Спектр теории

В теории моделей , разделе математической логики , спектр теории определяется числом изоморфизма моделей мощности различной . классов Точнее, для любой полной теории T в языке мы пишем I ( T , κ ) для числа моделей T (с точностью до изоморфизма) мощности κ . Проблема спектра состоит в том, чтобы описать возможное поведение I ( T , κ ) как функции κ . Для случая счетной теории T она почти полностью решена .

Первые результаты [ править ]

В этом разделе T — счетная полная теория, а κ — кардинал.

Теорема Левенхайма-Скулема показывает, что если I ( T , κ ) отличен от нуля для одного бесконечного кардинала, то он отличен от нуля для всех из них.

Теорема о категоричности Морли была первым основным шагом в решении проблемы спектра: она утверждает, что если I ( T , κ ) равно 1 для некоторого несчетного κ , то оно равно 1 для всех несчетных κ .

Роберт Воут показал, что I ( T ,ℵ ₀ ) не может быть равно 2. Легко найти примеры, где это любое неотрицательное целое число, отличное от 2. Морли доказал, что если I ( T ,ℵ ₀ ) бесконечно, то оно должно быть ℵ ₀ или ℵ ₁ или 2 ^{ℵ ₀}. Неизвестно, может ли оно быть ℵ ₁ , если гипотеза континуума ложна: это называется гипотезой Воота и является основной оставшейся открытой проблемой (на 2005 г.) в теории спектра.

Проблема Морли представляла собой гипотезу (теперь теорему), впервые предложенную Майклом Д. Морли о том, что I ( T , κ ) не убывает по κ для несчетного κ . Это доказал Сахарон Шелах . Для этого он доказал очень глубокую теорему дихотомии.

Сахарон Шелах дал почти полное решение проблемы спектра. Для данной полной теории T либо I ( T , κ ) = 2 ^Мистер для всех несчетных кардиналов κ , или $\textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |+\aleph _{0})$ для всех порядковых номеров ξ (см. числах Алефа и числа Бет объяснение обозначений в ), которые обычно намного меньше границы в первом случае. Грубо говоря, это означает, что либо существует максимально возможное количество моделей во всех несчетных мощностях, либо существует только «несколько» моделей во всех несчетных мощностях. Шелах также дал описание возможных спектров в случае, когда моделей мало.

теории счетной Список возможных спектров

Расширяя работу Шела, Брэдд Харт, Эхуд Грушовски и Майкл К. Ласковски дали следующее полное решение проблемы спектра для счетных теорий несчетной мощности. Если T — счетная полная теория, то число I( T , ℵ _α ) классов изоморфизма моделей задается для ординалов α>0 минимумом из 2 ^{ℵ _а} и одна из следующих карт:

2 ^{ℵ _а}. Примеры: примеров много, в частности любая неклассифицируемая или глубокая теория, например теория графа Радо .
$\beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)$ для некоторого счетного бесконечного ординала d . (Для конечного d см. случай 8.) Примеры: Теория с отношениями эквивалентности E _β для всех β с β+1 < d , такая, что каждый класс E _γ представляет собой объединение бесконечного числа классов E _β , и каждый класс E ₀ является бесконечный.
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})$ для некоторого конечного положительного ординала d . Пример (при d =1): теория счетного числа независимых унарных предикатов.
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})$ для некоторого конечного положительного ординала d .
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})$ для некоторого конечного положительного ординала d ;
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})$ для некоторого конечного положительного ординала d . Пример (для d =1): теория счетного числа непересекающихся унарных предикатов.
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})$ для некоторого конечного ординала d ≥2;
$\beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)$ для некоторого конечного положительного ординала d ;
$\beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})$ для некоторого конечного ординала d ≥2; Примеры: аналогично случаю 2.
$\beth _{2}$ . Пример: теория целых чисел как абелева группа.
$|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ для конечных α и |α| для бесконечного α, где G — некоторая подгруппа симметрической группы на n ≥ 2 элементах. Здесь мы идентифицируем α ^н с набором последовательностей длины n элементов множества размера α. G действует на α ^н переставляя элементы последовательности, и |α ^н/ Г | обозначает количество витков этого действия. Примеры: теория множества ω× n, которое действует сплетение G на со всеми перестановками ω.
$1$ . Примеры: теории, категоричные по несчетным кардиналам, такие как теория алгебраически замкнутых полей с заданной характеристикой.
$0$ . Примеры: теории с конечной моделью и противоречивая теория.

Более того, все вышеперечисленные возможности возникают как спектр некоторой счетной полной теории.

Число d в списке выше — это глубина теории.Если T — теория, мы определяем новую теорию 2 ^Т быть теорией с таким отношением эквивалентности, что существует бесконечно много классов эквивалентности, каждый из которых является моделью T . Мы также определяем теории $\beth _{n}(T)$ к $\beth _{0}(T)=T$ , $\beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}$ . Затем $I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })$ . Это можно использовать для построения примеров теорий со спектрами из приведенного выше списка для неминимальных значений d из примеров для минимального значения d .

См. также [ править ]

Спектр предложения

Ссылки [ править ]

Ч.С. Чанг , Х.Дж. Кейслер , Теория моделей . ISBN 0-7204-0692-7
Сахарон Шелах , «Теория классификации и число неизоморфных моделей», Исследования по логике и основам математики , том. 92, IX, 1.19, с.49 (Северная Голландия, 1990).
Харт, Брэдд; Грушовский, Эхуд; Ласковски, Майкл К. (2000). «Несчетные спектры счетных теорий». Анналы математики . 152 (1): 207–257. arXiv : math/0007199 . Бибкод : 2000math......7199H . дои : 10.2307/2661382 . JSTOR 2661382 .
Брэдд Харт, Майкл К. Ласковски, «Обзор несчетных спектров счетных теорий», Теория алгебраических моделей , под редакцией Харта, Лахлана, Валериоте (Springer, 1997). ISBN 0-7923-4666-1