Венок изделие

В теории групп сплетение представляет собой специальную комбинацию двух групп, основанную на полупрямом произведении . Он образуется путем воздействия одной группы на множество копий другой группы, что в некоторой степени аналогично возведению в степень . Сплетения используются при классификации групп перестановок , а также позволяют построить интересные примеры групп.

Даны две группы $A$ и $H$ (иногда называемые нижней и верхней ), существует два варианта сплетения: неограниченное сплетение $A{\text{ Wr }}H$ и ограниченный сплетенный продукт $A{\text{ wr }}H$. Общая форма, обозначаемая $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ или $A{\text{ wr}}_{\Omega }H$ соответственно, требует, чтобы $H$ действует на некотором множестве $\Omega$; когда не указано, обычно $\Omega =H$ ( обычное веночное изделие ), правда другое $\Omega$ иногда подразумевается. Оба варианта совпадают, когда $A$, $H$, и $\Omega$ все конечны. Любой вариант также обозначается как $A\wr H$ (с \wr для символа LaTeX) или A ≀ H ( Unicode U+2240).

Это понятие обобщается на полугруппы и, как таковое, является центральной конструкцией в структурной теории Крона – Родса конечных полугрупп.

Определение

Позволять $A$ будьте группой и позвольте $H$ быть группой, действующей на множестве $\Omega$ (слева). Прямой продукт $A^{\Omega }$ из $A$ с самим собой, индексируемым $\Omega$ это набор последовательностей ${\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }$ в $A$, индексируется $\Omega$, с групповой операцией, заданной поточечным умножением. Действие $H$ на $\Omega$ может быть распространено на действие над $A^{\Omega }$ путем переиндексации , а именно путем определения

$h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }$

для всех $h\in H$ и все $(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }$.

Тогда неограниченное сплетение $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ из $A$ к $H$ это полупрямой продукт $A^{\Omega }\rtimes H$ с действием $H$ на $A^{\Omega }$ приведено выше. Подгруппа $A^{\Omega }$ из $A^{\Omega }\rtimes H$ называется основой сплетения.

Ограниченный венок $A{\text{ wr}}_{\Omega }H$ строится так же, как и неограниченное сплетение, за исключением того, что используется прямая сумма в качестве основы сплетения . В этом случае база состоит из всех последовательностей из $A^{\Omega }$ с конечным числом неидентичных записей . Эти два определения совпадают, когда $\Omega$ конечно.

В наиболее распространенном случае $\Omega =H$, и $H$ действует на себя умножением слева. В этом случае неограниченное и ограниченное сплетение можно обозначить через $A{\text{ Wr }}H$ и $A{\text{ wr }}H$ соответственно. Это называется обычным сплетенным изделием.

Обозначения и соглашения

Структура сплетения A на H зависит от H -множества Ω, а в случае, если Ω бесконечно, она также зависит от того, используется ли ограниченное или неограниченное сплетение. Однако в литературе используемые обозначения могут быть несовершенными и необходимо учитывать обстоятельства.

• В литературе A ≀ _Ω H может обозначать неограниченное сплетение A Wr _Ω   H или ограниченное сплетение A wr _Ω   H .
• Аналогично, A ≀ H может обозначать неограниченное регулярное сплетение A Wr H или ограниченное регулярное сплетение A wr H .
• В литературе H -множество Ω может быть опущено в обозначениях, даже если Ω ≠ H .
• частном случае, когда H = Sn _В — симметрическая группа степени n, в литературе принято предполагать, что Ω = {1,..., n } (с естественным действием Sn ₎ , а затем исключать Ω из обозначения. То есть A ≀ S _n обычно обозначает A ≀ _{{1,..., n }} S _n вместо обычного сплетения A ≀ _{S n} S _n . В первом случае базовая группа — это продукт n копий A , во втором — продукт n ! копии А. ​

Свойства

и ограниченного сплетения на конечном

Поскольку конечное прямое произведение совпадает с конечной прямой суммой групп, отсюда следует, что неограниченное A Wr _Ω   H и ограниченное сплетение A wr _Ω   H согласуются, если Ω конечен. В частности, это верно, когда Ω = H и H конечна.

Подгруппа

A wr _Ω   H всегда подгруппой является A Wr _Ω   H .

