Спорадическая группа

В математической классификации конечных простых групп существует ряд групп , которые не вписываются ни в одно бесконечное семейство. Их называют спорадическими простыми группами , или спорадическими конечными группами , или просто спорадическими группами .

— Простая группа это группа G , не имеющая нормальных подгрупп , кроме тривиальной группы и G. самой Упомянутая классификационная теорема утверждает, что список конечных простых групп состоит из 18 счетно бесконечных семейств. ^[а] плюс 26 исключений, которые не следуют такой систематической схеме. Эти 26 исключений представляют собой спорадические группы. Группу Титса иногда рассматривают как спорадическую группу, поскольку она не является строго группой лиева типа . ^[1] в этом случае будет 27 спорадических групп.

Группа монстров , или дружественных гигантов , является самой крупной из спорадических групп, и все другие спорадические группы, кроме шести, являются подгруппами . ее ^[2]

Имена [ править ]

Пять из спорадических групп были обнаружены Эмилем Матье в 1860-х годах, а еще двадцать одна была обнаружена в период с 1965 по 1975 год. Существование некоторых из этих групп было предсказано до того, как они были созданы. Большинство групп названы в честь математиков, которые первыми предсказали их существование. Полный список: ^[1]^[3]^[4]

На диаграмме показаны подфакторные отношения между 26 **спорадическими группами** . Соединительная линия означает, что нижняя группа является подчастным верхней, и между ними нет спорадических подчастных.
Поколения Роберта Грисса: 1-й, 2-й, 3-й, Изгой

Группы Матье М ₁₁ , М ₁₂ , М ₂₂ , М ₂₃ , М ₂₄
Группы Янко J ₁ , J ₂ или HJ , J ₃ или HJM , J ₄
Группы Конвея Co ₁ , Co ₂ , Co ₃
Fischer groups Fi ₂₂, Fi ₂₃, Fi ₂₄′ or F ₃₊
Группа Хигмана-Симса HS
Группа Маклафлина McL
Удерживаемая группа He или F ₇₊ или F ₇
Группа Рудвалис Ру
Suzuki group Suz or F ₃₋
Группа О'Н О'Н (ВКЛ)
Группа Харада-Нортона HN или F ₅₊ или F ₅
Лионская группа Ly
Группа Томпсона Th или F _3|3 или F ₃
Группа Baby Monster B или F ₂₊ или F ₂
Фишера-Грисса Группа монстров M или F ₁

Различные конструкции для этих групп впервые были составлены в работе Conway et al. (1985) , включая таблицы характеров , отдельные классы сопряженности и списки максимальных подгрупп , а также множители Шура и порядки их внешних автоморфизмов . Они также перечислены в Интернете по адресу Wilson et al. (1999) , дополненные их групповыми презентациями и полупрезентациями. степени минимально точного представления или характеры Брауэра над полями характеристики p Также были вычислены ≥ 0 для всех спорадических групп и для некоторых их накрывающих групп. Подробно они описаны в Jansen (2005) .

Еще одним исключением в классификации конечных простых групп является группа Титса T , которую иногда считают группой лиева типа. ^[5] или спорадический — это почти, но не строго группа лиева типа. ^[6] — поэтому в некоторых источниках число спорадических групп указывается не 26, а 27. ^[7]^[8] В некоторых других источниках группа Титса не рассматривается ни как спорадическая, ни как группа лиева типа, ни как то и другое. ^[9]^{[ нужна ссылка ]} Группа Титса является ( n = 0)-членом ²F ₄ (2)′ бесконечного семейства коммутантов ²Ф ₄ (2 ^{2н 1 +})′ ; таким образом, в строгом смысле слова это не спорадическое явление и не Лиева типа. При n > 0 эти конечные простые группы совпадают с группами лиева типа ²Ф ₄ (2 ^{2н 1 +}), также известные как группы Ри типа ²F4 _.

Самое раннее использование термина «спорадическая группа», возможно, принадлежит Бернсайду (1911 , стр. 504), где он комментирует группы Матье: «Эти очевидно спорадические простые группы, вероятно, заслуживают более тщательного изучения, чем они до сих пор получали». (В то время другие спорадические группы не были обнаружены.)

