Общая линейная группа

В математике общая линейная группа степени n представляет собой набор n × n обратимых матриц размера вместе с операцией обычного умножения матриц . Это образует группу , поскольку произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная матрица обратима, причем единичная матрица является единичным элементом группы. Группа названа так потому, что столбцы (а также строки) обратимой матрицы линейно независимы , следовательно, векторы/точки, которые они определяют, находятся в общем линейном положении , а матрицы в общей линейной группе переводят точки в общем линейном положении в точки. в общем линейном положении.

Точнее, необходимо указать, какие объекты могут фигурировать в записях матрицы. Например, общая линейная группа над R (множество действительных чисел ) представляет собой группу обратимых матриц действительных чисел размера n × n и обозначается GL _n ( R ) или GL ( n , R ) .

В более общем смысле, общая линейная группа степени n над любым полем F (например, комплексными числами ) или кольцом R (например, кольцом целых чисел ) представляет собой набор обратимых матриц размера n × n с элементами из F (или R ), опять же с умножением матрицы в качестве групповой операции. ^[1] Типичным обозначением является GL _n ( F ) или GL( n , F ) или просто GL( n ), если поле понятно.

В более общем смысле общая линейная группа векторного пространства GL( V ) является группой автоморфизмов , не обязательно записанной в виде матриц.

Специальная линейная группа , обозначаемая SL( n , F ) или SL _n ( F ), является подгруппой GL ( n , F ) , состоящей из матриц с определителем 1.

Группу GL( n , F ) и ее подгруппы часто называют линейными группами или матричными группами (группа автоморфизмов GL( V ) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории представлений групп , а также возникают при изучении пространственных симметрий и симметрий векторных пространств вообще, а также при изучении полиномов . Модульная группа может быть реализована как фактор специальной линейной группы SL(2, Z ) .

Если n ≥ 2 , то группа GL( n , F ) не абелева .

Общая линейная группа векторного пространства [ править ]

Если V — векторное пространство над полем F , общая линейная группа V , записанная GL( V ) или Aut( V ), является группой всех автоморфизмов V , то есть набор всех биективных линейных преобразований V → V , вместе с функциональной композицией как групповой операцией. Если V имеет конечную размерность n , то GL( ) и GL( n , F ) изоморфны . V Изоморфизм не каноничен; это зависит от выбора базиса в V . Учитывая базис ( e ₁ , ..., en _, ) V V и автоморфизм T в GL( ) мы имеем тогда для каждого базисного вектора ei _что ,

T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}

некоторых констант aij _в ; F для матрица, соответствующая T, тогда является просто матрицей с элементами, заданными a _ji .

Аналогично для коммутативного кольца R группу GL( n , R ) можно интерпретировать как группу автоморфизмов свободного R -модуля M ранга n . Можно также определить GL( M ) для любого R -модуля, но, вообще говоря, это не изоморфно GL( n , R ) (для любого n ).

С точки зрения детерминантов [ править ]

Над полем F матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Следовательно, альтернативное определение GL( n , F ) — это группа матриц с ненулевым определителем.

Над коммутативным кольцом R требуется больше внимания: матрица над R обратима тогда и только тогда, когда ее определитель является в R , то есть если ее определитель обратим в R. единицей Следовательно, GL( n , R ) можно определить как группу матриц, определители которых являются единицами.

Над некоммутативным кольцом R детерминанты ведут себя совсем нехорошо. В этом случае GL( n , R ) может быть определена как единичная группа M кольца матриц ( n , R ) .

группа Как Лжи

Реальный случай [ править ]

Общая линейная группа GL( n , R ) над полем действительных чисел является вещественной группой Ли размерности n. ². Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что набор всех n × n вещественных матриц размера _{, M n} ( R ), образует вещественное векторное пространство размерности n. ². Подмножество GL( n , R ) состоит из тех матриц, определитель которых не равен нулю. Определитель является полиномиальным отображением, и, следовательно, GL( n , R ) является открытым аффинным подмногообразием M _n ( R ) ( непустое открытое подмножество M _n ( R ) в топологии Зарисского ), и, следовательно, ^[2] той гладкое многообразие же размерности.

