Группа перестановок 3-го ранга

В математической теории конечных групп группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве, таком что стабилизатор точки имеет 3 орбиты . Изучение этих групп было начато Хигманом ( 1964 , 1971 ). Некоторые из спорадических простых групп были обнаружены как группы перестановок 3-го ранга.

Классификация

Все примитивные группы перестановок ранга 3 относятся к одному из следующих классов:

Кэмерон (1981) классифицировал такие, что $T\times T\leq G\leq T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z$ где цоколь T группы T ₀ простой, а T ₀ — 2-транзитивная группа степени √ n .
Либек (1987) классифицировал группы с регулярной элементарной абелевой нормальной подгруппой.
Баннаи (1971–72) классифицировал те, у которых цоколь представляет собой простую чередующуюся группу.
Кантор и Либлер (1982) классифицировали те, у которых цоколь представляет собой простую классическую группу.
Либек и Саксль (1986) классифицировали особей, цоколь которых представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.

Примеры

Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S , то ее действие на парах элементов S является группой перестановок ранга 3. ^[1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матье обладают 4-транзитивными действиями, поэтому их можно превратить в группы перестановок 3-го ранга.

Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.

Некоторые 3-транспозиционные группы являются группами перестановок ранга 3 (по действию на транспозиции).

Точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одной из орбит, обычно является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько «цепочек» групп перестановок ранга 3, таких как цепочка Сузуки и цепочка, заканчивающаяся группами Фишера .

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из ( Liebeck & Saxl 1986 )) перечислены ниже.

Для каждой строки в таблице ниже, в сетке в столбце с пометкой «размер», число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трёх орбит стабилизатора точки перестановки группы — 1, 6 и 8 соответственно.

Группа	Точечный стабилизатор	размер	Комментарии
А ₆ = L ₂ (9) = Sp ₄ (2)' = М ₁₀ '	С ₄	15 = 1+6+8	Пары точек или наборы из 3 блоков по 2 в представлении перестановки из 6 точек; два класса
A_А9	Л ₂ (8):3	120 = 1+56+63	Проекционная линия П ₁ (8); два класса
A ₁₀	(A ₅×A ₅):4	126 = 1+25+100	Наборы из 2 блоков по 5 в естественном представлении перестановок из 10 точек
Л ₂ (8)	7:2 = Дыхание(7)	36 = 1+14+21	Пары очков в П ₁ (8)
Л ₃ (4)	А ₆	56 = 1+10+45	Гиперовалы в P ₂ (4); три класса
Л ₄ (3)	ПСп ₄ (3):2	117 = 1+36+80	Симплектические полярности P ₃ (3); два класса
Г ₂ (2)' = У ₃ (3)	ПСЛ ₃ (2)	36 = 1+14+21	Цепь Сузуки
У ₃ (5)	A ₇	50 = 1+7+42	Действие на вершинах графа Хоффмана-Синглтона ; три класса
У ₄ (3)	Л ₃ (4)	162 = 1+56+105	Два класса
Сп ₆ (2)	Г ₂ (2) = У ₃ (3):2	120 = 1+56+63	Группа Шевалле типа G _2, действующая на алгебре октонионов над GF(2)
Ой ₇ (3)	Г ₂ (3)	1080 = 1+351+728	Группа Шевалле типа G2 _, действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса
У6 ₎ (2	У ₄ (3):2 ₂	1408 = 1+567+840	Стабилизатор точки — это образ линейного представления, полученный в результате «обрушения» комплексного представления группы Митчелла (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
М ₁₁	М ₉ :2 = 3 ²:SD ₁₆	55 = 1+18+36	Пары точек в представлении перестановок из 11 точек
М ₁₂	М ₁₀ :2 = А ₆ ,2 ² = ПЛ(2,9)	66 = 1+20+45	Пары точек или пары дополнительных блоков S(5,6,12) в представлении перестановок с 12 точками; два класса
М ₂₂	2 ⁴:А ₆	77 = 1+16+60	Блоки S(3,6,22)
Дж ₂	У ₃ (3)	100 = 1+36+63	цепь Сузуки ; действие на вершинах графа Холла-Янко
Группа Хигмана-Симса HS	М ₂₂	100 = 1+22+77	Действие на вершинах графа Хигмана-Симса
М ₂₂	A ₇	176 = 1+70+105	Два класса
М ₂₃	М ₂₁ :2 = L ₃ (4):2 ₂ = PΣL(3,4)	253 = 1+42+210	Пары точек в представлении перестановок из 23 точек
М ₂₃	2 ⁴:A ₇	253 = 1+112+140	Блоки S(4,7,23)
Группа Маклафлина McL	У ₄ (3)	275 = 1+112+162	Действие на вершинах графа Маклафлина
М ₂₄	М ₂₂ :2	276 = 1+44+231	Пары точек в 24-точечном представлении перестановок
Г ₂ (3)	У ₃ (3):2	351 = 1+126+244	Два класса
Г ₂ (4)	Дж ₂	416 = 1+100+315	Цепь Сузуки
М ₂₄	М ₁₂ :2	1288 = 1+495+792	Пары дополнительных додекад в 24-точечном представлении перестановок
Группа Сузуки Суз	Г ₂ (4)	1782 = 1+416+1365	Цепь Сузуки
Г ₂ (4)	У ₃ (4):2	2016 = 1+975+1040
Со ₂	ПГУ ₆ (2):2	2300 = 1+891+1408
Группа Рудвалис Ру	²Ф4 _{( 2} )	4060 = 1+1755+2304
Фи ₂₂	2.БП ₆ (2)	3510 = 1+693+2816	3-транспозиции
Фи ₂₂	Ой ₇ (3)	14080 = 1+3159+10920	Два класса
Фи ₂₃	2. Фи ₂₂	31671 = 1+3510+28160	3-транспозиции
Г ₂ (8).3	СУ ₃ (8).6	130816 = 1+32319+98496
Фи ₂₃	ПОм ₈⁺(3).С ₃	137632 = 1+28431+109200
Фи ₂₄ '	Фи ₂₃	306936 = 1+31671+275264	3-транспозиции

