Группа Фишера Fi ₂₂

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Фишера Fi ₂₂ представляет собой спорадическую простую порядка группу

64,561,751,654,400

= 2 ¹⁷ · 3 ⁹ · 5 ² · 7 · 11 · 13

≈ 6 × 10 ¹³.

История

Fi ₂₂ — одна из 26 спорадических групп и самая маленькая из трёх групп Фишера. Он был введен Берндом Фишером ( 1971 , 1976 ) при исследовании 3-транспозиционных групп .

Внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, а мультипликатор Шура имеет порядок 6.

Представительства

Группа Фишера Fi ₂₂ имеет действие ранга 3 на графе из 3510 вершин, соответствующих ее 3-транспозициям, со стабилизатором точки - двойным накрытием группы PSU ₆ (2). Он также имеет два действия ранга 3 на 14080 точек, замененных внешним автоморфизмом.

Fi ₂₂ имеет неприводимое вещественное представление размерности 78. Приведение интегральной формы этого mod 3 дает представление Fi ₂₂ над полем с 3 элементами, фактор которого по одномерному пространству фиксированных векторов является 77-мерным неприводимым представлением. .

Совершенное тройное накрытие Fi ₂₂ имеет неприводимое представление размерности 27 над полем с 4 элементами. Это связано с тем, что Fi ₂₂ является подгруппой ²Е6 ₂ ( ²). все таблицы обычных и модульных символов Fi ₂₂Рассчитаны . Hiss & White (1994) нашли 5-модульную таблицу символов, а Noeske (2007) — 2- и 3-модульную таблицу символов.

Группа автоморфизмов Fi ₂₂ централизует элемент порядка 3 в группе младенцев-монстров .

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон характерен не только для монстров, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для Fi ₂₂ ряд Маккея-Томпсона равен $T_{6A}(\tau )$ где можно установить a(0) = 10 ( OEIS : A007254 ),

{\begin{aligned}j_{6A}(\tau )&=T_{6A}(\tau )+10\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (6\tau )}}\right)^{3}+2^{3}\left({\tfrac {\eta (2\tau )\,\eta (6\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (3\tau )}}\right)^{3}\right)^{2}\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}{\eta (3\tau )\,\eta (6\tau )}}\right)^{2}+3^{2}\left({\tfrac {\eta (3\tau )\,\eta (6\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+10+79q+352q^{2}+1431q^{3}+4160q^{4}+13015q^{5}+\dots \end{aligned}}

η Дедекинда ( τ ) — эта-функция .

Максимальные подгруппы

Уилсон (1984) нашел 14 классов сопряженности максимальных подгрупп Fi ₂₂ следующим образом:

Максимальные подгруппы *Fi ₂₂*
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	2 _U ( 2 ₆ )	18,393,661,440 = 2 ¹⁶·3 ⁶·5·7·11	централизатор инволюции класса 2А
2,3	О ₇ (3)	4,585,351,680 = 2 ⁹·3 ⁹·5·7·13	два класса, слитые внешним автоморфизмом
4	ТО ⁺ ₈ (2):С ₃	1,045,094,400 = 2 ¹³·3 ⁶·5 ²·7	централизатор внешнего автоморфизма порядка 2 (класс 2D)
5	2 ¹⁰: М ₂₂	454,164,480 = 2 ¹⁷·3 ²·5·7·11
6	2 ⁶:С ₆ (2)	92,897,280 = 2 ¹⁵·3 ⁴·5·7
7	(2 × 2 ¹⁺⁸):(У ₄ (2):2)	53,084,160 = 2 ¹⁷·3 ⁴·5	централизатор инволюции класса 2В
8	У ₄ (3):2 × С ₃	39,191,040 = 2 ⁹·3 ⁷·5·7	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А)
9	²Ф ₄ (2)'	17,971,200 = 2 ¹¹·3 ³·5 ²·13	группа "Сиськи"
10	2 ⁵⁺⁸:(S ₃ х А ₆ )	17,694,720 = 2 ¹⁷·3 ³·5
11	3 ¹⁺⁶:2 ³⁺⁴:3 ²:2	5,038,848 = 2 ⁸·3 ⁹	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3В)
12,13	С ₁₀	3,628,800 = 2 ⁸·3 ⁴·5 ²·7	два класса, слитые внешним автоморфизмом
14	М ₁₂	95,040 = 2 ⁶·3 ³·5·11

Ссылки

Ашбахер, Майкл (1997), 3-транспозиционные группы , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511759413 , ISBN. 978-0-521-57196-8 , MR 1423599 , заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 21 июня 2012 г., содержит полное доказательство теоремы Фишера.
Конвей, Джон Хортон (1973), «Конструкция наименьшей группы Фишера F ₂₂ », у Шулта и Эрнеста Э.; Хейл, Марк П.; Гаген, Терренс (ред.), Конечные группы '72 (Материалы Гейнсвиллской конференции по конечным группам, Университет Флориды, Гейнсвилл, Флорида, 23–24 марта 1972 г.) , Математические исследования Северной Голландии, том. 7, Амстердам: Северная Голландия, стр. 27–35, MR 0372016.
Фишер, Бернд (1971), «Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I», Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, doi : 10.1007/BF01404633 , ISSN 0020-9910 , MR 0294487. Это первая часть Препринт Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями , Препринт, Математический институт, Уорикский университет
Хисс, Герхард; Уайт, Дональд Л. (1994), «5-модульные характеры накрывающей группы спорадической простой группы Фишера Fi ₂₂ и ее группы автоморфизмов», Communications in Algebra , 22 (9): 3591–3611, doi : 10.1080/ 00927879408825043 , ISSN 0092-7872 , МР 1278807
Ноеске, Феликс (2007), «2- и 3-модульные характеры спорадической простой группы Фишера Fi ₂₂ и ее покрытие», Journal of Algebra , 309 (2): 723–743, doi : 10.1016/j.jalgebra. 2006.06.020 , ISSN 0021-8693 , МР 2303203
Уилсон, Роберт А. (1984), «О максимальных подгруппах группы Фишера Fi ₂₂ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 95 (2): 197–222, doi : 10.1017/S0305004100061491 , ISSN 0305-0041 , MR 0735364
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012
Уилсон, Р.А. АТЛАС представлений конечных групп.

Внешние ссылки