Г 2 (математика)

В математике G 2 это три простые группы Ли (комплексная форма, компактная действительная форма и расщепленная действительная форма), их алгебры Ли а также некоторые алгебраические группы . Они являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли . G 2 имеет ранг 2 и размерность 14. Он имеет два фундаментальных представления с размерностью 7 и 14.

Компактную форму G2 можно описать как группу автоморфизмов алгебры октонионов или, что то же самое, как подгруппу SO(7), которая сохраняет любой выбранный конкретный вектор в его 8-мерном вещественном спинорном представлении ( спиновое представление ).

История [ править ]

Алгебра Ли , будучи наименьшей исключительной простой алгеброй Ли, была первой из них, обнаруженной при попытке классифицировать простые алгебры Ли. 23 мая 1887 года Вильгельм Киллинг письмо написал Фридриху Энгелю , в котором сообщил, что нашел 14-мерную простую алгебру Ли, которую мы теперь называем . [1]

В 1893 году Эли Картан опубликовал заметку с описанием открытого набора в наделенное двумерным распределением , т. е. плавно меняющимся полем двумерных подпространств касательного пространства, для которого алгебра Ли проявляется как бесконечно малые симметрии. [2] В том же году в том же журнале Энгель заметил то же самое. Позже было обнаружено, что двумерное распределение тесно связано с катанием шарика по другому шарику. Пространство конфигураций катящегося шара пятимерное, с двумерным распределением, описывающим движения шара, при котором он катится без проскальзывания и скручивания. [3] [4]

В 1900 году Энгель обнаружил, что общая антисимметричная трилинейная форма (или 3-форма) в 7-мерном комплексном векторном пространстве сохраняется группой, изоморфной комплексной форме G 2 . [5]

В 1908 году Картан упомянул, что группа автоморфизмов октонионов представляет собой 14-мерную простую группу Ли. [6] В 1914 году он заявил, что это компактная вещественная форма G 2 . [7]

В старых книгах и статьях G2 иногда обозначается E2 .

Реальные формы [ править ]

С этой корневой системой связаны три простые вещественные алгебры Ли:

  • Основная вещественная алгебра Ли комплексной алгебры Ли G 2 имеет размерность 28. Она имеет комплексное сопряжение как внешний автоморфизм и односвязна. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с ней группы является компактной формой группы G2 .
  • Алгебра Ли компактной формы 14-мерна. Соответствующая группа Ли не имеет внешних автоморфизмов и центра, является односвязной и компактной.
  • Алгебра Ли некомпактной (расщепимой) формы имеет размерность 14. Соответствующая простая группа Ли имеет фундаментальную группу порядка 2, а ее внешняя группа автоморфизмов является тривиальной группой. Его максимальная компактная подгруппа — это SU(2) × SU(2)/(−1,−1) . Он имеет неалгебраическое двойное односвязное покрытие.

Алгебра [ править ]

Диаграмма Дынкина Картана и матрица

Диаграмма Дынкина для G 2 имеет вид Диаграмма Дынкина G 2.

Его матрица Картана :

Корни G 2 [ править ]


12-векторная корневая система G 2 в 2 измерениях.

плоскость А 2 Кокстера Проекция 12 вершин кубооктаэдра на содержит такое же двумерное векторное расположение.

Граф G2 как подгруппы F4 и E8, спроецированный на плоскость Коксетера

Набор простых корней для можно прочитать непосредственно из приведенной выше матрицы Картана. Это (2,−3) и (−1, 2), однако натянутая ими целочисленная решетка не та, что изображена выше (по очевидной причине: шестиугольная решетка на плоскости не может быть порождена целочисленными векторами). Диаграмма выше получена из корней другой пары: и . Остальные (положительные) корни — это A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β и A + B = 3α + 2β. Хотя они действительно охватывают двумерное пространство, как показано на рисунке, гораздо более симметрично рассматривать их как векторы в двумерном подпространстве трехмерного пространства. В этой идентификации α соответствует e₁-e₂, β - -e₁ + 2e₂-e₃, A - e₂-e₃ и так далее. В евклидовых координатах эти векторы выглядят следующим образом:

(1,−1,0), (−1,1,0)
(1,0,−1), (−1,0,1)
(0,1,−1), (0,−1,1)
(2,−1,−1), (−2,1,1)
(1,−2,1), (−1,2,−1)
(1,1,−2), (−1,−1,2)

Соответствующий набор простых корней :

e₁-e₂ = (1,-1,0) и -e₁+2e₂-e₃ = (-1,2,-1)

Примечание: α и A вместе образуют корневую систему, A₂ идентичную , а система, образованная β и B изоморфна A₂ , .

