Скелет (теория категорий)

В математике скелетом грубо говоря , категории , которая , называется подкатегория не содержит никаких посторонних изоморфизмов . В определенном смысле скелет категории — это «наименьшая» эквивалентная категория, охватывающая все «категорические свойства» оригинала. Фактически две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные скелеты. Категория называется скелетной, если изоморфные объекты обязательно идентичны.

Определение [ править ]

Скелет категории C — это эквивалентная категория D , в которой изоморфные объекты равны. Обычно скелет рассматривается как подкатегория D из C, такая, что:

включение D в C является полным и существенно сюръективным , и

D скелетен: любые два изоморфных объекта D равны.

Существование и уникальность [ править ]

Это основной факт: каждая маленькая категория имеет скелет; в более общем плане каждая доступная категория имеет скелет. ^{[ нужна ссылка ]} (Это эквивалентно аксиоме выбора .) Кроме того, хотя категория может иметь множество различных скелетов, любые два скелета изоморфны как категории , поэтому с точностью до изоморфизма категорий скелет категории уникален .

Важность скелетов обусловлена тем, что они являются (с точностью до изоморфизма категорий) каноническими представителями классов эквивалентности категорий при отношении эквивалентности эквивалентности категорий . Это следует из того факта, что любой скелет категории C эквивалентен C и что две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные скелеты.

Примеры [ править ]

Категория Набор всех множеств имеет подкатегорию всех кардинальных чисел в качестве скелета.
Категория K -Vect всех векторных пространств над фиксированным полем $K$ имеет подкатегорию, состоящую из всех полномочий $K^{(\alpha )}$ , где α – любое кардинальное число, в виде скелета; для любых конечных m и n отображения $K^{m}\to K^{n}$ это в точности n × m матрицы размера с элементами из K. —
FinSet , категория всех конечных множеств, имеет FinOrd , категорию всех конечных порядковых чисел , в качестве скелета.
Категория всех упорядоченных множеств подкатегорию всех порядковых чисел . имеет в качестве скелета
, Предварительный заказ т. е. небольшая категория, такая, что для каждой пары объектов $A,B$ , набор ${\mbox{Hom}}(A,B)$ либо имеет один элемент, либо пуст, имеет частично упорядоченный набор в качестве скелета.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории . Первоначально опубликовано John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание)
Роберт Голдблатт (1984). Топои, Категориальный анализ логики (Очерки по логике и основам математики, 98). Северная Голландия. Перепечатано в 2006 г. издательством Dover Publications.