Состоявшаяся группа

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Хелда He представляет собой спорадическую простую группу порядка .

2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 ² · 7 ³ · 17 = 4030387200

≈ 4 × 10 ⁹.

История

Он является одной из 26 спорадических групп и был обнаружен Дитером Хелдом ( 1969а , 1969b ) при исследовании простых групп, содержащих инволюцию, централизатор которой является расширением дополнительной специальной группы 2. ¹⁺⁶ линейной группой L ₃ (2), которая является тем же централизатором инволюции, что и группа Матье M ₂₄ . Второй такой группой является линейная группа L ₅ (2). Группа Хелда — третья возможность, и ее строительство завершили Джон Маккей и Грэм Хигман . Во всех этих группах расширение разделяется.

Внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, а мультипликатор Шура тривиален.

Представительства

Наименьшее точное комплексное представление имеет размерность 51; есть два таких представления, двойственных друг другу.

Он централизует элемент порядка 7 в группе Monster . В результате простое число 7 играет особую роль в теории группы; например, наименьшее представление группы Хелда над любым полем - это 50-мерное представление над полем с 7 элементами, и оно естественным образом действует на алгебру вершинных операторов над полем с 7 элементами.

Наименьшее представление перестановки — это действие 5-го ранга на 2058 точек со стабилизатором точки Sp ₄ (4):2. Граф , связанный с этим представлением, имеет ранг 5 и ориентирован ; внешний автоморфизм меняет направление ребер, уменьшая ранг до 4.

Поскольку Он является нормализатором группы Фробениуса 7:3 в группе Монстров , он коммутирует не только с 7-циклом, но и с некоторыми 3-циклами. Каждый из этих 3-циклов нормализуется группой Фишера Fi ₂₄ , поэтому He:2 является подгруппой производной подгруппы Fi ₂₄ ' (непростая группа Fi ₂₄ имеет 2 класса сопряжения He:2, которые объединены внешний автоморфизм). Как упоминалось выше, наименьшее перестановочное представление He имеет 2058 точек, а при реализации внутри Fi ₂₄ ' имеется орбита из 2058 транспозиций .

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон характерен не только для монстров, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для He соответствующий ряд Маккея-Томпсона равен $T_{7A}(\tau )$ где можно установить постоянный член a(0) = 10 ( OEIS : A007264 ),

{\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=T_{7A}(\tau )+10\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{2}+7\left({\tfrac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\dots \end{aligned}}

η Дедекинда ( τ ) — эта-функция .

Презентация

Его можно определить через генераторы a и b и соотношения

a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.

Максимальные подгруппы

Батлер (1981) нашел 11 классов сопряженности максимальных подгрупп He следующим образом:

С ₄ (4):2
2 ².Л ₃ (4).С ₃
2 ⁶:3.С ₆
2 ⁶:3.С ₆
2 ¹⁺⁶:Л ₃ (2)
7 ²:2.Л ₂ (7)
3.S_3.S7
7 ¹⁺²:(3 × _S3 )
С ₄ х Д ₃ (2)
7:3 х Д ₃ (2)
5 ²:4А ₄

Ссылки

Батлер, Грегори (1981), «Максимальные подгруппы спорадической простой группы Хелда», Journal of Algebra , 69 (1): 67–81, doi : 10.1016/0021-8693(81)90127-7 , ISSN 0021- 8693 , МР 0613857
Хелд, Д. (1969a), «Некоторые простые группы, связанные с M ₂₄ », у Брауэра, Ричарда; Шах, Чи-Хан (ред.), Теория конечных групп: симпозиум , В.А. Бенджамин
Хелд, Дитер (1969b), «Простые группы, связанные с M ₂₄ », Journal of Algebra , 13 (2): 253–296, doi : 10.1016/0021-8693(69)90074-X , MR 0249500
Рыба, AJE (1988), «Вычисление 7-модульных характеров группы Хелда», Journal of Algebra , 117 (1): 240–255, doi : 10.1016/0021-8693(88)90252-9 , MR 0955602

Внешние ссылки