Группа Фишера Fi ₂₄

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Фишера Fi ₂₄ или F ₂₄ ′ или F ₃₊ представляет собой простую группу порядка спорадическую

1,255,205,709,190,661,721,292,800

= 2 ²¹ · 3 ¹⁶ · 5 ² · 7 ³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29

≈ 1 × 10 ²⁴.

История и свойства

Fi ₂₄ — одна из 26 спорадических групп и самая крупная из трёх групп Фишера, введенных Берндом Фишером ( 1971 , 1976 ) при исследовании 3-транспозиционных групп . Это третья по величине из спорадических групп (после группы Monster и группы Baby Monster ).

Внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, а мультипликатор Шура имеет порядок 3. Группа автоморфизмов представляет собой 3-транспозиционную группу Fi ₂₄ , содержащую простую группу с индексом 2.

Централизатор элемента порядка 3 в группе монстров является тройным накрытием спорадической простой группы Fi ₂₄ , в результате чего простое число 3 играет особую роль в ее теории.

Представительства

Централизатор элемента порядка 3 в группе монстров является тройным накрытием группы Фишера, вследствие чего в ее теории простое число 3 играет особую роль. В частности, он действует на алгебру вершинных операторов над полем из трех элементов.

Простая группа Фишера имеет действие ранга 3 на графе 306936 (=2 ³.3 ³.7 ².29) вершины, соответствующие 3-транспозициям Fi ₂₄ , со стабилизатором точки - группой Фишера Fi ₂₃ .

Тройное накрытие имеет комплексное представление размерности 783. При уменьшении по модулю 3 оно имеет одномерные инвариантные подпространства и факторпространства, что дает неприводимое представление размерности 781 над полем с 3 элементами.

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон характерен не только для монстров, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для Fi ₂₄ (а также Fi ₂₃ ) соответствующий ряд Маккея-Томпсона равен $T_{3A}(\tau )$ где можно установить постоянный член a(0) = 42 ( OEIS : A030197 ),

{\begin{aligned}j_{3A}(\tau )&=T_{3A}(\tau )+42\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+42+783q+8672q^{2}+65367q^{3}+371520q^{4}+1741655q^{5}+\dots \end{aligned}}

Максимальные подгруппы

Линтон и Уилсон (1991) нашли 25 классов сопряженности максимальных подгрупп Fi ₂₄ ' следующим образом:

Максимальные подгруппы Fi ₂₄ '
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	Фи ₂₃	4,089,470,473,293,004,800 = 2 ¹⁸·3 ¹³·5 ²·7·11·13·17·23	имеет индекс 306 936; централизатор 3-транспозиции в группе автоморфизмов Fi ₂₄
2	2 ^·Фи ₂₂ :2	258,247,006,617,600 = 2 ¹⁹·3 ⁹·5 ²·7·11·13	централизатор инволюции (битранспозиции)
3	(3xO ⁺ ₈(3):3):2	89,139,236,659,200 = 2 ¹³·3 ¹⁴·5 ²·7·13	нормализатор подгруппы порядка 3
4	ТО ^– ₁₀(2)	25,015,379,558,400 = 2 ²⁰·3 ⁶·5 ²·7·11·17
5	3 ^7·О ₇ (3)	10,028,164,124,160 = 2 ⁹·3 ¹⁶·5·7·13
6	3 ¹⁺¹⁰:У ₅ (2):2	4,848,782,653,440 = 2 ¹¹·3 ¹⁶·5·11	нормализатор подгруппы порядка 3
7	2 ^11·М ₂₄	501,397,585,920 = 2 ²¹·3 ³·5·7·11·23
8	2 ^2·У ₆ (2):С ₃	220,723,937,280 = 2 ¹⁸·3 ⁷·5·7·11	централизатор инволюции в группе автоморфизмов Fi ₂₄ (тритранспозиция)
9	2 ^1+12·3 ^·У ₄ (3).2	160,526,499,840 = 2 ²¹·3 ⁷·5·7	централизатор инволюции (тетратранспозиции)
10	[3 ¹³]:(Л ₃ (3)x2)	17,907,435,936 = 2 ⁵·3 ¹⁶·13
11	3 ²⁺⁴⁺⁸(А ₅ х2А ₄ ).2	13,774,950,720 = 2 ⁶·3 ¹⁶·5
12	(А ₄ х О ⁺ ₈(2):3):2	12,541,132,800 = 2 ¹⁵·3 ⁷·5 ²·7
13, 14	Он :2	8,060,774,400 = 2 ¹¹·3 ³·5 ²·7 ³·17	два класса, слитые внешним автоморфизмом
15	2 ³⁺¹²(Д ₃ (2) х А ₆ )	1,981,808,640 = 2 ²¹·3 ³·5·7
16	2 ⁶⁺⁸. _S3xA8 ₎ (	1,981,808,640 = 2 ²¹·3 ³·5·7
17	(Г ₂ (3)х3 ²:2).2	152,845,056 = 2 ⁸·3 ⁸·7·13
18	(А ₉ х А ₅ ): 2	21,772,800 = 2 ⁹·3 ⁵·5 ²·7
19	L2 _: (8) _3xA6	544,320 = 2 ⁶·3 ⁵·5·7
20	7 ₆ х 7:	105,840 = 2 ⁴·3 ³·5·7 ²	нормализатор циклической подгруппы порядка 7
21, 22	У ₃ (3):2	12,096 = 2 ⁶·3 ³·7	два класса, слитые внешним автоморфизмом
23, 24	Л ₂ (13):2	2,184 = 2 ³·3·7·13	два класса, слитые внешним автоморфизмом
25	29:14	406 = 2·7·29	нормализатор силовской 29-подгруппы

Ссылки

Ашбахер, Майкл (1997), 3-транспозиционные группы , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511759413 , ISBN. 978-0-521-57196-8 , MR 1423599 , заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 21 июня 2012 г., содержит полное доказательство теоремы Фишера.
Фишер, Бернд (1971), «Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I», Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, doi : 10.1007/BF01404633 , ISSN 0020-9910 , MR 0294487. Это первая часть Препринт Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями , Препринт, Математический институт, Уорикский университет
Линтон, Стивен А.; Уилсон, Роберт А. (1991), «Максимальные подгруппы групп Фишера Fi ₂₄ и Fi ₂₄ ' », Труды Лондонского математического общества , третья серия, 63 (1): 113–164, doi : 10.1112/plms/ с3-63.1.113 , ISSN 0024-6115 , МР 1105720
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012
Уилсон, Р.А. АТЛАС представления конечных групп.

Внешние ссылки