Универсальная теорема вложения

Универсальная теорема вложения , или универсальная теорема вложения Краснера-Калужнина , — это теорема из математической дисциплины теории групп, впервые опубликованная в 1951 году Марком Краснером и Львом Калузниным . Теорема утверждает, что любое групповое расширение группы H с помощью группы A изоморфно подгруппе регулярного сплетения A Wr H . Теорема названа в честь того, что группа A Wr H называется универсальной относительно всех расширений H с помощью A .

Заявление

Пусть H и A — группы, пусть K = A ^ЧАС множество всех функций от H до A и рассмотрим действие H — на себя путем умножения справа. Это действие естественным образом продолжается до действия H на K, определяемого формулой $\phi (g).h=\phi (gh^{-1}),$ где $\phi \in K,$ и g и h оба находятся в H . Это автоморфизм K , поэтому мы можем определить полупрямое произведение K ⋊ H, называемое регулярным сплетением и обозначаемое A Wr H или $A\wr H.$ Группа K = A ^ЧАС (который изоморфен $\{(f_{x},1)\in A\wr H:x\in K\}$) называется базовой группой сплетения.

Универсальная теорема вложения Краснера –Калужнина утверждает, что если G имеет нормальную подгруппу A и H = G / A , то существует инъективный гомоморфизм групп $\theta :G\to A\wr H$ такой, что A отображается сюръективно на ${\text{im}}(\theta )\cap K.$ Это эквивалентно сплетению A Wr H, имеющему подгруппу, изоморфную , где G — любое расширение H с помощью A. G

Доказательство

Это доказательство исходит от Диксона-Мортимера.

Определите гомоморфизм $\psi :G\to H$ ядром которого является A . Выберите набор $T=\{t_{u}:u\in H\}$ представителей (правого) смежного класса A в G , где $\psi (t_{u})=u.$ для всех x в G Тогда $t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}\in \ker \psi =A.$ Для каждого x в G что мы определяем функцию f _x : H → A такую, $f_{x}(u)=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}.$ Тогда вложение $\theta$ дается $\theta (x)=(f_{x},\psi (x))\in A\wr H.$

Докажем теперь, что это гомоморфизм. Если x и y находятся в G , то $\theta (x)\theta (y)=(f_{x}(f_{y}.\psi (x)^{-1}),\psi (xy)).$ Сейчас $f_{y}(u).\psi (x)^{-1}=f_{y}(u\psi (x)),$ так что для всех вас в H ,

$f_{x}(u)(f_{y}(u).\psi (x))=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}t_{u\psi (x)}yt_{u\psi (x)\psi (y)}^{-1}=t_{u}xyt_{u\psi (xy)}^{-1},$

так что ж _Икс   ж _y знак равно ж _xy . Следовательно $\theta$ является гомоморфизмом, что и требовалось.

Гомоморфизм инъективен. Если $\theta (x)=\theta (y),$ тогда оба f _x ( u ) = f _y ( u ) (для всех u ) и $\psi (x)=\psi (y).$ Затем $t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u}yt_{u\psi (y)}^{-1},$ можем отменить тебя _и но мы $t_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u\psi (y)}^{-1}$ с обеих сторон, поэтому x = y , следовательно $\theta$ является инъективным. Окончательно, $\theta (x)\in K$ именно тогда, когда $\psi (x)=1,$ другими словами, когда $x\in A$ (как $A=\ker \psi$).

Обобщения и связанные с ними результаты

• Теорема Крона–Родса — это утверждение, аналогичное универсальной теореме вложения, но для полугрупп . Полугруппа S называется дивизором полугруппы T, она является образом подполугруппы если группы T при гомоморфизме. Теорема утверждает, что каждая конечная полугруппа S является дивизором конечного знакопеременного сплетения конечных простых групп (каждая из которых является дивизором S ) и конечных апериодических полугрупп .
• Существует альтернативная версия теоремы, которая требует только группы G и подгруппы A (не обязательно нормальной). В этом случае G изоморфна подгруппе регулярного сплетения A Wr ( G /Core( A )).

Библиография

• Диксон, Джон; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок . Спрингер. ISBN  978-0387945996 .
• Калужнин Лев; Краснер, Марк (1951a). «Полное произведение групп перестановок и проблема расширения группы II» . Акта Наука. Математика. Сегед . 14 :39–66.
• Калужнин Лев; Краснер, Марк (1951b). «Полное произведение групп перестановок и проблема расширения группы III» . Акта Наука. Математика. Сегед . 14 :69–82.
• Прегер, Шерил; Шнайдер, Чаба (2018). Группы перестановок и декартовы разложения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521675062 .