гомологии Хохшильда

В математике — гомологии Хохшильда (и когомологии) теория гомологии ассоциативных это алгебр над кольцами . Существует также теория гомологии Хохшильда некоторых функторов . Когомологии Хохшильда были введены Герхардом Хохшильдом ( 1945 ) для алгебр над полем и распространены на алгебры над более общими кольцами Анри Картаном и Сэмюэлем Эйленбергом ( 1956 ).

Определение гомологий Хохшильда алгебр

Пусть k — поле, A ассоциативная — k - алгебра и M — A - бимодуль . Обертывающая алгебра A - это тензорное произведение $A^{e}=A\otimes A^{o}$ A алгеброй с его противоположной . Бимодули над A по сути то же самое, что и модули над обертывающей алгеброй A , поэтому, в частности, A и M можно рассматривать как A. ^и -модули. Картан и Эйленберг (1956) определили гомологию Хохшильда и группу когомологий A с коэффициентами из M в терминах функтора Tor и функтора Ext следующим образом:

$HH_{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)$

$HH^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)$

Комплекс Хохшильд

Пусть k — кольцо, A — k ассоциативная - алгебра , являющаяся проективным k- модулем, и M — A - бимодуль . Мы напишем $A^{\otimes n}$ для n -кратного тензорного A над k . произведения Цепной комплекс , приводящий к гомологии Хохшильда, имеет вид

$C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}$

с граничным оператором $d_{i}$ определяется

${\begin{aligned}d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}\\d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\\d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}\end{aligned}}$

где $a_{i}$ находится в А для всех $1\leq i\leq n$ и $m\in M$. Если мы позволим

$b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},$

затем $b_{n-1}\circ b_{n}=0$, так $(C_{n}(A,M),b_{n})$ является цепным комплексом, комплексом Хохшильда , и его гомологии являются гомологиями Хохшильда A называемым из M. с коэффициентами Впредь мы будем писать $b_{n}$ как просто $b$.

Примечание

Карты $d_{i}$ карты лиц, составляющие семейство модулей $(C_{n}(A,M),b)$ симплициальный объект в категории k -модулей, т. е . функтор ∆ ^тот → k -mod, где ∆ — категория симплекса , а k -mod — категория k -модулей. Здесь ∆ ^тот является противоположной категорией ∆. Карты вырождения определяются формулой

$s_{i}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}\otimes 1\otimes a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}.$

Гомологии Хохшильда — это гомологии этого симплициального модуля.

Связь с Барским комплексом

Есть похожий комплекс $B(A/k)$ называемый комплексом Бар , который формально очень похож на комплекс Хохшильда. ^{стр. 4–5} . Фактически комплекс Хохшильда $HH(A/k)$ можно получить из Барского комплекса как $$HH(A/k)\cong A\otimes _{A\otimes A^{op}}B(A/k)$$дающий явный изоморфизм.

Как производное самопересечение

Есть еще одна полезная интерпретация комплекса Хохшильда в случае коммутативных колец и, в более общем плане, для пучков коммутативных колец: он строится на основе производного самопересечения схемы . (или даже производной схемы) $X$ по некоторой базовой схеме $S$. Например, мы можем сформировать производное волокнистое изделие $$X\times _{S}^{\mathbf {L} }X$$который имеет пучок производных колец ${\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}$. Тогда, если встроить $X$ с диагональной картой $$\Delta :X\to X\times _{S}^{\mathbf {L} }X$$Комплекс Хохшильда строится как обратный результат самопересечения диагонали в схеме диагонального произведения. $$HH(X/S):=\Delta ^{*}({\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X})$$Из этой интерпретации должно быть ясно, что гомологии Хохшильда должны иметь некоторое отношение к дифференциалам Кэлера. $\Omega _{X/S}$ поскольку дифференциалы Кэлера могут быть определены с помощью самопересечения по диагонали или, в более общем смысле, котангенсного комплекса $\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }$ поскольку это производная замена дифференциалов Кэлера. Мы можем восстановить исходное определение комплекса Хохшильда коммутативной $k$-алгебра $A$ установив $$S={\text{Spec}}(k)$$ и $$X={\text{Spec}}(A)$$Тогда комплекс квазиизоморфен Хохшильда $$HH(A/k)\simeq _{qiso}A\otimes _{A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A}^{\mathbf {L} }A$$Если $A$ это квартира $k$-алгебра, то существует цепочка изоморфизма $$A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A\cong A\otimes _{k}A\cong A\otimes _{k}A^{op}$$давая альтернативное, но эквивалентное представление комплекса Хохшильда.

