Группа Конвея Co 2
| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Конвея Co 2 представляет собой спорадическую простую порядка группу
- 42,305,421,312,000
- = 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23
- ≈ 4 × 10 13 .
История и свойства
[ редактировать ]Co 2 является одной из 26 спорадических групп и была открыта ( Конвей , 1968 , 1969 ) как группа автоморфизмов решетки Лича Λ, фиксирующей вектор решетки типа 2 . Таким образом, это подгруппа Co 0 . Она изоморфна подгруппе Co 1 . Прямое произведение 2×Co 2 максимально в Co 0 .
Мультипликатор Шура и автоморфизмов тривиальны . внешняя группа
Представительства
[ редактировать ]Co 2 действует как группа перестановок 3-го ранга на 2300 точках. Эти точки можно отождествить с плоскими шестиугольниками в решетке Лича, имеющими 6 вершин типа 2.
Co 2 действует на 23-мерной четной целой решетке без корней определителя 4, заданной как подрешетка решетки Лича, ортогональная вектору нормы 4. Над полем с двумя элементами оно имеет 22-мерное точное представление; это наименьшее точное представление в любом поле.
Фейт (1974) показал, что если конечная группа имеет абсолютно неприводимое точное рациональное представление размерности 23 и не имеет подгрупп индекса 23 или 24, то она содержится либо в Z /2 Z × Co 2 , либо в Z /2 Z × Co 3. .
Группа Матье M 23 изоморфна максимальной подгруппе Co 2 и одно представление в матрицах перестановок фиксирует вектор типа 2 u = (-3,1 23 ). Блочная сумма ζ инволюции η =
и 5 копий -η также фиксируют тот же вектор. Следовательно, Co 2 имеет удобное матричное представление внутри стандартного представления Co 0 . След ζ равен -8, а инволюции в М 23 имеют след 8.
24-мерная блочная сумма η и -η находится в Co 0 тогда и только тогда, когда число копий η нечетно.
Другое представление фиксирует вектор v = (4,-4,0 22 ). Мономиальная и максимальная подгруппа включает представление M 22 :2, где любое α, меняющее местами первые 2 координаты, восстанавливает v , затем отрицая вектор. Также включены диагональные инволюции, соответствующие октадам (след 8), 16-множествам (след -8) и додекадам (след 0). Можно показать, что Co 2 имеет всего три класса сопряженности инволюций. η оставляет (4,-4,0,0) неизменным; блочная сумма ζ обеспечивает немономиальный генератор, дополняющий это представление Co 2 .
Существует альтернативный способ построить стабилизатор v . Теперь u и u + v = (1,-3,1 22 ) являются вершинами треугольника 2-2-2 (см. ниже). Тогда u , u + v , v и их отрицательные значения образуют компланарный шестиугольник, зафиксированный ζ и M 22 ; они порождают группу Fi 21 ≈ U 6 (2). α (см. выше) расширяет это до Fi 21 :2, который является максимальным в Co 2 . Наконец, Co 0 транзитивен в точках типа 2, так что фиксация u из 23 циклов имеет сопряженную фиксацию v и генерация завершается.
Максимальные подгруппы
[ редактировать ]Некоторые максимальные подгруппы фиксируют или отражают двумерные подрешетки решетки Лича. Обычно эти плоскости определяются треугольниками hkl : треугольниками, включающими начало координат в качестве вершины, а ребра (разности вершин) являются векторами типов h, k и l.
Уилсон (2009) нашел 11 классов сопряженности максимальных подгрупп Co 2 следующим образом:
| Нет. | Структура | Заказ | Комментарии |
|---|---|---|---|
| 1 | Фи 21 :2 ≈ U 6 (2):2 | 18,393,661,440 = 2 16 ·3 6 ·5·7·11 | группа симметрии/отражения компланарного шестиугольника из 6 точек типа 2; фиксирует один шестиугольник в перестановочном представлении Co 2 ранга 3 на 2300 таких шестиугольниках. В этой подгруппе шестиугольники разделены на орбиты 1, 891 и 1408. Fi 21 фиксирует треугольник 2-2-2, определяющий плоскость. |
| 2 | 2 10 : М 22 :2 | 908,328,960 = 2 18 ·3 2 ·5·7·11 | имеет описанное выше мономиальное представление; 2 10 : М 22 фиксирует треугольник 2-2-4. |
| 3 | МакЛ | 898,128,000 = 2 7 ·3 6 ·5 3 ·7·11 | исправляет треугольник 2-2-3 |
| 4 | 2 1+8 + :Сп 6 (2) | 743,178,240 = 2 18 ·3 4 ·5·7 | централизатор инволюции класса 2А (след -8) |
| 5 | ХС :2 | 88,704,000 = 2 10 ·3 2 ·5 3 ·7·11 | исправляет треугольник 2-3-3 или меняет его вершины типа 3 со сменой знака |
| 6 | (2 4 × 2 1+6 + ).А 8 | 41,287,680 = 2 17 ·3 2 ·5·7 | централизатор инволюции класса 2В |
| 7 | У 4 (3): Д 8 | 26,127,360 = 2 10 ·3 6 ·5·7 | |
| 8 | 2 4+10 (С 5 х С 3 ) | 11,796,480 = 2 18 ·3 2 ·5 | |
| 9 | М 23 | 10,200,960 = 2 7 ·3 2 ·5·7·11·23 | исправляет треугольник 2-3-4 |
| 10 | 3 1+4 + . 2 1+4 – .S 5 | 933,120 = 2 8 ·3 6 ·5 | нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А) |
| 11 | 5 1+2 + :4S 4 | 12,000 = 2 5 ·3·5 3 | нормализатор подгруппы порядка 5 (класс 5А) |
Классы сопряженности
[ редактировать ]следы матриц в стандартном 24-мерном представлении Co 2 . Показаны [1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. [2]
Центраторы неизвестной конструкции указаны скобками.