Диаграмма справа основана на Ронане (2006 , стр. 247). На нем не показаны многочисленные неспорадические простые подфакторы спорадических групп.

Организация [ править ]

Счастливая семья [ править ]

Из 26 спорадических групп 20 можно увидеть внутри группы монстров в виде подгрупп или частных подгрупп ( секций ). назвал счастливой семьей Эти двадцать человек Роберт Грис , и их можно разделить на три поколения. ^[10]^[б]

5 групп): группы Матье ( Первое поколение

M _n для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно транзитивными группами перестановок на n точках. Все они являются подгруппами группы M ₂₄ , которая представляет собой группу перестановок из 24 точек. ^[11]

7 групп): решетка Лича ( Второе поколение

Все подфакторы группы автоморфизмов мерной решетки, 24- называемой решеткой Лича : ^[12]

Co ₁ — фактор группы автоморфизмов по ее центру {±1}
Co ₂ является стабилизатором вектора типа 2 (т. е. длины 2).
Co ₃ является стабилизатором вектора типа 3 (т. е. длины √ 6 ).
Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих сложную структуру (по модулю ее центра).
McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3.
HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3.
J ₂ — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (по модулю ее центра).

Третье поколение (8 групп): другие подгруппы Монстра [ править ]

Состоит из подгрупп, тесно связанных с группой Monster M : ^[13]

B или F ₂ имеет двойное накрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M.
Fi ₂₄ ′ имеет тройное накрытие, которое является централизатором элемента порядка 3 в M (в классе сопряженности «3A»)
Fi ₂₃ является подгруппой Fi ₂₄ ′
Fi ₂₂ имеет двойную крышку, которая является подгруппой Fi _23.
Произведение Th = F ₃ и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (в классе сопряженности «3C»)
Произведение HN = F ₅ и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
Произведение He = F ₇ и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M .
Наконец, сама группа Monster считается принадлежащей к этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше: произведение М ₁₂ и группы 11-го порядка есть централизатор элемента 11-го порядка в М. )

Группа Титса , если ее рассматривать как спорадическую группу, принадлежала бы к этому поколению: существует подгруппа S ₄ × ²F ₄ (2)′, нормирующий 2C ² подгруппа группы B , порождающая подгруппу 2·S ₄ × ²F ₄ (2)′, нормализующая некоторую Q ₈ подгруппу Монстра. ²F ₄ (2)′ также является подфактором группы Фишера Fi ₂₂ , а значит, также групп Fi ₂₃ и Fi ₂₄ ′ и Baby Monster B . ²F ₄ (2)' также является подфактором (парии) группы Рудвалиса Ru и не участвует в спорадических простых группах, за исключением уже упомянутых.

Парии [ править ]

Шестью исключениями являются J ₁ , J ₃ , J ₄ , O'N , Ru и Ly , которых иногда называют париями . ^[14]^[15]

Таблица спорадических групповых порядков (с группой Титсов) [ править ]