Алгебра Ли группы GL( n , R ) , обозначаемая ${\mathfrak {gl}}_{n},$ состоит из всех n × n действительных матриц размера , коммутатор которых служит скобкой Ли.

Как многообразие GL( n , R ) не связно , а имеет два компонента связности : матрицы с положительным определителем и матрицы с отрицательным определителем. , Компонент идентичности обозначенный GL ⁺( n , R ) состоит из действительных матриц размера n × n с положительным определителем. Это также группа Ли размерности n ²; он имеет ту же алгебру Ли, что и GL( n , R ) .

Полярное разложение , уникальное для обратимых матриц, показывает, что существует гомеоморфизм между GL( n , R ) и декартовым произведением O( n ) с набором положительно определенных симметричных матриц. Аналогичным образом, это показывает, что существует гомеоморфизм между GL ⁺( n , R ) и декартово произведение SO( n ) с набором положительно определенных симметричных матриц. Поскольку последняя стягиваема, группа GL фундаментальная ⁺( n , R ) изоморфен SO( n ).

Гомеоморфизм также показывает, что группа ( n , R ) некомпактна GL . «The» ^[3] максимальная компактная подгруппа группы GL( n , R ) является ортогональной группой O( n ), а «максимальная компактная подгруппа группы GL ⁺( n , R ) — специальная ортогональная группа SO( n ). Что касается SO( n ), то группа GL ⁺( n , R ) не является односвязным (за исключением случаев, когда n = 1) , а имеет фундаментальную группу , изоморфную Z для n = 2 или Z ₂ для n > 2 .

Сложный случай [ править ]

Общая линейная группа над полем комплексных чисел GL ( n , C ) — это комплексная группа Ли комплексной размерности n. ². Как реальная группа Ли (через реализацию) она имеет размерность 2 n ². Множество всех вещественных матриц образует вещественную подгруппу Ли. Они соответствуют включениям

GL( n , R ) < GL( n , C ) < GL( 2n , R ),

которые имеют действительные размеры n ², 2 н ², и 4 н ² = ( 2n ) ². Комплексные n -мерные матрицы можно охарактеризовать как вещественные 2 n -мерные матрицы, сохраняющие линейную комплексную структуру , а именно, коммутирующие с матрицей J такой, что J ² = − I , где J соответствует умножению на мнимую единицу i .

Алгебра Ли, соответствующая GL( n , C ), состоит из всех n × n комплексных матриц размера , коммутатор которых служит скобкой Ли.

реального случая, GL( n , C ) связен В отличие от . Частично это следует из того, что мультипликативная группа комплексных чисел C ^∗подключен. Групповое многообразие GL( n , C ) не компактно; скорее, ее максимальная компактная подгруппа является унитарной группой U( n ). Что касается U( n ), групповое многообразие GL( n , C ) не односвязно , а имеет фундаментальную группу изоморфную Z. ,

Над конечными полями [ править ]

Если F — конечное поле с q элементами, то мы иногда пишем GL( n , q ) вместо GL( n , F ) . Когда p простое число, GL( n , p ) является внешней группой автоморфизмов группы Z _p^н, а также группу автоморфизмов , поскольку Z _p^н абелева, поэтому внутренняя группа автоморфизмов тривиальна.

Порядок GL( n , q ) :

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).

Это можно показать, подсчитав возможные столбцы матрицы: первый столбец может быть любым, кроме нулевого вектора; второй столбец может быть любым, но не кратным первому столбцу; и вообще, k -й столбец может быть любым вектором, не входящим в линейную оболочку первых k - 1 столбцов. В q- аналоговой записи это $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ .

Например, GL(3, 2) имеет порядок (8 - 1)(8 - 2)(8 - 4) = 168 . Это группа автоморфизмов плоскости Фано и группы Z ₂³и также известен как PSL(2, 7) .

В более общем смысле, можно подсчитать точки грассманиана над F : другими словами, количество подпространств заданной размерности k . Для этого требуется только найти порядок подгруппы стабилизатора одного такого подпространства и разделить ее на только что приведенную формулу по теореме о стабилизаторе орбиты .

Эти формулы связаны с разложением Шуберта грассманиана и являются q -аналогами комплексных чисел Бетти грассманианов. Это было одним из ключей к разгадке гипотез Вейля .

Обратите внимание, что в пределе q ↦ 1 порядок GL( n , q ) обращается в 0! – но при правильной процедуре (деление на ( q − 1) ^н) мы видим, что это порядок симметричной группы (см. статью Лоршайда) – в философии поля с одним элементом таким образом интерпретируется симметрическая группа как общая линейная группа над полем с одним элементом: S _n ≅ GL ( п , 1) .

История [ править ]

Общая линейная группа над простым полем GL( ν , p ) была построена и ее порядок вычислен Эваристом Галуа в 1832 году в его последнем письме (Шевалье) и во второй (из трех) прилагаемых рукописях, которые он использовал в в контексте изучения группы Галуа общего уравнения порядка p ^н. ^[4]

Специальная линейная группа [ править ]

Специальная линейная группа SL( n , F ) — это группа всех матриц с определителем 1. Они особенные тем, что лежат на подмногообразии — они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом в записях). Матрицы этого типа образуют группу, поскольку определитель произведения двух матриц является произведением определителей каждой матрицы. SL( n , F ) — нормальная подгруппа GL ( n , F ) .

Если мы напишем Ф ^× для мультипликативной группы F ( исключая 0), то определитель является групповым гомоморфизмом

это: GL( n , F ) → F ^×.

которая сюръективна, и ее ядром является специальная линейная группа. Следовательно, по об изоморфизме первой GL( n , F /SL( n , F ) изоморфен теореме F ) ^×. Фактически, GL( n , F ) можно записать как полупрямое произведение :

GL( п , F ) = SL( п , F ) ⋊ F ^×

Специальная линейная группа также является производной группой (также известной как коммутант) группы GL( n , F ) (для поля или тела F ) при условии, что $n\neq 2$ или k не является полем с двумя элементами . ^[5]

Когда F равно R или C , SL( n , F ) является подгруппой Ли в GL( n , F ) размерности n. ²− 1 . Алгебра Ли группы SL ( n , F ) состоит из всех матриц размера n × n над F с исчезающим следом . Скобка Ли задается коммутатором .

Специальную линейную группу SL( n , R ) можно охарактеризовать как группу , сохраняющих объем и ориентацию. линейных преобразований R ^н.

Группа SL( n , C ) односвязна, а SL( n , R ) — нет. SL( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и GL ⁺( n , R ) , то есть Z для n = 2 и Z ₂ для n > 2 .

Другие подгруппы [ править ]

Диагональные подгруппы [ править ]

Множество всех обратимых диагональных матриц образует подгруппу GL( n , F ) , изоморфную ( F ^×) ^н. В таких полях, как R и C , они соответствуют изменению масштаба пространства; так называемые расширения и сокращения.

Скалярная матрица — это диагональная матрица, которая равна константе, умноженной на единичную матрицу . Множество всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу GL( n , F ), изоморфную F ^×. Эта группа является центром GL ( n , F ) . В частности, это нормальная абелева подгруппа.

Центр SL( n , F ) представляет собой просто набор всех скалярных матриц с единичным определителем и изоморфен группе корней n- й степени из единицы в поле F .