| Сорт | Заказ центратора | Центратор | Размер класса | След | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1А | весь Co 2 | 1 | 24 | ||
| 2А | 743,178,240 | 2 1+8 :СП 6 (2) | 3 2 ·5 2 ·11·23 | -8 | |
| 2Б | 41,287,680 | 2 1+4 :2 4 .А 8 | 2·3 4 ·5 2 11·23 | 8 | |
| 2С | 1,474,560 | 2 10 .А 6 .2 2 | 2 3 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 3А | 466,560 | 3 1+4 2 1+4 AА5 | 2 11 ·5 2 ·7·11·23 | -3 | |
| 3Б | 155,520 | 3×U 4 (2).2 | 2 11 ·3·5 2 ·7·11·23 | 6 | |
| 4А | 3,096,576 | 4.2 6 .У 3 (3).2 | 2 4 ·3 3 ·5 3 ·11·23 | 8 | |
| 4Б | 122,880 | [2 10 ]S 5 | 2 5 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | -4 | |
| 4С | 73,728 | [2 13 .3 2 ] | 2 5 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 4 | |
| 4D | 49,152 | [2 14 .3] | 2 4 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 4Е | 6,144 | [2 11 .3] | 2 7 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 4 | |
| 4F | 6,144 | [2 11 .3] | 2 7 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 4G | 1,280 | [2 8 .5] | 2 10 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 5А | 3,000 | 5 1+2 2A2А4 | 2 15 ·3 5 ·7·11·23 | -1 | |
| 5Б | 600 | 5×S 5 | 2 15 ·3 5 ·5·7·11·23 | 4 | |
| 6А | 5,760 | 3.2 1+4 А5 | 2 11 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23 | 5 | |
| 6Б | 5,184 | [2 6 .3 4 ] | 2 12 ·3 2 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 6С | 4,320 | 6×S 6 | 2 13 ·3 3 ·5 2 ·7·11·23 | 4 | |
| 6Д | 3,456 | [2 7 .3 3 ] | 2 11 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23 | -2 | |
| 6Е | 576 | [2 6 .3 2 ] | 2 12 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 6F | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 7А | 56 | 7×D 8 | 2 15 ·3 6 ·5 3 ·11·233 | 3 | |
| 8А | 768 | [2 8 .3] | 2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 8Б | 768 | [2 8 .3] | 2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | -2 | |
| 8С | 512 | [2 9 ] | 2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 4 | |
| 8Д | 512 | [2 9 ] | 2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 8Е | 256 | [2 8 ] | 2 10 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 8F | 64 | [2 6 ] | 2 12 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 9А | 54 | 9×S 3 | 2 17 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23 | 3 | |
| 10А | 120 | 5×2.A 4 | 2 15 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 3 | |
| 10Б | 60 | 10×S 3 | 2 16 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 2 | |
| 10С | 40 | 5×D 8 | 2 15 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 11А | 11 | 11 | 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·23 | 2 | |
| 12А | 864 | [2 5 .3 3 ] | 2 13 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23 | -1 | |
| 12Б | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 12С | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 12Д | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | -2 | |
| 12Е | 96 | [2 5 .3] | 2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 3 | |
| 12F | 96 | [2 5 .3] | 2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 12G | 48 | [2 4 .3] | 2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 12 часов | 48 | [2 4 .3] | 2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 14А | 56 | 5×D 8 | 2 15 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | -1 | |
| 14Б | 28 | 14×2 | 2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | 1 | эквивалент мощности |
| 14С | 28 | 14×2 | 2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | 1 | |
| 15А | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 1 | |
| 15Б | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 2 | эквивалент мощности |
| 15С | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 2 | |
| 16А | 32 | 16×2 | 2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 16Б | 32 | 16×2 | 2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 18А | 18 | 18 | 2 17 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 20А | 20 | 20 | 2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 1 | |
| 20Б | 20 | 20 | 2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 23А | 23 | 23 | 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11 | 1 | эквивалент мощности |
| 23Б | 23 | 23 | 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11 | 1 | |
| 24А | 24 | 24 | 2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 24Б | 24 | 24 | 2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 28A | 28 | 28 | 2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | 1 | |
| 30А | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | -1 | |
| 30Б | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 30С | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 0 |
Ссылки
[ редактировать ]- Конвей, Джон Хортон (1968), «Идеальная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS.. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
- Конвей, Джон Хортон (1969), «Группа порядка 8 315 553 613 086 720 000», Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79–88, doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
- Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
- Фейт, Уолтер (1974), «Об интегральных представлениях конечных групп», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 29 (4): 633–683, doi : 10.1112/plms/s3-29.4.633 , ISSN 0024- 6115 , МР 0374248
- Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7 , МР 0749038
- Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
- Уилсон, Роберт А. (1983), «Максимальные подгруппы группы Конвея ·2», Journal of Algebra , 84 (1): 107–114, doi : 10.1016/0021-8693(83)90069-8 , ISSN 0021- 8693 , МР 0716772
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012
- Специфический