3-транспозиционная группа

В математической теории групп — 3-транспозиционная группа это группа , порожденная классом сопряженных инволюций , называемых 3-транспозициями , такая, что произведение любых двух инволюций из класса сопряженности имеет порядок не более 3.

Впервые они были изучены Берндом Фишером ( 1964 , 1970 , 1971 ), который обнаружил три группы Фишера как примеры 3-транспозиционных групп.

История

Фишер (1964) впервые изучил 3-транспозиции в частном случае, когда произведение любых двух различных 3-транспозиций имеет порядок 3. Он показал, что конечная группа с этим свойством разрешима и имеет (нильпотентную) 3-группу индекс 2. Манин (1986) использовал эти группы для построения примеров неабелевых CH-квазигрупп и для описания структуры коммутативных петель Муфанга показателя 3.

Теорема Фишера

Предположим, что G — группа, порожденная классом сопряженности D 3-транспозиций и такая, что 2 и 3 ядра O ₂ ( G ) и O ₃ ( G ) содержатся в центре Z ( G ) G. группы Затем Фишер (1971) доказал, что с точностью до изоморфизма G / Z ( G ) является одной из следующих групп и D является образом данного класса сопряженности:

• G / Z ( G ) — тривиальная группа.
• G / Z ( G ) — симметрическая группа Sn _D для n ≥5, а — класс транспозиций. (Если n = 6, существует второй класс 3-транспозиций).
• G / Z ( G ) — симплектическая группа Sp _{2 n} (2) с n ≥3 над полем порядка 2, а D — класс трансвекций. (Когда n = 2, существует второй класс транспозиций.)
• G / Z ( G ) — проективная специальная унитарная группа PSU _n (2) с n ≥5, а D — класс трансвекций
• G / Z ( G ) — ортогональная группа O ^м _{2 n} (2) с µ=±1 и n ≥4, а D – класс трансвекций
• G / Z ( G ) — подгруппа индекса 2 PO _n ^м,+ (3) проективной ортогональной группы PO _n ^м (3) (с µ=±1 и n ≥5), порожденный классом D отражений векторов нормы +1.
• G / Z ( G ) — одна из трёх групп Фишера Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ .
• G / Z ( G ) — одна из двух групп вида Ω ₈ ⁺ (2).S ₃ и ПОм ₈ ⁺ (3).S ₃ , где Ω – производная подгруппа ортогональной группы, а S ₃ – группа автоморфизмов диаграммы диаграммы Дынкина D ₄ .

Отсутствующие случаи с малым n, указанным выше, либо не удовлетворяют условию о 2 и 3 ядрах, либо имеют исключительный изоморфизм другим группам в списке.

Важные примеры

Группа Sn _имеет порядок n ! и при n >1 имеется подгруппа An _{индекса} 2, которая является простой, если n >4.

Симметричная группа Sn _{является} 3-транспозиционной группой для всех n >1. 3-транспозиции — это элементы, которые меняют местами две точки и оставляют каждую из оставшихся точек фиксированной. Эти элементы являются транспозициями (в обычном смысле) _Sn . (Для n =6 существует второй класс 3-транспозиций, а именно класс элементов S6 _, которые являются произведениями трех непересекающихся транспозиций.)

Симплектическая группа Sp _{2 n} (2) имеет порядок

$2^{n^{2}}(2^{2}-1)(2^{4}-1)\cdots (2^{2n}-1)$

Это 3-транспозиционная группа для всех n ≥1. Это просто, если n >2, тогда как при n =1 это S ₃ , а при n = 2 это S ₆ с простой подгруппой индекса 2, а именно A ₆ . 3-транспозиции имеют вид x ↦ x +( x , v ) v для ненулевого v .

Специальная унитарная группа SU _n (2) имеет порядок

$2^{n(n-1)/2}(2^{2}-1)(2^{3}+1)\cdots (2^{n}-(-1)^{n})$

Проективная специальная унитарная группа PSU _n (2) является фактором специальной унитарной группы SU _n (2) по подгруппе M всех скалярных линейных преобразований в SU _n (2). Подгруппа M является центром SU _n (2). Кроме того, M имеет порядок gcd(3, n ).

