Количественная оценка уникальности

«Уникальный (математика)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Уникальный (значения) .

В математике и логике термин «уникальность» относится к свойству быть единственным объектом, удовлетворяющим определенному условию. Этот вид количественной оценки известен как количественная оценка уникальности или уникальная квантификация существования и часто обозначается символами « ∃ !» или «∃ ₌₁ ». Например, официальное заявление

$\exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)$

можно прочитать как «существует ровно одно натуральное число». $n$ такой, что $n-2=4$".

Доказательство уникальности

Наиболее распространенный метод доказательства уникальности существования определенного объекта состоит в том, чтобы сначала доказать существование объекта с желаемым условием, а затем доказать, что любые два таких объекта (скажем, $a$ и $b$) должны быть равны друг другу (т.е. $a=b$).

Например, чтобы показать, что уравнение $x+2=5$ имеет ровно одно решение, то сначала следует установить, что существует хотя бы одно решение, а именно 3; доказательство этой части — это просто проверка того, что уравнение ниже справедливо:

$3+2=5.$

Чтобы установить единственность решения, можно было бы предположить, что существует два решения, а именно: $a$ и $b$, удовлетворяя $x+2=5$. То есть,

$a+2=5{\text{ and }}b+2=5.$

Тогда, поскольку равенство является транзитивным отношением ,

$a+2=b+2.$

Вычитание 2 из обеих частей дает

$a=b.$

что завершает доказательство того, что 3 является единственным решением $x+2=5$.

В общем, необходимо доказать как существование (существует хотя бы один объект), так и уникальность (существует не более одного объекта), чтобы сделать вывод о том, что существует ровно один объект, удовлетворяющий указанному условию.

Альтернативный способ доказать уникальность — доказать, что существует объект $a$ удовлетворяющее условию, а затем доказать, что каждый объект, удовлетворяющий условию, должен быть равен $a$.

к обычной экзистенциальной и

Квантическую оценку уникальности можно выразить через существования и универсальности кванторы логики предикатов , определив формулу $\exists !xP(x)$ означать

$\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),$

что логически эквивалентно

$\exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).$

Эквивалентное определение, разделяющее понятия существования и уникальности на два предложения в ущерб краткости, выглядит следующим образом:

$\exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].$

Другое эквивалентное определение, имеющее преимущество краткости, звучит так:

$\exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).$

Обобщения

Количественную оценку уникальности можно обобщить до количественной оценки (или числовой количественной оценки). ). Это включает в себя как количественную оценку формы «существует ровно k объектов, таких что…», так и «существует бесконечно много объектов таких, что…» и «существует только конечное число объектов таких, что…». Первая из этих форм выражается с помощью обычных кванторов, но две последние не могут быть выражены в обычной логике первого порядка .

Уникальность зависит от понятия равенства . Ослабление этого отношения до более грубого отношения эквивалентности дает количественную оценку уникальности до этой эквивалентности (в этой структуре обычная уникальность - это «уникальность с точностью до равенства»). Например, многие понятия в теории категорий определены как уникальные с точностью до изоморфизма .

Восклицательный знак $!$ может также использоваться как отдельный символ количественной оценки, поэтому $(\exists !x.P(x))\leftrightarrow ((\exists x.P(x))\land (!x.P(x)))$, где $(!x.P(x)):=(\forall a\forall b.P(a)\land P(b)\rightarrow a=b)$. Например, его можно безопасно использовать в аксиоме замены вместо $\exists !$.

См. также

• По сути уникальный
• Один-горячий
• Синглтон (математика)
• Теорема единственности

Библиография

• Клини, Стивен (1952). Введение в метаматематику . Иши Пресс Интернешнл. п. 199.
• Эндрюс, Питер Б. (2002). Введение в математическую логику и теорию типов к истине через доказательство (2-е изд.). Дордрехт: Клювер Акад. Опубл. п. 233. ИСБН  1-4020-0763-9 .