Классические группы [ править ]

Так называемые классические группы — это подгруппы GL( V которые сохраняют некоторую билинейную форму в векторном пространстве V. ) , К ним относятся

ортогональная группа O( V ), сохраняющая невырожденную квадратичную форму на V ,
симплектическая группа Sp( V ), сохраняющая симплектическую форму на V (невырожденную знакопеременную форму ),
унитарная группа U( V ), которая при F = C сохраняет невырожденную эрмитову форму на V .

Эти группы представляют собой важные примеры групп Ли.

Родственные группы и моноиды [ править ]

Проективная линейная группа [ править ]

Проективная линейная группа PGL( n , F ) и проективная специальная линейная группа PSL( n , F ) являются факторами GL ( n , F ) и SL( n , F ) по их центрам (которые состоят из кратных идентификационная матрица в нем); они являются индуцированным действием на соответствующее проективное пространство .

Аффинная группа [ править ]

Аффинная группа Aff( n , F ) является расширением GL ( n , F ) с помощью группы сдвигов в F ^н. Его можно записать как полупрямое произведение :

Афф( п , F ) = GL( п , F ) ⋉ F ^н

где GL( n , F ) действует на F ^нестественным образом. Аффинную группу можно рассматривать как группу всех аффинных преобразований аффинного пространства, лежащего в основе векторного пространства F. ^н.

Аналогичные конструкции имеются и для других подгрупп общей линейной группы: например, специальная аффинная группа — это подгруппа, определяемая полупрямым произведением SL( n , F ) ⋉ F ^н, а группа Пуанкаре — это аффинная группа, ассоциированная с группой Лоренца , O(1, 3, F ) ⋉ F ^н.

Общая полулинейная группа [ править ]

Общая полулинейная группа ΓL( n , F ) — это группа всех обратимых полулинейных преобразований и содержит GL. Полулинейное преобразование — это преобразование, которое является линейным «с точностью до поворота», что означает «с точностью до автоморфизма поля при скалярном умножении». Его можно записать как полупрямое произведение:

ΓL( п , F ) = Гал( F ) ⋉ GL( п , F )

где Gal( F ) — группа Галуа группы F ( над ее простым полем ), которая действует на GL( n , F ) действием Галуа на элементы.

Основной интерес ΓL( n , F ) заключается в том, что ассоциированная проективная полулинейная группа PΓL( n , F ) (которая содержит PGL( n , F )) является группой коллинеации проективного пространства для n > 2 и, следовательно, полулинейными отображениями. представляют интерес для проективной геометрии .

Полный линейный моноид [ править ]

Полный линейный моноид, полученный после устранения ненулевого ограничения определителя, образует алгебраическую структуру, подобную моноиду, часто называемую полным линейным моноидом или иногда полной линейной полугруппой или общим линейным моноидом. Примечательно, что она представляет собой регулярную полугруппу.

Если убрать ограничение на то, что определитель не равен нулю, результирующая алгебраическая структура представляет собой моноид , обычно называемый полным линейным моноидом . ^[6]^[7]^[8] но иногда и полная линейная полугруппа , ^[9] общий линейный моноид ^[10]^[11] и т. д. На самом деле это правильная полугруппа . ^[7]

линейная группа Бесконечная общая

Бесконечная общая линейная группа или стабильная общая линейная группа является прямым пределом включений GL( n , F ) → GL( n + 1, F ) в качестве верхней левой блочной матрицы . Она обозначается либо GL( F ), либо GL(∞, F ) и также может интерпретироваться как обратимые бесконечные матрицы, которые отличаются от единичной матрицы только в конечном числе мест. ^[12]

Он используется в алгебраической K-теории для определения K ₁ и имеет хорошо понятную топологию над действительными числами благодаря периодичности Ботта .