Группа PSU _n (2) является простой, если n >3, тогда как при n =2 она является S ₃ и при n =3 имеет структуру 3 ² :Q ₈ (Q ₈ = группа кватернионов).

И SU _n (2), и PSU _n (2) являются 3-транспозиционными группами для n =2 и для всех n ≥4. 3-транспозиции SU _n (2) для n =2 или n ≥4 имеют вид x ↦ x +( x , v ) v для ненулевых векторов v нулевой нормы. 3-транспозиции PSU _n (2) для n =2 или n ≥4 являются образами 3-транспозиций SU _n (2) при естественном фактор-отображении из SU _n (2) в PSU _n (2)= СУ _н (2)/ М .

Ортогональная группа O _{2 n} ^± (2) имеет порядок

$2\times 2^{n(n-1)}(2^{2}-1)(2^{4}-1)\cdots (2^{2n-2}-1)(2^{n}\mp 1)$

(Над полями характеристики 2 ортогональная группа в нечетных измерениях изоморфна симплектическим группам.) Она имеет подгруппу индекса 2 (иногда обозначаемую Ω _{2 n} ^± (2)), что просто, если n >2.

Группа О _{2 н} ^м (2) является 3-транспонирующей группой для всех n >2 и µ=±1. 3-транспозиции имеют вид x ↦ x +( x , v ) v для векторов v таких, что Q (v)=1, где Q — основная квадратичная форма ортогональной группы.

Ортогональные группы O _n ^± (3) представляют собой группы автоморфизмов квадратичных форм Q над полем из 3 элементов такие, что дискриминант билинейной формы ( a , b ) = Q ( a + b ) − Q ( a ) − Q ( b ) равен ±1 . Группа О _н ^РС (3), где µ и σ — знаки, является подгруппой O _n ^м (3) порождено отражениями относительно векторов v с Q ( v ) = +1, если σ равно + и является подгруппой O _n ^м (3) порождено отражениями относительно векторов v с Q ( v )=-1, если σ равно −.

Для µ=±1 и σ=±1 пусть PO _n ^РС (3)=О _н ^РС (3)/ Z , где Z — группа всех скалярных линейных преобразований в O _n ^РС (3). Если n >3, то Z — центр _On ^РС (3).

Для µ=±1 пусть Ω _n ^м (3) — производная подгруппа группы O _n ^м (3). Пусть PΩ _n ^м (3)= Ом _n ^м (3)/ X , где X — группа всех скалярных линейных преобразований в Ω _n ^м (3). Если n >2, то X — центр Ω _n ^м (3).

Если n =2 m +1 нечетно, то две ортогональные группы O _n ^± (3) изоморфны и имеют порядок

$2\times 3^{m^{2}}(3^{2}-1)(3^{4}-1)\cdots (3^{2m}-1)$

и О _н ^+,+ (3) ≅ О _н ^−,− (3) (центральный порядок 1 при n >3) и O _n ^−,+ (3) ≅ О _н ^+,− (3) (центральный порядок 2 для n >3), поскольку две квадратичные формы скалярно кратны друг другу с точностью до линейной эквивалентности.

Если n =2 m — это четные две ортогональные группы O _n ^± (3) иметь заказы

$2\times 3^{m(m-1)}(3^{2}-1)(3^{4}-1)\cdots (3^{2m-2}-1)(3^{m}\mp 1)$

и О _н ^+,+ (3) ≅ О _н ^+,− (3), и О _н ^−,+ (3) ≅ О _н ^−,− (3), потому что два класса транспозиций заменяются элементом общей ортогональной группы, который умножает квадратичную форму на скаляр. Если n =2 m , m >1 и m четное, то центр O _n ^+,+ (3) ≅ О _н ^+,− (3) имеет порядок 2, а центр _On ^−,+ (3) ≅ О _н ^−,− (3) имеет порядок 1. Если n =2 m , m >2 и m нечетно, то центр _On ^+,+ (3) ≅ О _н ^+,− (3) имеет порядок 1 и центр _On ^−,+ (3) ≅ О _н ^−,− (3) имеет порядок 2.