Гомологии функторов Хохшильда

Симплициальный круг $S^{1}$ является симплициальным объектом в категории $\operatorname {Fin} _{*}$ конечных точечных множеств, т. е. функтор $\Delta ^{o}\to \operatorname {Fin} _{*}.$ Таким образом, если F — функтор $F\colon \operatorname {Fin} \to k-\mathrm {mod}$, мы получим симплициальный модуль, составив F с $S^{1}$.

$\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}}.$

Гомологии этого симплициального модуля есть гомологии Хохшильда функтора F . Приведенное выше определение гомологий Хохшильда коммутативных алгебр является частным случаем, когда F — функтор Лоде .

Функтор Лоде

Скелет объектами категории конечных точечных множеств задается

$n_{+}=\{0,1,\ldots ,n\},$

где 0 — базовая точка, а морфизмы — это карты множества, сохраняющие базовую точку. Пусть A — коммутативная k-алгебра и M — симметричный A -бимодуль. . Функтор Лоде $L(A,M)$ дается на объектах в $\operatorname {Fin} _{*}$ к

$n_{+}\mapsto M\otimes A^{\otimes n}.$

Морфизм

$f:m_{+}\to n_{+}$

отправляется в морфизм $f_{*}$ данный

$f_{*}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{m})=b_{0}\otimes \cdots \otimes b_{n}$

где

$\forall j\in \{0,\ldots ,n\}:\qquad b_{j}={\begin{cases}\prod _{i\in f^{-1}(j)}a_{i}&f^{-1}(j)\neq \emptyset \\1&f^{-1}(j)=\emptyset \end{cases}}$

Другое описание гомологий Хохшильда алгебр.

Гомологии Хохшильда коммутативной алгебры A с коэффициентами в симметричном A -бимодуле M — это гомологии, ассоциированные с композицией

$\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}},$

и это определение согласуется с приведенным выше.

Примеры

Примеры вычислений гомологий Хохшильда можно разделить на ряд отдельных случаев с помощью довольно общих теорем, описывающих структуру групп гомологий и кольца гомологий. $HH_{*}(A)$ для ассоциативной алгебры $A$. В случае коммутативных алгебр существует ряд теорем, описывающих вычисления над характеристикой 0, что дает прямое понимание того, что вычисляют гомологии и когомологии.

Коммутативная характеристика 0 случай

В случае коммутативных алгебр $A/k$ где $\mathbb {Q} \subseteq k$гомологии Хохшильда имеют две основные теоремы, касающиеся гладких алгебр и более общих неплоских алгебр. $A$; но второе является прямым обобщением первого. В гладком случае, т. е. для гладкой алгебры $A$, теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга ^{стр. 43-44} утверждает, что существует изоморфизм $$\Omega _{A/k}^{n}\cong HH_{n}(A/k)$$ для каждого $n\geq 0$. Этот изоморфизм можно описать явно с помощью отображения антисимметризации. То есть дифференциал $n$-form имеет карту $$a\,db_{1}\wedge \cdots \wedge db_{n}\mapsto \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sign} (\sigma )a\otimes b_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes b_{\sigma (n)}.$$Если алгебра $A/k$ не является гладким или даже плоским, то существует аналогичная теорема с использованием котангенса . Для простого решения $P_{\bullet }\to A$, мы установили $\mathbb {L} _{A/k}^{i}=\Omega _{P_{\bullet }/k}^{i}\otimes _{P_{\bullet }}A$. Тогда существует нисходящая $\mathbb {N}$-фильтрация $F_{\bullet }$ на $HH_{n}(A/k)$ чьи градуированные фигуры изоморфны $${\frac {F_{i}}{F_{i+1}}}\cong \mathbb {L} _{A/k}^{i}[+i].$$Обратите внимание, что эта теорема делает доступным вычисление гомологий Хохшильда не только для гладких алгебр, но и для локальных алгебр полных пересечений. В данном случае, учитывая презентацию $A=R/I$ для $R=k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$, котангенс - это двучленный комплекс $I/I^{2}\to \Omega _{R/k}^{1}\otimes _{k}A$.