Его не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов в гильбертовом пространстве , которое является более крупной группой и топологически намного проще, а именно сжимаемой – см. теорему Койпера .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Здесь кольца считаются ассоциативными и едиными .
^ Поскольку топология Зариского более грубая , чем метрическая топология; эквивалентно, полиномиальные карты непрерывны .
^ Максимальная компактная подгруппа не единственна, но существенно уникальна , поэтому часто называют «максимальной компактной подгруппой».
^ Галуа, Эварист (1846). «Письмо Галуа к Огюсту Шевалье» . Журнал чистой и прикладной математики . XI : 408–415 . Проверено 4 февраля 2009 г. , GL( ν , p ), обсуждалось на стр. 410. {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
^ Супруненко Д.А. (1976), Группы матриц , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , Теорема II.9.4
^ Ян Окнинский (1998). Полугруппы матриц . Всемирная научная. Глава 2: Полный линейный моноид. ISBN 978-981-02-3445-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и контраст». В CM Кэмпбелл (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005 . Издательство Кембриджского университета. п. 471. ИСБН 978-0-521-69470-4 .
^ Джон Роудс; Бенджамин Стейнберг (2009). q-теория конечных полугрупп . Springer Science & Business Media. п. 306. ИСБН 978-0-387-09781-7 .
^ Эрик Джесперс; Ян Окниски (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Springer Science & Business Media. 2.3: Полная линейная полугруппа. ISBN 978-1-4020-5810-3 .
^ Мейнольф Гек (2013). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы . Издательство Оксфордского университета. п. 132. ИСБН 978-0-19-967616-3 .
^ Махир Билен Джан; Чжэньхэн Ли; Бенджамин Стейнберг; Цян Ван (2014). Алгебраические моноиды, групповые вложения и алгебраическая комбинаторика . Спрингер. п. 142. ИСБН 978-1-4939-0938-4 .
^ Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . п. 25. МР 0349811 . Збл 0237.18005 .

Ссылки [ править ]

Спрингер, Тони Альберт (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Березовые домики. ISBN 978-0-8176-4839-8 .

Внешние ссылки [ править ]

[ring-1] Здесь кольца считаются ассоциативными и едиными .

[2] Поскольку топология Зариского более грубая , чем метрическая топология; эквивалентно, полиномиальные карты непрерывны .

[3] Максимальная компактная подгруппа не единственна, но существенно уникальна , поэтому часто называют «максимальной компактной подгруппой».

[chevalier-letter-4] Галуа, Эварист (1846). «Письмо Галуа к Огюсту Шевалье» . Журнал чистой и прикладной математики . XI : 408–415 . Проверено 4 февраля 2009 г. , GL( ν , p ), обсуждалось на стр. 410. {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[5] Супруненко Д.А. (1976), Группы матриц , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , Теорема II.9.4

[Okniński1998-6] Ян Окнинский (1998). Полугруппы матриц . Всемирная научная. Глава 2: Полный линейный моноид. ISBN 978-981-02-3445-4 .

[Meakin-7] Перейти обратно: ^а ^б Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и контраст». В CM Кэмпбелл (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005 . Издательство Кембриджского университета. п. 471. ИСБН 978-0-521-69470-4 .

[RhodesSteinberg2009-8] Джон Роудс; Бенджамин Стейнберг (2009). q-теория конечных полугрупп . Springer Science & Business Media. п. 306. ИСБН 978-0-387-09781-7 .

[JespersOkniski2007-9] Эрик Джесперс; Ян Окниски (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Springer Science & Business Media. 2.3: Полная линейная полугруппа. ISBN 978-1-4020-5810-3 .

[Geck2013-10] Мейнольф Гек (2013). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы . Издательство Оксфордского университета. п. 132. ИСБН 978-0-19-967616-3 .

[CanLi2014-11] Махир Билен Джан; Чжэньхэн Ли; Бенджамин Стейнберг; Цян Ван (2014). Алгебраические моноиды, групповые вложения и алгебраическая комбинаторика . Спрингер. п. 142. ИСБН 978-1-4939-0938-4 .

[Mil25-12] Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . п. 25. МР 0349811 . Збл 0237.18005 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]