Если n >3, µ=±1 и σ=±1, группа O _n ^РС (3) является 3-транспозиционной группой. 3-транспозиции группы _On ^РС (3) имеют вид x ↦ x −( x , v ) v /Q( v )= x +( x , v )/( v , v ) для векторов v с Q ( v ) = σ, где Q — лежащая в основе квадратичная форма O _n ^м (3).

Если n >4, µ=±1 и σ=±1, то O _n ^РС (3) имеет индекс 2 в ортогональной группе O _n ^м (3). Группа О _н ^РС (3) имеет подгруппу индекса 2, а именно Ω _n ^м (3), что просто по модулю их центров (имеющих порядок 1 или 2). Другими словами, PΩ _n ^м (3) просто.

Если n >4 нечетно и (μ,σ)=(+,+) или (−,−), то O _n ^м,+ (3) и ПО _н ^м,+ (3) оба изоморфны SO _n ^м (3)=Ом _н ^м (3):2, где SO _n ^м (3) является специальной ортогональной группой базовой квадратичной формы Q . Кроме того, Ω _n ^м (3) изоморфно PΩ _n ^м (3), а также неабелева и простая.

Если n >4 нечетно и (μ,σ)=(+,−) или (−,+), то O _n ^м,+ (3) изоморфно Ω _n ^м (3)×2 и O _n ^м,+ (3) изоморфно Ω _n ^м (3). Кроме того, Ω _n ^м (3) изоморфно PΩ _n ^м (3), а также неабелева и простая.

Если n >5 четно, µ=±1 и σ=±1, то O _n ^м,+ (3) имеет вид Ω _n ^м (3):2 и PO _n ^м,+ (3) имеет вид PΩ _n ^м (3):2. Кроме того, PОм _n ^м (3) неабелева и проста.

Fi ₂₂ имеет порядок 2 ¹⁷ .3 ⁹ .5 ² .7.11.13 = 64561751654400 и это просто.

Fi ₂₃ имеет порядок 2 ¹⁸ .3 ¹³ .5 ² .7.11.13.17.23 = 4089470473293004800 и это просто.

Fi ₂₄ имеет порядок 2 ²² .3 ¹⁶ .5 ² .7 ³ .11.13.17.23.29 и имеет простую подгруппу индекса 2, а именно Fi ₂₄ '.

Изоморфизмы и разрешимые случаи

Существует множество вырожденных (разрешимых) случаев и изоморфизмов между 3-транспозиционными группами малой степени следующим образом ( Aschbacher 1997 , стр. 46):

Разрешимые группы

Следующие группы не фигурируют в заключении теоремы Фишера, поскольку они разрешимы (с порядком, умноженным на степень 2, умноженную на степень 3).

$S_{1}=SU_{1}(2)=PSU_{1}(2)=O_{1}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{1}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{1}^{\pm ,\mp }(3)$ имеет порядок 1.

$S_{2}=O_{2}^{+}(2)=O_{1}^{\pm ,\mp }(3)=O_{2}^{+,\pm }(3)=PO_{2}^{+,\pm }(3)=PO_{2}^{-,\pm }(3)$ имеет порядок 2 и является 3-транспозиционной группой.

$O_{2}^{-,\pm }(3)=PO_{3}^{\pm ,\mp }(3)=2^{2}$ элементарна абелева порядка 4 и не является 3-транспонирующей группой.

$S_{3}=Sp_{2}(2)=SU_{2}(2)=PSU_{2}(2)=O_{2}^{-}(2)$ имеет порядок 6 и является 3-транспозиционной группой.

$O_{3}^{\pm ,\mp }(3)=2^{3}$ элементарна абелева порядка 8 и не является 3-транспонирующей группой.

$S_{4}=O_{3}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{3}^{\pm ,\pm }(3)$ имеет порядок 24 и является 3-транспозиционной группой.

$PSU_{3}(2)=3^{2}:Q_{8}$ имеет порядок 72 и не является 3-транспозиционной группой, где Q ₈ обозначает группу кватернионов.

$O_{4}^{+}(2)=(S_{3}\times S_{3}):2$ имеет порядок 72 и не является 3-транспозиционной группой.

$SU_{3}(2)=3^{1+2}:Q_{8}$ имеет порядок 216 и не является 3-транспозиционной группой, где 3 ¹⁺² обозначает экстраспециальную группу порядка 27 и показателя 3, а Q ₈ обозначает группу кватернионов.

$PO_{4}^{+,\pm }(3)=(A_{4}\times A_{4}):2$ имеет порядок 288 и не является 3-транспозиционной группой.

$O_{4}^{+,\pm }(3)=(SL_{2}(3)*SL_{2}(3)):2$ имеет порядок 576, где * обозначает непрямое центральное произведение, и это не 3-транспозиционная группа.

Изоморфизмы

Есть еще несколько изоморфизмов, включающих группы в заключение теоремы Фишера, а именно. В этом списке также указаны группы Вейля диаграмм Дынкина ADE, которые все являются 3-транспонирующими группами, за исключением W(D ₂ )=2. ² , с группами из списка Фишера (W обозначает группу Вейля).

$S_{5}=O_{4}^{-}(2)$ имеет порядок 120 и является 3-транспозиционной группой.

$S_{6}=Sp_{4}(2)=O_{4}^{-,\pm }(3)=PO_{4}^{-,\pm }(3)$ имеет порядок 720 (и 2 класса 3-транспозиций), и группа является 3-транспозиционной группой.

$S_{8}=O_{6}^{+}(2)=$ имеет порядок 40320 и группа представляет собой 3-транспозиционную группу.

$W(E_{6})=O_{6}^{-}(2)=O_{5}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{5}^{\pm ,\pm }(3)$ имеет порядок 51840 и группа представляет собой 3-транспозиционную группу.

$PO_{5}^{\pm ,\mp }(3)=SU_{4}(2)=PSU_{4}(2)$ имеет порядок 25920 и представляет собой 3-транспозиционную группу.

$W(E_{7})=2\times Sp_{6}(2)$ имеет порядок 2903040 и группа представляет собой 3-транспозиционную группу.

$W(E_{8})=2.O_{8}^{+}(2)$ имеет порядок 69672960 и группа представляет собой 3-транспозиционную группу.

$O_{4s}^{+,+}(3)=O_{4s}^{+,-}(3)=2.PO_{4s}^{+,+}(3)=2.PO_{4s}^{+,-}(3)$ для всех s ≥1, и группа является 3-транспонирующей группой, если s ≥2.

$O_{4s}^{-,+}(3)=O_{4s}^{-,-}(3)=PO_{4s}^{-,+}(3)=PO_{4s}^{-,-}(3)$ для всех s ≥1, и группа является 3-транспонирующей группой для всех s ≥1.

$O_{4s+2}^{+,+}(3)=O_{4s+2}^{+,-}(3)=2.PO_{4s+2}^{+,+}(3)=2.PO_{4s+2}^{+,-}(3)$ для всех s ≥0, и группа является 3-транспонирующей группой для всех s ≥0.

$O_{4s+2}^{-,+}(3)=O_{4s+2}^{-,-}(3)=PO_{4s+2}^{-,+}(3)=PO_{4s+2}^{-,-}(3)$ для всех s ≥0, и группа является 3-транспонирующей группой, если s ≥1.

$O_{2m+1}^{+,+}(3)=O_{2m+1}^{-,-}(3)=PO_{2m+1}^{+,+}(3)=PO_{2m+1}^{-,-}(3)$ для всех m ≥0, и группа является 3-транспонирующей группой, если m ≥1.

$O_{2m+1}^{-,+}(3)=O_{2m+1}^{+,-}(3)=2\times PO_{2m+1}^{-,+}(3)=2\times PO_{2m+1}^{+,-}(3)$ для всех m ≥0, и группа является 3-транспонирующей группой, если m =0 или m ≥2.

$W(A_{n})=S_{n+1}$ для всех n ≥1, и группа является 3-транспонирующей группой для всех n≥1.

$W(D_{n})=2^{n-1}.S_{n}$ для всех n ≥2, и группа является 3-транспонирующей группой, если n≥3.

Доказательство

Идея доказательства состоит в следующем. Предположим, что D — класс 3-транспозиций в G и d ∈ D , и пусть H — подгруппа, порожденная множеством D _d элементов D, коммутирующих с d . Тогда D _d является набором 3-транспозиций H , поэтому группы 3-транспозиций можно классифицировать индукцией по порядку, находя все возможности для G с учетом любой 3-транспозиции группы H . Для простоты предположим, что производная группа G совершенна (этому условию удовлетворяют все группы, кроме двух, включающих автоморфизмы тройственности).

