебры ).
Если K коммутативен, A — конечно порожденный проективный сепарабельный K -модуль, то A — симметричная алгебра Фробениуса. [4]
Отношение к формально неразветвленным и формально этальным расширениям
Любое сепарабельное расширение A / K коммутативных колец формально неразветвлено . Обратное верно, если A — конечно порожденная K -алгебра. [5] Сепарабельная плоская (коммутативная) K -алгебра A формально этальна . [6]
результаты Дальнейшие
В этой области существует теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа–Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S -модуль R . Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S заключается в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R -модулей, расщепляемая как S -модули, распадается как R -модули. В терминах относительной гомологической алгебры Г. Хохшильда говорят, что все R -модули являются относительными ( R , S ) -проективными. Обычно относительные свойства подколец или расширений колец, такие как понятие сепарабельного расширения, служат доказательством теорем, утверждающих, что надкольцо разделяет свойства подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.
Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда ее силовская p -подгруппа циклическая: самое ясное доказательство — отметить этот факт для p -групп, а затем отметить что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p- подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Из приведенного выше условия отделимости следует, что каждый конечно порожденный A -модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль является однозначно прямой суммой кратных конечного числа неразложимых модулей, что приводит к конечному числу составляющих неразложимых модулей, M. прямой суммой которых является Следовательно, A имеет конечный тип представления, если B. таковым является Обратное доказывается аналогичным рассуждением, отмечающим, что каждая подгрупповая алгебра B является прямым B -бимодулем групповой алгебры A .
Цитаты [ править ]
- ^ Форд 2017 , §4.2
- ^ Райнер 2003 , с. 102
- ^ Форд 2017 , Теорема 4.4.1.
- ^ Эндо и Ватанабе 1967 , Теорема 4.2. Если A коммутативен, доказательство проще, см. Kadison 1999 , лемма 5.11.
- ^ Форд 2017 , Следствие 4.7.2, Теорема 8.3.6.
- ^ Форд 2017 , Следствие 4.7.3.
Ссылки [ править ]
- ДеМейер, Ф.; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. Том. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2 . Збл 0215.36602 .
- Сэмюэл Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовые кольца , Нагоя Матем. Дж. Том 9 (1955), 1–16.
- Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), «О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом» , Осакский журнал математики , 4 : 233–242, MR 0227211
- Форд, Тимоти Дж. (2017), Сепарабельные алгебры , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-3770-1 , МР 3618889
- Хирата, Х.; Сугано, К. (1966), «О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец», J. Math. Соц. Япония. , 18 : 360–373
- Кадисон, Ларс (1999), Новые примеры расширений Фробениуса , Серия университетских лекций, том. 14, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/ulect/014 , ISBN. 0-8218-1962-3 , МР 1690111
- Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , ISBN 0-19-852673-3 , Збл 1024.16008
- Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .