Группа фонарщиков

В математике группа фонарщиков L теории групп представляет собой ограниченное сплетение. $\mathbf {Z} _{2}\wr \mathbf {Z}$.

Введение

Название группы происходит от представления о том, что группа действует на вдвойне бесконечную последовательность уличных фонарей. $\dots ,l_{-2},l_{-1},l_{0},l_{1},l_{2},l_{3},\dots$ каждый из которых может быть включен или выключен, а фонарщик стоит у какой-то лампы $l_{k}.$ Эквивалентное описание для этого, называемое базовой группой. $B$ из $L$ является

$B=\bigoplus _{-\infty }^{\infty }\mathbf {Z} _{2},$

бесконечная прямая сумма копий циклической группы $\mathbf {Z} _{2}$ где $0$ соответствует выключенному свету и $1$ соответствует включенному свету, а прямая сумма используется для обеспечения одновременного включения только конечного числа огней. Элемент $\mathbf {Z}$ дает должность фонарщика, и $B$ чтобы закодировать, какие лампочки горят.

В группе имеется два генератора: генератор t увеличивает k , так что фонарщик переходит к следующей лампе ( t  ^-1 уменьшает k ), а генератор a означает изменение состояния лампы l _k (с выключенного на включенное или с включенного на выключенное). Групповое умножение выполняется «следуя» этим операциям.

Можно считать, что в каждый момент времени горит только конечное число лампочек, поскольку действие любого элемента из L изменяет не более чем конечное число лампочек. Однако количество горящих ламп не ограничено. Таким образом, групповое действие похоже на действие машины Тьюринга в двух отношениях. Машина Тьюринга имеет неограниченную память, но в любой момент времени использует только ограниченный объем памяти. Более того, голова машины Тьюринга аналогична голове фонарщика.

Презентация

Стандартное представление группы фонарщиков вытекает из структуры венка.

$\langle a,t\mid a^{2},[t^{m}at^{-m},t^{n}at^{-n}],m,n\in \mathbb {Z} \rangle$, который можно упростить до

$\langle a,t\mid a^{2},(at^{n}at^{-n})^{2},n\in \mathbb {Z} \rangle$.

Скорость роста группы — функция, описывающая количество элементов группы, которые могут образоваться как произведение $n$ генераторы для каждого $n$, обычно определяется относительно этих двух генераторов $a$ и $t$. Это экспоненциальный рост, основанный на золотом сечении , с той же скоростью, что и рост чисел Фибоначчи . В некоторых случаях скорость роста изучается по отношению к двум различным генераторам. $a$ и $at$, изменяя логарифм скорости роста не более чем в 2 раза.

Это представление не является конечным. Он имеет бесконечно много отношений, как указано индексами $m$ и $n$. На самом деле для группы фонарщиков не существует конечного представления, то есть она не является конечно представленной .

Матричное представление

Разрешение $t$ быть формальной переменной, группа фонарщиков $L$ изоморфна группе матриц

${\begin{pmatrix}t^{k}&p\\0&1\end{pmatrix}},$

где $k\in \mathbf {Z}$ и $p$ распространяется по всем полиномам в $\mathbf {Z} _{2}[t,t^{-1}].$

Используя приведенные выше представления, изоморфизм задается формулой

${\begin{aligned}t&\mapsto {\begin{pmatrix}t&0\\0&1\end{pmatrix}}\\a&\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Обобщения

Также можно определить группы фонарщиков. $L_{n}=\mathbf {Z} _{n}\wr \mathbf {Z}$, с $n\in \mathbb {N}$, так что «лампы» могут иметь больше, чем просто возможность «выключить» и «включить». Классическая группа фонарщиков восстанавливается, когда $n=2.$

Дальнейшее чтение

• Некрашевич, Владимир (2005). Самоподобные группы . Математические обзоры и монографии. Том. 117. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/117 . ISBN  0-8218-3831-8 . МР   2162164 .