• Если O ₃ ( H ) не содержится в Z ( H ), то G — симметрическая группа S ₅
• Если O ₂ ( H ) не содержится в Z ( H ), то L = H / O ₂ ( H ) является 3-транспозиционной группой, а L / Z ( L ) имеет любой тип Sp(2 n , 2) в в каком случае G / Z ( G ) имеет тип Sp _{2 n +2} (2) или типа PSU _n (2), в каком случае G / Z ( G ) имеет тип PSU _{n +2} (2)
• Если H / Z ( H ) имеет тип S _n, то либо G имеет тип S _{n +2,} либо n = 6, а G имеет тип O _6. ⁻ (2)
• Если H / Z ( H ) имеет тип Sp _{2 n} (2) с 2 n ≥ 6, то G имеет тип O _{2 n +2.} ^м (2)
• H / Z ( H ) не может иметь тип O _{2 n} ^м (2) для n ≥ 4.
• Если H / Z ( H ) имеет тип PO _n ^{м, п} (3) при n >4 G имеет тип PO _{n +1} ^{−б, р} (3).
• Если H / Z ( H ) имеет тип PSU _n (2) для n ≥ 5, то n = 6 и G имеет тип Fi ₂₂ (а H — исключительное двойное накрытие PSU ₆ (2))
• Если H / Z ( H ) имеет тип Fi ₂₂ , то G имеет тип Fi ₂₃ и H — двойное накрытие Fi ₂₂ .
• Если H / Z ( H ) имеет тип Fi ₂₃ , то G имеет тип Fi ₂₄ , а H является произведением Fi ₂₃ и группы порядка 2.
• H / Z ( H ) не может иметь тип Fi ₂₄ .

3-транспозиции и теория графов

Плодотворно рассматривать 3-транспозиции как вершины графа . Объедините пары, которые не коммутируют, т. е. имеют произведение порядка 3. Граф связен, если в группе нет прямого разложения произведения. Графы, соответствующие наименьшим симметрическим группам, являются знакомыми графами. 3 транспозиции S ₃ образуют треугольник. Шесть транспозиций S ₄ образуют октаэдр. 10 транспозиций S ₅ образуют дополнение графа Петерсена .

Симметрическую группу S _n можно сгенерировать с помощью n –1 транспозиций: (1 2), (2 3), ..., ( n −1 n ), и график этого порождающего набора представляет собой прямую линию. определения группы Sn _{Он воплощает достаточные отношения для} .

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (1997), 3-транспозиционные группы , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-57196-8 , MR   1423599 , заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 6 декабря 2010 г., содержит полное доказательство теоремы Фишера.
• Фишер, Бернд (1964), «Дистрибутивные квазигруппы конечного порядка», Mathematical Journal , 83 (4): 267–303, doi : 10.1007/BF01111162 , ISSN   0025-5874 , MR   0160845 , S2CID   123008891
• Фишер, Бернд (1970), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями , препринт, Ковентри: Математический институт, Уорикский университет. Первая часть этого препринта (4 из 19 разделов) была опубликована как Фишер, Бернд (1971), «Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I», Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, Bibcode : 1971InMat..13..232F , doi : 10.1007/BF01404633 , MR   0294487 , S2CID   120817150 Последняя часть с построением групп Фишера до сих пор не опубликована (по состоянию на 2014 год).
• Манин, Юрий Иванович (1986) [1972], Кубические формы , Математическая библиотека Северной Голландии, вып. 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-87823-6 , МР   0833513
• Вайс, Ричард (1983), «О характеристике Фишером Sp _2n (2) и Un ₍ 2)», Communications in Algebra , 11 (22): 2527–54, doi : 10.1080/00927878308822979 , MR   0733341
• Вайс, Ричард (1985), «Лемма о единственности групп, порожденных 3-транспозициями» , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 97 (3): 421–431, Бибкод : 1985MPCPS..97..421W , doi : 10.1017/С030500410006299С , МР   0778676 , С2КИД   123397959