Полиномиальные кольца над рациональными числами

Одним из простых примеров является вычисление гомологий Хохшильда кольца многочленов $\mathbb {Q}$ с $n$-генераторы. Теорема HKR дает изоморфизм $$HH_{*}(\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}])=\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\otimes \Lambda (dx_{1},\dotsc ,dx_{n})$$ где алгебра $\bigwedge (dx_{1},\ldots ,dx_{n})$ — свободная антисимметричная алгебра над $\mathbb {Q}$ в $n$-генераторы. Его структура продукта задается клиновым произведением векторов, поэтому $${\begin{aligned}dx_{i}\cdot dx_{j}&=-dx_{j}\cdot dx_{i}\\dx_{i}\cdot dx_{i}&=0\end{aligned}}$$ для $i\neq j$.

Коммутативная характеристика p случай

В случае характеристики p существует полезный контрпример к теореме Хохшильда-Костанта-Розенберга, который разъясняет необходимость теории, выходящей за рамки симплициальных алгебр, для определения гомологий Хохшильда. Рассмотрим $\mathbb {Z}$-алгебра $\mathbb {F} _{p}$. Мы можем вычислить разрешение $\mathbb {F} _{p}$ как свободные дифференциальные градуированные алгебры $$\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p} \mathbb {Z}$$давая производное пересечение $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ где ${\text{deg}}(\varepsilon )=1$ а дифференциал — это нулевое отображение. Это потому, что мы просто тензорируем приведенный выше комплекс на $\mathbb {F} _{p}$, дающий формальный комплекс с образующим в степени $1$ какой квадрат к $0$. Тогда комплекс Хохшильда имеет вид $$\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}$$Чтобы это вычислить, нам нужно решить $\mathbb {F} _{p}$ как $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$-алгебра. Заметим, что структура алгебры

$\mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})\to \mathbb {F} _{p}$

силы $\varepsilon \mapsto 0$. Это дает член нулевой степени комплекса. Затем, поскольку нам нужно разрешить ядро $\varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$, мы можем сделать копию $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$ сдвинут в градус $2$ и сопоставить его с $\varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$, с ядром в степени $3$$\varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}={\text{Ker}}({\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}\to {\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}).$Мы можем выполнить это рекурсивно, чтобы получить базовый модуль алгебры разделенной степени. $$(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})\langle x\rangle ={\frac {(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})[x_{1},x_{2},\ldots ]}{x_{i}x_{j}={\binom {i+j}{i}}x_{i+j}}}$$с $dx_{i}=\varepsilon \cdot x_{i-1}$ и степень $x_{i}$ является $2i$, а именно $|x_{i}|=2i$. Тензорирование этой алгебры с помощью $\mathbb {F} _{p}$ над $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$ дает $$HH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle$$с $\varepsilon$ умножается на любой элемент $\mathbb {F} _{p}$ равен нулю. Структура алгебры заимствована из общей теории алгебр разделенной степени и дифференциально-градуированных алгебр. Обратите внимание, что это вычисление рассматривается как технический артефакт, поскольку кольцо $\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle$ ведет себя не очень хорошо. Например, $x^{p}=0$. Одним из технических ответов на эту проблему является топологическая гомология Хохшильда, где базовое кольцо $\mathbb {Z}$ заменяется сферическим спектром $\mathbb {S}$.