Кардинальность

Если A , H и Ω конечны, то

| А ≀ _Ом Ч | = | А | ^|Ой| | Ч |.

Универсальная

Основная статья: Универсальная теорема вложения

Универсальная теорема вложения : если G является расширением A H посредством , то существует подгруппа неограниченного сплетения A ≀ H которая изоморфна G. , Это также известно как теорема вложения Краснера-Калужнина . Теорема Крона –Родса включает в себя то, что по сути является ее полугрупповым эквивалентом.

Канонические действия сплетенных изделий

Если группа A действует на множестве Λ, то существует два канонических способа построения множеств из Ω и Λ, на которых A Wr _Ω   H (а значит, и A wr _Ω   H может действовать ).

• Импримитивное . сплетение на Λ × Ω

  Если (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H и ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , то

  $((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').$

• Примитивное сплетение на Λ ^Ой .

  Элемент из L ^Ой — последовательность ( λ _ω ), индексированная H -множеством Ω. Для данного элемента (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H его действие на ( λ _ω ) ∈ Λ ^Ой дается

  $((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).$

Примеры

• Группа фонарщиков - это ограниченный веночный продукт. $\mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z}$.

• $\mathbb {Z} _{m}\wr S_{n}$( обобщенная симметрическая группа ). Основой этого сплетения является n -кратное прямое произведение $\mathbb {Z} _{m}^{n}=\mathbb {Z} _{m}...\mathbb {Z} _{m}$копий $\mathbb {Z} _{m}$ где действие $\phi :S_{n}\to {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{m}^{n})$ симметрической группы S _n степени n задается выражением φ ( σ )(α ₁ ,..., α _n ) := ( α _{σ (1)} ,..., α _{σ ( n )} ).

• $S_{2}\wr S_{n}$( гипероктаэдрическая группа ).
• Действие S _n на {1,..., n } аналогично предыдущему. Поскольку симметрическая группа S ₂ степени изоморфна 2 $\mathbb {Z} _{2}$ гипероктаэдрическая группа является частным случаем обобщенной симметрической группы.

• Наименьшее нетривиальное сплетение – это $\mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}$, что является двумерным случаем указанной выше гипероктаэдрической группы. Это группа симметрии квадрата, также называемая D4 _, группа диэдра восьмого порядка.
• Пусть p — простое число и пусть $n\geq 1$. Пусть P — силовская p -подгруппа симметрической группы S _{p ^н} . Тогда P изоморфно повторному регулярному сплетению $W_{n}=\mathbb {Z} _{p}\wr ...\wr \mathbb {Z} _{p}$ из n копий $\mathbb {Z} _{p}$. Здесь $W_{1}:=\mathbb {Z} _{p}$ и $W_{k}:=W_{k-1}\wr \mathbb {Z} _{p}$ для всех $k\geq 2$. Например, силовская 2-подгруппа группы S ₄ — это указанная выше $\mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}$ группа.

• Группа кубика Рубика – это нормальная подгруппа индекса 12 в произведении сплетенных изделий, $(\mathbb {Z} _{3}\wr S_{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr S_{12})$, факторы, соответствующие симметрии 8 углов и 12 ребер.

• Группа преобразований, сохраняющих достоверность судоку (VPT), ​​содержит двойное сплетение ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ , где факторами являются перестановки строк/столбцов внутри полосы или стека из 3 строк или столбцов 3 ( S ₃ ), перестановку самих полос/стеков ( S3 ₎ транспозицию, меняющую местами полосы и стопки ( S2 _и ). Здесь наборы индексов Ω — это набор полос (соответственно стеков) (| Ω | = 3) и набор {полос, стеков} (| Ω | = 2). Соответственно, | С ₃ ≀ С ₃ | = | С ₃ | ³ | С ₃ | = (3!) ⁴ и |( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ | = | С3 ≀ С3 ₃| ² | С2 _{| = (3!)} ⁸ × 2.

• Сплетения естественным образом возникают в симметриях полных корневых деревьев и их графов . Например, повторяющееся (итерированное) сплетение S ₂ ≀ S ₂ ≀ ... ≀ S ₂ является группой автоморфизмов полного бинарного дерева .

Внешние ссылки

• Сплетение в Математической энциклопедии .
• Некоторые применения конструкции венкового изделия . Архивировано 21 февраля 2014 года в Wayback Machine.