Группа	Первооткрыватель	^[16] Год	Поколение	^[4]^[17] Заказ		^[1]^[4] Факторизованный порядок	^[18] Минимальный верный персонаж Брауэра	^[19]^[20] $(a,b,ab)$ Генераторы	^[20]^[с] $\langle \langle a,b\mid o(z)\rangle \rangle$ Полупрезентация
М или Ж ₁	Фишер , Грисс	1973	3-й	808017424794512875 886459904961710757 005754368000000000	≈ 8 × 10 ⁵³	2 ⁴⁶ × 3 ²⁰ × 5 ⁹ × 7 ⁶ × 11 ² × 13 ³ × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71	196883	2А, 3Б, 29	$o{\bigl (}(ab)^{4}(ab^{2})^{2}{\bigr )}=50$
Б или Ж ₂	Фишер	1973	3-й	4154781481226426 191177580544000000	≈ 4 × 10 ³³	2 ⁴¹ × 3 ¹³ × 5 ⁶ × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 31 × 47	4371	2С, 3А, 55	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=23$
Fi ₂₄ or F ₃₊	Фишер	1971	3-й	1255205 709190661721292800	≈ 1 × 10 ²⁴	2 ²¹ × 3 ¹⁶ × 5 ² × 7 ³ × 11 × 13 × 17 × 23 × 29	8671	2А, 3Е, 29	$o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=33$
Фи ₂₃	Фишер	1971	3-й	4089470473293004800	≈ 4 × 10 ¹⁸	2 ¹⁸ × 3 ¹³ × 5 ² × 7 × 11 × 13 × 17 × 23	782	2Б, 3Д, 28	$o{\bigl (}a^{bb}(ab)^{14}{\bigr )}=5$
Фи ₂₂	Фишер	1971	3-й	64561751654400	≈ 6 × 10 ¹³	2 ¹⁷ × 3 ⁹ × 5 ² × 7 × 11 × 13	78	2А, 13, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=12$
Ч или Ф ₃	Томпсон	1976	3-й	90745943887872000	≈ 9 × 10 ¹⁶	2 ¹⁵ × 3 ¹⁰ × 5 ³ × 7 ² × 13 × 19 × 31	248	2, 3А, 19	$o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=21$
Ли	Лион	1972	Изгой	51765179004000000	≈ 5 × 10 ¹⁶	2 ⁸ × 3 ⁷ × 5 ⁶ × 7 × 11 × 31 × 37 × 67	2480	2, 5А, 14	$o{\bigl (}ababab^{2}{\bigr )}=67$
HN или F ₅	Харада , Нортон	1976	3-й	273030912000000	≈ 3 × 10 ¹⁴	2 ¹⁴ × 3 ⁶ × 5 ⁶ × 7 × 11 × 19	133	2А, 3Б, 22	$o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=5$
Ко ₁	Конвей	1969	2-й	4157776806543360000	≈ 4 × 10 ¹⁸	2 ²¹ × 3 ⁹ × 5 ⁴ × 7 ² × 11 × 13 × 23	276	2Б, 3С, 40	$o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}{\bigr )}=42$
Со ₂	Конвей	1969	2-й	42305421312000	≈ 4 × 10 ¹³	2 ¹⁸ × 3 ⁶ × 5 ³ × 7 × 11 × 23	23	2А, 5А, 28	$o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=4$
Co_Со3	Конвей	1969	2-й	495766656000	≈ 5 × 10 ¹¹	2 ¹⁰ × 3 ⁷ × 5 ³ × 7 × 11 × 23	23	2А, 7С, 17	$o{\bigl (}(uvv)^{3}(uv)^{6}{\bigr )}=5$ ^[д]
ВКЛ или ВКЛ	О'Нан	1976	Изгой	460815505920	≈ 5 × 10 ¹¹	2 ⁹ × 3 ⁴ × 5 × 7 ³ × 11 × 19 × 31	10944	2А, 4А, 11	$o{\bigl (}abab(b^{2}(b^{2})^{abab})^{5}{\bigr )}=5$
вода	Сузуки	1969	2-й	448345497600	≈ 4 × 10 ¹¹	2 ¹³ × 3 ⁷ × 5 ² × 7 × 11 × 13	143	2Б, 3Б, 13	$o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=15$
Ру	Рудвалис	1972	Изгой	145926144000	≈ 1 × 10 ¹¹	2 ¹⁴ × 3 ³ × 5 ³ × 7 × 13 × 29	378	2Б, 4А, 13	$o(abab^{2})=29$
Он или F ₇	Держал	1969	3-й	4030387200	≈ 4 × 10 ⁹	2 ¹⁰ × 3 ³ × 5 ² × 7 ³ × 17	51	2А, 7С, 17	$o{\bigl (}ab^{2}abab^{2}ab^{2}{\bigr )}=10$
МакЛ	Маклафлин	1969	2-й	898128000	≈ 9 × 10 ⁸	2 ⁷ × 3 ⁶ × 5 ³ × 7 × 11	22	2А, 5А, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=7$
HS	Хигман , Симс	1967	2-й	44352000	≈ 4 × 10 ⁷	2 ⁹ × 3 ² × 5 ³ × 7 × 11	22	2А, 5А, 11	$o(abab^{2})=15$
Дж ₄	Янко	1976	Изгой	86775571046077562880	≈ 9 × 10 ¹⁹	2 ²¹ × 3 ³ × 5 × 7 × 11 ³ × 23 × 29 × 31 × 37 × 43	1333	2А, 4А, 37	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=10$
J ₃ или HJM	Янко	1968	Изгой	50232960	≈ 5 × 10 ⁷	2 ⁷ × 3 ⁵ × 5 × 17 × 19	85	2А, 3А, 19	$o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=9$
J ₂ или HJ	Янко	1968	2-й	604800	≈ 6 × 10 ⁵	2 ⁷ × 3 ³ × 5 ² × 7	14	2Б, 3Б, 7	$o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=12$
Дж ₁	Янко	1965	Изгой	175560	≈ 2 × 10 ⁵	2 ³ × 3 × 5 × 7 × 11 × 19	56	2, 3, 7	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=19$
М ₂₄	Матье	1861	1-й	244823040	≈ 2 × 10 ⁸	2 ¹⁰ × 3 ³ × 5 × 7 × 11 × 23	23	2Б, 3А, 23	$o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4$
М ₂₃	Матье	1861	1-й	10200960	≈ 1 × 10 ⁷	2 ⁷ × 3 ² × 5 × 7 × 11 × 23	22	2, 4, 23	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=8$
М ₂₂	Матье	1861	1-й	443520	≈ 4 × 10 ⁵	2 ⁷ × 3 ² × 5 × 7 × 11	21	2А, 4А, 11	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=11$
М ₁₂	Матье	1861	1-й	95040	≈ 1 × 10 ⁵	2 ⁶ × 3 ³ × 5 × 11	11	2Б, 3Б, 11	$o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=o{\bigl (}ababab^{2}{\bigr )}=6$
М ₁₁	Матье	1861	1-й	7920	≈ 8 × 10 ³	2 ⁴ × 3 ² × 5 × 11	10	2, 4, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4$
Т или $2 Ф 4 (2)'$	Сиськи	1964	3-й	17971200	≈ 2 × 10 ⁷	2 ¹¹ × 3 ³ × 5 ² × 13	104 ^[21]	2А, 3, 13	$o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=5$