Топологическая гомология Хохшильда

Основная статья: Топологические гомологии Хохшильда

Приведенную выше конструкцию комплекса Хохшильда можно адаптировать к более общим ситуациям, а именно заменой категории (комплексов) $k$-модули по ∞-категории (наделенные тензорным произведением) ${\mathcal {C}}$, и $A$ ассоциативной алгеброй в этой категории. Применив это к категории ${\mathcal {C}}={\textbf {Spectra}}$ спектров ​ и $A$ представляет собой спектр Эйленберга – Маклейна, связанный с обычным кольцом. $R$ дает топологическую гомологию Хохшильда , обозначаемую $THH(R)$. Введенную выше (нетопологическую) гомологию Хохшильда можно переинтерпретировать в этом же духе, приняв за ${\mathcal {C}}=D(\mathbb {Z} )$ производная категория ​ $\mathbb {Z}$-модули (как ∞-категория).

Замена тензорных произведений по спектру сферы на тензорные произведения по $\mathbb {Z}$ (или спектр Эйленберга–Маклейна $H\mathbb {Z}$) приводит к естественной карте сравнения $THH(R)\to HH(R)$. Он индуцирует изоморфизм гомотопических групп степеней 0, 1 и 2. Однако в целом они различны, и $THH$ имеет тенденцию давать более простые группы, чем HH. Например,

$THH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[x],$

$HH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle$

- это кольцо полиномов (с x в степени 2) по сравнению с кольцом разделенных степеней одной переменной.

Ларс Хессельхольт ( 2016 ) показал, что дзета-функция Хассе – Вейля гладкого собственного многообразия над $\mathbb {F} _{p}$ может быть выражено с использованием регуляризованных определителей, включающих топологическую гомологию Хохшильда.

См. также

• Циклическая гомология

Ссылки

• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1956), Гомологическая алгебра , Принстонская математическая серия, том. 19, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-04991-5 , МР   0077480
• Говоров В.Е.; Михалев, А.В. (2001) [1994], «Когомологии алгебр» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля , Современная математика, том. 708, стр. 157–180, arXiv : 1602.01980 , doi : 10.1090/conm/708/14264 , ISBN  9781470429119 , S2CID   119145574
• Хохшильд, Герхард (1945), «О группах когомологий ассоциативной алгебры», Annals of Mathematics , Second Series, 46 (1): 58–67, doi : 10.2307/1969145 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969145 , MR   0011076
• Жан-Луи Лоде , Циклические гомологии , Основы математических наук, том 301, Springer (1998). ISBN   3-540-63074-0
• Ричард С. Пирс, Ассоциативные алгебры , Тексты для аспирантов по математике (88), Springer, 1982.
• Пирашвили, Теймураз (2000). «Разложение Ходжа для гомологий Хохшильда высшего порядка» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 33 (2): 151–179. дои : 10.1016/S0012-9593(00)00107-5 .

Внешние ссылки

Вводные статьи

• Дилан Г.Л. Аллегретти, Дифференциальные формы в некоммутативных пространствах . Элементарное введение в некоммутативную геометрию , использующее гомологии Хохшильда для обобщения дифференциальных форм).
• Гинзбург, Виктор (2005). «Лекции по некоммутативной геометрии». arXiv : math/0506603 .
• Топологические гомологии Хохшильда в арифметической геометрии
• Когомологии Хохшильда в n Lab

Коммутативный случай

• Антио, Бенджамин; Бхатт, Бхаргав; Мэтью, Ахил (2019). «Контрольные примеры Хохшильда-Константа-Розенберга в характеристике p ». arXiv : 1909.11437 [ math.AG ].

Некоммутативный случай

• Ричард, Лайонел (2004). «Гомологии и когомологии Хохшильда некоторых классических и квантовых некоммутативных полиномиальных алгебр» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 187 (1–3): 255–294. arXiv : math/0207073 . дои : 10.1016/S0022-4049(03)00146-4 .
• Куддус, Сафдар (2020). «Некоммутативные пуассоновские структуры на орбифолдах квантового тора». arXiv : 2006.00495 [ math.KT ].
• Яшински, Аллан (2012). «Связность Гаусса-Манина и некоммутативные торы». arXiv : 1210.4531 [ мат.КТ ].