Группа Вейля/Коксетера [ править ]

Это Вейля / Коксетера. группа это группа диэдра порядка 12. Он имеет минимальную точную степень .

Особая голономия [ править ]

G2 группы — одна из возможных специальных групп, которые могут выступать в качестве римановой голономии метрики . Многообразия . голономии G 2 называют G 2 -многообразиями также

Полиномиальный инвариант [ править ]

G 2 — группа автоморфизмов следующих двух многочленов от 7 некоммутативных переменных.

(± перестановки)

который происходит из алгебры октонионов. Переменные должны быть некоммутативными, иначе второй полином будет тождественно нулю.

Генераторы [ править ]

Добавление представления 14 генераторов с коэффициентами A , ..., N дает матрицу:

Это в точности алгебра Ли группы

Существует 480 различных представлений соответствующие 480 представлениям октонионов. Калиброванная форма, имеет 30 различных форм и каждая имеет 16 различных знаковых вариаций. Каждая из знаковых вариаций генерирует знаковые различия и каждый является автоморфизмом всех 16 соответствующих октонионов. Следовательно, на самом деле существует только 30 различных представлений . Все это можно построить с помощью алгебры Клиффорда. [8] используя обратимую форму для октонионов. Для других подписанных вариантов , эта форма имеет остатки, которые классифицируют 6 других неассоциативных алгебр, демонстрирующих частичные симметрия. Аналогичная калибровка в приводит к седенионам и как минимум 11 другим родственным алгебрам.

Представления [ править ]

Вложения максимальных подгрупп группы G 2 до размерности 77 с соответствующей проекционной матрицей.

Все характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характеров Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A104599 в OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (дважды), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (дважды), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (дважды), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11 571, 11648, 12096, 13090.. ..

14-мерное представление — это присоединенное представление , а 7-мерное — действие G 2 на мнимые октонионы.

Существуют два неизоморфных неприводимых представления размерностей 77, 2079, 4928, 30107 и т. д. Фундаментальными являются представления размерностей 14 и 7 (соответствующие двум узлам диаграммы Дынкина в таком порядке, что тройная стрелка указывает из первое ко второму).

Воган (1994) описал (бесконечномерные) унитарные неприводимые представления расщепленной вещественной формы G 2 .

вложения максимальных подгрупп группы G 2 Справа показаны до размерности 77.

Конечные группы [ править ]

Группа G2 ( q ) это точки алгебраической группы G2 над конечным полем Fq . Эти конечные группы были впервые введены Леонардом Юджином Диксоном в Диксоне (1901) для нечетного q и Диксоне (1905) для четного q . Порядок G 2 ( q ) равен q 6 ( q 6 − 1)( q 2 − 1) . Когда q ≠ 2 , группа проста , а когда q = 2 , она имеет простую подгруппу индекса 2, изоморфную 2 А 2 (3 2 ), и является группой автоморфизмов максимального порядка октонионов. Группа Янко J 1 была впервые построена как подгруппа G 2 (11). Ри (1960) представил скрученные группы Ри . 2 G 2 ( q ) порядка q 3 ( q 3 + 1)( q − 1) для q = 3 1 + , нечетная степень 3.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Агрикола, Илька (2008). «Старое и новое об исключительной группе G 2 » (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 55 (8): 922–929. МР   2441524 .
  2. ^ Эли Картан (1893). «О строении конечных и непрерывных простых групп». ЧР акад. Наука . 116 : 784–786.
  3. ^ Гил Бор и Ричард Монтгомери (2009). «G 2 и «скользящее распределение» ». L'Enseignement Mathématique . 55 : 157–196. arXiv : math/0612469 . дои : 10.4171/лем/55-1-8 . S2CID   119679882 .
  4. ^ Джон Баэз и Джон Уэрта (2014). «G 2 и катящийся шар». Пер. амер. Математика. Соц . 366 (10): 5257–5293. arXiv : 1205.2447 . дои : 10.1090/s0002-9947-2014-05977-1 .
  5. ^ Фридрих Энгель (1900). «Новая структура, аналогичная линейному комплексу». Лейпциг. Бер . 52 :63–76, 220–239.
  6. ^ Эли Картан (1908). «Комплексные числа». Энциклопедия математических наук . Париж: Готье-Виллар. стр. 329–468.
  7. ^ Эли Картан (1914), «Конечные и непрерывные простые вещественные группы», Ann. наук. Нормальная школа. Как дела. , 31 : 255–262
  8. ^ Уилмот, GP (2023), Построение G2 с использованием алгебры Клиффорда
См. раздел 4.1: G 2 ; онлайн-версия HTML доступна по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html .