Примечания [ править ]

^ Группы простого порядка, знакопеременные группы степени не ниже 5, бесконечное семейство коммутантов. ²Ф ₄ (2 ^{2н 1 +})′ групп лиева типа (содержащих группу Титса) и 15 семейств групп лиева типа.
^ Конвей и др. (1985 , стр. viii) систематизирует 26 спорадических групп по сходству:
«Спорадические простые группы можно грубо разделить на группы Матье, группы решетки Лича, группы 3-транспозиции Фишера, дальнейшие централизаторы Монстра и полдюжины нечетностей».
^ Здесь перечислены полупредставления стандартных генераторов каждой спорадической группы. Большинство спорадических групп имеют несколько презентаций и полупрезентаций; перечислены наиболее известные примеры.
^ Где $u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}$ и $v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}$ с $t=abab^{3}a^{2}$ .

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б ^с Конвей и др. (1985 , стр. viii)
^ Грисс-младший (1998 , стр. 146)
^ Горенштейн, Лайонс и Соломон (1998 , стр. 262–302)
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ронан (2006 , стр. 244–246)
^ Хоулетт, Райландс и Тейлор (2001 , стр.429)
«Это завершает определение матричных генераторов для всех групп лиева типа, включая скрученные группы Стейнберга, Сузуки и Ри (и группу Титса)».
^ Горенштейн (1979 , стр.111)
^ Конвей и др. (1985 , стр.viii)
^ Хартли и Халпке (2010 , стр.106)
«Конечные простые группы являются строительными блоками конечной теории групп. Большинство из них распадаются на несколько бесконечных семейств групп, но их 26 (или 27, если группа Титса ²F ₄ (2)′ также учитывается), которые не входят в эти бесконечные семейства».
^ Уилсон и др. (1999 , Спорадические группы и исключительные группы лиева типа)
^ Грисс-младший (1982 , стр. 91)
^ Грисс-младший. (1998 , стр. 54–79)
^ Грисс-младший. (1998 , стр. 104–145)
^ Грисс-младший. (1998 , стр. 146−150)
^ Грисс-младший. (1982 , стр. 91−96)
^ Грисс-младший. (1998 , стр. 146, 150−152)
^ Хисс (2003 , стр. 172)
Таблица 2. Открытие спорадических групп
^ Слоан (1996)
^ Янсен (2005 , стр. 122–123)
^ Никерсон и Уилсон (2011 , стр. 365)
^ Jump up to: ^а ^б Уилсон и др. (1999)
^ Любек (2001 , стр. 2151)