Примечания

^ Три орбиты: сама фиксированная пара; те пары, которые имеют один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общего элемента с фиксированной парой.

Ссылки

Баннаи, Эйичи (1971–72), «Максимальные подгруппы низкого ранга конечных симметричных и знакопеременных групп», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел ИА. Математика , 18 : 475–486, ISSN 0040-8980 , МР 0357559
Брауэр, А.Е.; Коэн, AM; Ноймайер, Арнольд (1989), Дистанционно-регулярные графы , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 18, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-50619-5 , МР 1002568
Кэмерон, Питер Дж. (1981), «Конечные группы перестановок и конечные простые группы», Бюллетень Лондонского математического общества , 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628 , doi : 10.1112/blms/13.1 .1 , ISSN 0024-6093 , МР 0599634
Хигман, Дональд Г. (1964), «Конечные группы перестановок ранга 3» (PDF) , Mathematical Journal , 86 (2): 145–156, doi : 10.1007/BF01111335 , hdl : 2027.42/46298 , ISSN 0025-5874 , МР 0186724 , S2CID 51836896
Хигман, Дональд Г. (1971), «Обзор некоторых вопросов и результатов, касающихся групп перестановок ранга 3» , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , vol. 1, Готье-Виллар, стр. 361–365, MR 0427435.
Кантор, Уильям М .; Либлер, Роберт А. (1982), «Представления перестановок ранга 3 конечных классических групп» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 271 (1): 1–71, doi : 10.2307/1998750 , ISSN 0002- 9947 , JSTOR 1998750 , MR 0648077
Либек, Мартин В. (1987), «Аффинные группы перестановок третьего ранга», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735 , doi : 10.1112/plms /с3-54.3.477 , ISSN 0024-6115 , МР 0879395
Либек, Мартин В .; Саксл, Ян (1986), «Конечные примитивные группы подстановок третьего ранга», Бюллетень Лондонского математического общества , 18 (2): 165–172, doi : 10.1112/blms/18.2.165 , ISSN 0024-6093 , МР 0818821

[1] Три орбиты: сама фиксированная пара; те пары, которые имеют один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общего элемента с фиксированной парой.

[1]