Группа перестановок 3-го ранга
В математической теории конечных групп группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве, так что стабилизатор точки имеет 3 орбиты . Изучение этих групп было начато Хигманом ( 1964 , 1971 ). Некоторые из спорадических простых групп были обнаружены как группы перестановок 3-го ранга.
Классификация
[ редактировать ]Все примитивные группы перестановок ранга 3 относятся к одному из следующих классов:
- Кэмерон (1981) классифицировал такие, что где цоколь T группы T 0 простой, а T 0 — 2-транзитивная группа степени √ n .
- Либек (1987) классифицировал группы с регулярной элементарной абелевой нормальной подгруппой.
- Баннаи (1971–72) классифицировал те, у которых цоколь представляет собой простую чередующуюся группу.
- Кантор и Либлер (1982) классифицировали те, у которых цоколь представляет собой простую классическую группу.
- Либек и Саксль (1986) классифицировали особей, цоколь которых представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.
Примеры
[ редактировать ]Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S , то ее действие на парах элементов S является группой перестановок ранга 3. [1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матье обладают 4-транзитивными действиями, поэтому их можно превратить в группы перестановок 3-го ранга.
Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.
Некоторые 3-транспозиционные группы являются группами перестановок ранга 3 (по действию на транспозиции).
Обычно точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одной из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько «цепочек» групп перестановок ранга 3, таких как цепочка Сузуки и цепочка, заканчивающаяся группами Фишера .
Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из ( Liebeck & Saxl 1986 )) перечислены ниже.
Для каждой строки в таблице ниже, в сетке в столбце с пометкой «размер», число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трёх орбит стабилизатора точки перестановки группы — 1, 6 и 8 соответственно.
Группа | Точечный стабилизатор | размер | Комментарии |
---|---|---|---|
А 6 = L 2 (9) = Sp 4 (2)' = М 10 ' | С 4 | 15 = 1+6+8 | Пары точек или наборы из 3 блоков по 2 в представлении перестановки из 6 точек; два класса |
AА9 | Л 2 (8):3 | 120 = 1+56+63 | Проекционная линия П 1 (8); два класса |
A 10 | (A 5 ×A 5 ):4 | 126 = 1+25+100 | Наборы из 2 блоков по 5 в естественном представлении перестановок из 10 точек |
Л 2 (8) | 7:2 = Дыхание(7) | 36 = 1+14+21 | Пары очков в П 1 (8) |
Л 3 (4) | А 6 | 56 = 1+10+45 | Гиперовалы в P 2 (4); три класса |
Л 4 (3) | ПСп 4 (3):2 | 117 = 1+36+80 | Симплектические полярности P 3 (3); два класса |
Г 2 (2)' = У 3 (3) | ПСЛ 3 (2) | 36 = 1+14+21 | Цепь Сузуки |
У 3 (5) | A 7 | 50 = 1+7+42 | Действие на вершинах графа Хоффмана-Синглтона ; три класса |
У 4 (3) | Л 3 (4) | 162 = 1+56+105 | Два класса |
Сп 6 (2) | Г 2 (2) = У 3 (3):2 | 120 = 1+56+63 | Группа Шевалле типа G 2, действующая на алгебре октонионов над GF(2) |
Ой 7 (3) | Г 2 (3) | 1080 = 1+351+728 | Группа Шевалле типа G2 , действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса |
У6 ) (2 | У 4 (3):2 2 | 1408 = 1+567+840 | Стабилизатор точки — это образ линейного представления, полученный в результате «обрушения» комплексного представления группы Митчелла (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса |
М 11 | М 9 :2 = 3 2 :SD 16 | 55 = 1+18+36 | Пары точек в представлении перестановок из 11 точек |
М 12 | М 10 :2 = А 6 ,2 2 = ПЛ(2,9) | 66 = 1+20+45 | Пары точек или пары дополнительных блоков S(5,6,12) в представлении перестановок с 12 точками; два класса |
М 22 | 2 4 :А 6 | 77 = 1+16+60 | Блоки S(3,6,22) |
Дж 2 | У 3 (3) | 100 = 1+36+63 | цепь Сузуки ; действие на вершинах графа Холла-Янко |
Группа Хигмана-Симса HS | М 22 | 100 = 1+22+77 | Действие на вершинах графа Хигмана-Симса |
М 22 | A 7 | 176 = 1+70+105 | Два класса |
М 23 | М 21 :2 = L 3 (4):2 2 = PΣL(3,4) | 253 = 1+42+210 | Пары точек в представлении перестановок из 23 точек |
М 23 | 2 4 :A 7 | 253 = 1+112+140 | Блоки S(4,7,23) |
Группа Маклафлина McL | У 4 (3) | 275 = 1+112+162 | Действие на вершинах графа Маклафлина |
М 24 | М 22 :2 | 276 = 1+44+231 | Пары точек в 24-точечном представлении перестановок |
Г 2 (3) | У 3 (3):2 | 351 = 1+126+244 | Два класса |
Г 2 (4) | Дж 2 | 416 = 1+100+315 | Цепь Сузуки |
М 24 | М 12 :2 | 1288 = 1+495+792 | Пары дополнительных додекад в 24-точечном представлении перестановок |
Группа Сузуки Суз | Г 2 (4) | 1782 = 1+416+1365 | Цепь Сузуки |
Г 2 (4) | У 3 (4):2 | 2016 = 1+975+1040 | |
Со 2 | ПГУ 6 (2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
Группа Рудвалис Ру | 2 Ф4 ( 2 ) | 4060 = 1+1755+2304 | |
Фи 22 | 2.БП 6 (2) | 3510 = 1+693+2816 | 3-транспозиции |
Фи 22 | Ой 7 (3) | 14080 = 1+3159+10920 | Два класса |
Фи 23 | 2. Фи 22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3-транспозиции |
Г 2 (8).3 | СУ 3 (8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
Фи 23 | ПОм 8 + (3).С 3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
Фи 24 ' | Фи 23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-транспозиции |
Примечания
[ редактировать ]- ^ Три орбиты: сама фиксированная пара; те пары, которые имеют один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общего элемента с фиксированной парой.
Ссылки
[ редактировать ]- Баннаи, Эйичи (1971–72), «Максимальные подгруппы низкого ранга конечных симметричных и знакопеременных групп», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел ИА. Математика , 18 : 475–486, ISSN 0040-8980 , МР 0357559
- Брауэр, А.Е.; Коэн, AM; Ноймайер, Арнольд (1989), Дистанционно-регулярные графы , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 18, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-50619-5 , МР 1002568
- Кэмерон, Питер Дж. (1981), «Конечные группы перестановок и конечные простые группы», Бюллетень Лондонского математического общества , 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628 , doi : 10.1112/blms/13.1 .1 , ISSN 0024-6093 , МР 0599634
- Хигман, Дональд Г. (1964), «Конечные группы перестановок ранга 3» (PDF) , Mathematical Journal , 86 (2): 145–156, doi : 10.1007/BF01111335 , hdl : 2027.42/46298 , ISSN 0025-5874 , МР 0186724 , S2CID 51836896
- Хигман, Дональд Г. (1971), «Обзор некоторых вопросов и результатов, касающихся групп перестановок ранга 3» , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , vol. 1, Готье-Виллар, стр. 361–365, MR 0427435.
- Кантор, Уильям М .; Либлер, Роберт А. (1982), «Представления перестановок ранга 3 конечных классических групп» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 271 (1): 1–71, doi : 10.2307/1998750 , ISSN 0002- 9947 , JSTOR 1998750 , MR 0648077
- Либек, Мартин В. (1987), «Аффинные группы перестановок третьего ранга», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735 , doi : 10.1112/plms /с3-54.3.477 , ISSN 0024-6115 , МР 0879395
- Либек, Мартин В .; Саксл, Ян (1986), «Конечные примитивные группы подстановок третьего ранга», Бюллетень Лондонского математического общества , 18 (2): 165–172, doi : 10.1112/blms/18.2.165 , ISSN 0024-6093 , МР 0818821