Цитируемые работы [ править ]

Бернсайд, Уильям (1911). Теория групп конечного порядка (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. XXIV, 1–512. дои : 10.1112/PLMS/S2-7.1.1 . hdl : 2027/uc1.b4062919 . ISBN 0-486-49575-2 . МР 0069818 . OCLC 54407807 . S2CID 117347785 .

Конвей, Дж. Х. (1968). «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 61 (2): 398–400. Бибкод : 1968PNAS...61..398C . дои : 10.1073/pnas.61.2.398 . МР 0237634 . ПМК 225171 . ПМИД 16591697 . S2CID 29358882 . Збл 0186.32401 .

Конвей, Дж. Х. ; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА ; Уилсон, Р.А. (1985). АТЛАС конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры простых групп . Оксфорд: Кларендон Пресс . стр. xxxiii, 1–252. ISBN 978-0-19-853199-9 . МР 0827219 . OCLC 12106933 . S2CID 117473588 . Збл 0568.20001 .

Горенштейн, Д. (1979). «Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 1 (1). Американское математическое общество : 43–199. дои : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 . МР 0513750 . S2CID 121953006 . Збл 0414.20009 .

Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1998). Классификация конечных простых групп, номер 3 . Математические обзоры и монографии. Том. 40. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. XIII, 1–362. дои : 10.1112/S0024609398255457 . ISBN 978-0-8218-0391-2 . МР 1490581 . OCLC 6907721813 . S2CID 209854856 .

Грисс-младший, Роберт Л. (1982). «Дружелюбный великан » изобретения Математические 69 : 1−1 Бибкод : 1982InMat..69.... 1G дои : 10.1007/BF01389186 . hdl : 2027.42/46608 . МР 0671653 . S2CID 123597150 . Збл 0498.20013 .

Грисс-младший, Роберт Л. (1998). Двенадцать спорадических групп . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . стр. 1−169. ISBN 9783540627784 . МР 1707296 . ОСЛК 38910263 . Збл 0908.20007 .

Хартли, Майкл И.; Халпке, Александр (2010), «Многогранники, полученные из спорадических простых групп» , Вклад в дискретную математику , 5 (2), Альберта, Калифорния: Университета Калгари Факультет математики и статистики : 106–118, doi : 10.11575/cdm.v5i2 .61945 , ISSN 1715-0868 , MR 2791293 , S2CID 40845205 , Збл 1320,51021

Хисс, Герхард (2003). «Спорадические группы» (PDF) . Годовая площадь Немецкий. Математическая Ассоциация (Годовой отчет Ассоциации немецких математиков) . 105 (4): 169–193. ISSN 0012-0456 . МР2033760 . Збл 1042.20007 . (Немецкий)

Хоулетт, РБ; Райландс, LJ; Тейлор, Делавэр (2001). «Матричные генераторы для исключительных групп лиева типа» . Журнал символических вычислений . 31 (4): 429–445. дои : 10.1006/jsco.2000.0431 . МР 1823074 . S2CID 14682147 . Збл 0987.20003 .

Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени достоверных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп» . LMS Журнал вычислений и математики . 8 . Лондонское математическое общество : 122–144. дои : 10.1112/S1461157000000930 . МР 2153793 . S2CID 121362819 . Збл 1089.20006 .

Любек, Франк (2001). «Наименьшие степени представлений исключительных групп лиева типа» . Связь в алгебре . 29 (5). Филадельфия, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис : 2147–2169 гг. дои : 10.1081/AGB-100002175 . МР 1837968 . S2CID 122060727 . Збл 1004.20003 .

Никерсон, С.Дж.; Уилсон, Р.А. (2011). «Полупредставления для спорадических простых групп» . Экспериментальная математика . 14 (3). Оксфордшир: Тейлор и Фрэнсис : 359–371. дои : 10.1080/10586458.2005.10128927 . МР 2172713 . S2CID 13100616 . Збл 1087.20025 .

Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище: одно из величайших поисков математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . стр. VII, 1–255. ISBN 978-0-19-280722-9 . МР 2215662 . OCLC 180766312 . Збл 1113.00002 .

Слоан, NJA , изд. (1996). «Порядки спорадических простых групп (А001228)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС .

Уилсон, Р.А. (1998). «Глава: Атлас представлений спорадических групп» (PDF) . Атлас конечных групп - десять лет спустя (серия лекций LMS 249) . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 261–273. дои : 10.1017/CBO9780511565830.024 . ISBN 9780511565830 . МР 1647427 . OCLC 726827806 . S2CID 59394831 . Збл 0914.20016 .

Уилсон, РА ; Паркер, РА ; Никерсон, С.Дж.; Брей, Дж. Н. (1999). «АТЛАС Представительств групп» . АТЛАС представлений конечных групп . Лондонский университет королевы Марии .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Группы простого порядка, знакопеременные группы степени не ниже 5, бесконечное семейство коммутантов. ²Ф ₄ (2 ^{2н 1 +})′ групп лиева типа (содержащих группу Титса) и 15 семейств групп лиева типа.

[12] Конвей и др. (1985 , стр. viii) систематизирует 26 спорадических групп по сходству:
«Спорадические простые группы можно грубо разделить на группы Матье, группы решетки Лича, группы 3-транспозиции Фишера, дальнейшие централизаторы Монстра и полдюжины нечетностей».

[23] Здесь перечислены полупредставления стандартных генераторов каждой спорадической группы. Большинство спорадических групп имеют несколько презентаций и полупрезентаций; перечислены наиболее известные примеры.

[24] Где $u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}$ и $v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}$ с $t=abab^{3}a^{2}$ .

[Conway-2] Jump up to: ^а ^б ^с Конвей и др. (1985 , стр. viii)

[3] Грисс-младший (1998 , стр. 146)

[4] Горенштейн, Лайонс и Соломон (1998 , стр. 262–302)

[Ronan-5] Jump up to: ^а ^б ^с Ронан (2006 , стр. 244–246)

[6] Хоулетт, Райландс и Тейлор (2001 , стр.429)
«Это завершает определение матричных генераторов для всех групп лиева типа, включая скрученные группы Стейнберга, Сузуки и Ри (и группу Титса)».

[7] Горенштейн (1979 , стр.111)

[Conway2-8] Конвей и др. (1985 , стр.viii)

[9] Хартли и Халпке (2010 , стр.106)
«Конечные простые группы являются строительными блоками конечной теории групп. Большинство из них распадаются на несколько бесконечных семейств групп, но их 26 (или 27, если группа Титса ²F ₄ (2)′ также учитывается), которые не входят в эти бесконечные семейства».

[10] Уилсон и др. (1999 , Спорадические группы и исключительные группы лиева типа)

[11] Грисс-младший (1982 , стр. 91)

[13] Грисс-младший. (1998 , стр. 54–79)

[14] Грисс-младший. (1998 , стр. 104–145)

[15] Грисс-младший. (1998 , стр. 146−150)

[16] Грисс-младший. (1982 , стр. 91−96)

[17] Грисс-младший. (1998 , стр. 146, 150−152)

[18] Хисс (2003 , стр. 172)
Таблица 2. Открытие спорадических групп

[19] Слоан (1996)

[20] Янсен (2005 , стр. 122–123)

[21] Никерсон и Уилсон (2011 , стр. 365)

[Wilsonetal-22] Jump up to: ^а ^б Уилсон и др. (1999)

[25] Любек (2001 , стр. 2151)

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[б]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[с]

[д]

[21]