Jump to content

Группа перестановок 3-го ранга

В математической теории конечных групп группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве, так что стабилизатор точки имеет 3 орбиты . Изучение этих групп было начато Хигманом ( 1964 , 1971 ). Некоторые из спорадических простых групп были обнаружены как группы перестановок 3-го ранга.

Классификация

[ редактировать ]

Все примитивные группы перестановок ранга 3 относятся к одному из следующих классов:

  • Кэмерон (1981) классифицировал такие, что где цоколь T группы T 0 простой, а T 0 — 2-транзитивная группа степени n .
  • Либек (1987) классифицировал группы с регулярной элементарной абелевой нормальной подгруппой.
  • Баннаи (1971–72) классифицировал те, у которых цоколь представляет собой простую чередующуюся группу.
  • Кантор и Либлер (1982) классифицировали те, у которых цоколь представляет собой простую классическую группу.
  • Либек и Саксль (1986) классифицировали особей, цоколь которых представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.

Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S , то ее действие на парах элементов S является группой перестановок ранга 3. [1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матье обладают 4-транзитивными действиями, поэтому их можно превратить в группы перестановок 3-го ранга.

Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.

Некоторые 3-транспозиционные группы являются группами перестановок ранга 3 (по действию на транспозиции).

Обычно точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одной из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько «цепочек» групп перестановок ранга 3, таких как цепочка Сузуки и цепочка, заканчивающаяся группами Фишера .

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из ( Liebeck & Saxl 1986 )) перечислены ниже.

Для каждой строки в таблице ниже, в сетке в столбце с пометкой «размер», число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трёх орбит стабилизатора точки перестановки группы — 1, 6 и 8 соответственно.

Группа Точечный стабилизатор размер Комментарии
А 6 = L 2 (9) = Sp 4 (2)' = М 10 ' С 4 15 = 1+6+8 Пары точек или наборы из 3 блоков по 2 в представлении перестановки из 6 точек; два класса
AА9 Л 2 (8):3 120 = 1+56+63 Проекционная линия П 1 (8); два класса
A 10 (A 5 ×A 5 ):4 126 = 1+25+100 Наборы из 2 блоков по 5 в естественном представлении перестановок из 10 точек
Л 2 (8) 7:2 = Дыхание(7) 36 = 1+14+21 Пары очков в П 1 (8)
Л 3 (4) А 6 56 = 1+10+45 Гиперовалы в P 2 (4); три класса
Л 4 (3) ПСп 4 (3):2 117 = 1+36+80 Симплектические полярности P 3 (3); два класса
Г 2 (2)' = У 3 (3) ПСЛ 3 (2) 36 = 1+14+21 Цепь Сузуки
У 3 (5) A 7 50 = 1+7+42 Действие на вершинах графа Хоффмана-Синглтона ; три класса
У 4 (3) Л 3 (4) 162 = 1+56+105 Два класса
Сп 6 (2) Г 2 (2) = У 3 (3):2 120 = 1+56+63 Группа Шевалле типа G 2, действующая на алгебре октонионов над GF(2)
Ой 7 (3) Г 2 (3) 1080 = 1+351+728 Группа Шевалле типа G2 , действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса
У6 ) (2 У 4 (3):2 2 1408 = 1+567+840 Стабилизатор точки — это образ линейного представления, полученный в результате «обрушения» комплексного представления группы Митчелла (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
М 11 М 9 :2 = 3 2 :SD 16 55 = 1+18+36 Пары точек в представлении перестановок из 11 точек
М 12 М 10 :2 = А 6 ,2 2 = ПЛ(2,9) 66 = 1+20+45 Пары точек или пары дополнительных блоков S(5,6,12) в представлении перестановок с 12 точками; два класса
М 22 2 4 6 77 = 1+16+60 Блоки S(3,6,22)
Дж 2 У 3 (3) 100 = 1+36+63 цепь Сузуки ; действие на вершинах графа Холла-Янко
Группа Хигмана-Симса HS М 22 100 = 1+22+77 Действие на вершинах графа Хигмана-Симса
М 22 A 7 176 = 1+70+105 Два класса
М 23 М 21 :2 = L 3 (4):2 2 = PΣL(3,4) 253 = 1+42+210 Пары точек в представлении перестановок из 23 точек
М 23 2 4 :A 7 253 = 1+112+140 Блоки S(4,7,23)
Группа Маклафлина McL У 4 (3) 275 = 1+112+162 Действие на вершинах графа Маклафлина
М 24 М 22 :2 276 = 1+44+231 Пары точек в 24-точечном представлении перестановок
Г 2 (3) У 3 (3):2 351 = 1+126+244 Два класса
Г 2 (4) Дж 2 416 = 1+100+315 Цепь Сузуки
М 24 М 12 :2 1288 = 1+495+792 Пары дополнительных додекад в 24-точечном представлении перестановок
Группа Сузуки Суз Г 2 (4) 1782 = 1+416+1365 Цепь Сузуки
Г 2 (4) У 3 (4):2 2016 = 1+975+1040
Со 2 ПГУ 6 (2):2 2300 = 1+891+1408
Группа Рудвалис Ру 2 Ф4 ( 2 ) 4060 = 1+1755+2304
Фи 22 2.БП 6 (2) 3510 = 1+693+2816 3-транспозиции
Фи 22 Ой 7 (3) 14080 = 1+3159+10920 Два класса
Фи 23 2. Фи 22 31671 = 1+3510+28160 3-транспозиции
Г 2 (8).3 СУ 3 (8).6 130816 = 1+32319+98496
Фи 23 ПОм 8 + (3).С 3 137632 = 1+28431+109200
Фи 24 ' Фи 23 306936 = 1+31671+275264 3-транспозиции

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Три орбиты: сама фиксированная пара; те пары, которые имеют один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общего элемента с фиксированной парой.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5b82ddd9ada65c5754b2b17f816289e7__1685817300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5b/e7/5b82ddd9ada65c5754b2b17f816289e7.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Rank 3 permutation group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)