Группа Фишера

Для нильпотентной подгруппы конечной группы см. подгруппу Фишера .

В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Фишера — это три спорадические простые группы Fi ₂₂ , Fi ₂₃ и Fi _24, введенные Берндом Фишером ( 1971 , 1976 ).

3-транспозиционные группы

Основная статья: 3-транспозиционная группа

Группы Фишера названы в честь Бернда Фишера, который открыл их при исследовании 3-транспозиционных групп. Это группы G со следующими свойствами:

• G порождается классом сопряженности элементов порядка 2, называемым «транспозициями Фишера» или 3-транспозициями.
• Произведение любых двух различных транспозиций имеет порядок 2 или 3.

Типичным примером 3-транспозиционной группы является симметрическая группа ,где транспозиции Фишера являются настоящими транспозициями. Симметричную группу S _n можно порождена n − 1 транспозициями: (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .

Фишер смог классифицировать группы 3-транспозиций, удовлетворяющие некоторым дополнительным техническим условиям. Найденные им группы в основном распадались на несколько бесконечных классов (помимо симметричных групп: некоторые классы симплектических, унитарных и ортогональных групп), но он также нашел 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно обозначаются как Fi ₂₂ , Fi ₂₃ и Fi ₂₄ . Первые две из них — простые группы, а третья содержит простую группу Fi ₂₄ ′ индекса 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU ₆ (2), которую можно рассматривать как группу Fi ₂₁ в серии групп Фишера порядка 9 196 830 720 = 2. ¹⁵ ⋅3 ⁶ ⋅5⋅7⋅11 . Фактически именно двойная крышка 2.PSU ₆ (2) становится подгруппой новой группы. Это стабилизатор одной вершины в графе 3510 (= 2⋅3 ³ ⋅5⋅13). Эти вершины идентифицируются как сопряженные 3-транспозиции в группе симметрии Fi ₂₂ графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большими группами Матье . В Fi ₂₂ максимальный набор 3-транспозиций, коммутирующих друг с другом, имеет размер 22 и называется базовым набором. Существует 1024 3-транспозиции, называемые анабасическими , которые не коммутируют ни с одной из определенных базовых множеств. Любой из остальных 2464, называемых шестнадцатеричными , коммутирует с 6 основными. Наборы из 6 образуют систему Штейнера S(3,6,22) , группа симметрии которой равна M ₂₂ . Базовый набор порождает абелеву группу порядка 2. ¹⁰ , продолжающийся в Fi ₂₂ до подгруппы 2 ¹⁰ :М ₂₂ .

Следующая группа Фишера рассматривает 2.Fi ₂₂ как одноточечный стабилизатор для графика 31671 (= 3 ⁴ ⋅17⋅23) вершин и рассматривать эти вершины как 3-транспозиции в группе Fi ₂₃ . 3-транспозиции входят в базовые наборы по 23 штуки, 7 из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией.

Далее берется Fi ₂₃ и рассматривается как одноточечный стабилизатор для графика 306936 (= 2 ³ ⋅3 ³ ⋅7 ² ⋅29) вершин, чтобы составить группу Fi ₂₄ . 3-транспозиции входят в базовые наборы по 24 штуки, восемь из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией. Группа Fi ₂₄ не является простой, но ее производная подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

Обозначения

Для этих групп не существует общепринятых обозначений. Некоторые авторы используют F вместо Fi ( _{F 22} например, ).Обозначения Фишера для них были M(22), M(23) и M(24)', что подчеркивало их тесную связь с тремя крупнейшими Группы Матье , М ₂₂ , М ₂₃ и М ₂₄ .

Одним из конкретных источников путаницы является то, что Fi ₂₄ иногда используется для обозначения простой группы Fi ₂₄ ′, а иногда используется для обозначения полной группы 3-транспозиции (которая в два раза больше).

самогон

Джон Х. Конвей и Саймон П. Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон характерен не только для монстров, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln (главных или главных модулей) из простых комбинаций измерений спорадических групп.

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (1997), 3-транспозиционные группы , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511759413 , ISBN.  978-0-521-57196-8 , MR   1423599 , заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 6 декабря 2010 г., содержит полное доказательство теоремы Фишера.
• Фишер, Бернд (1971), «Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I», Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, doi : 10.1007/BF01404633 , ISSN   0020-9910 , MR   0294487. Это первая часть Препринт Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
• Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями , Препринт, Математический институт, Уорикский университет
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN.  978-1-84800-987-5 , Збл   1203.20012
• Уилсон, Р.А. «АТЛАС представления конечных групп»
  https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo