Полулинейная карта

В линейной алгебре , особенно в проективной геометрии , полулинейное отображение между векторными пространствами V и W над полем K — это функция, которая является линейным отображением «с точностью до поворота», следовательно, полулинейным , где «поворот» означает « полевой автоморфизм К ». Явно это функция T : V → W , которая есть:

добавка по отношению к векторному сложению: $T(v+v')=T(v)+T(v')$
существует полевой автоморфизм θ группы K такой, что $T(\lambda v)=\theta (\lambda )T(v)$ . Если такой автоморфизм существует и T не равен нулю, то он единственен и T называется θ -полулинейным.

Если домен и кодомен представляют собой одно и то же пространство (т.е. T : V → V ), это можно назвать полулинейным преобразованием . Обратимые полулинейные преобразования данного векторного пространства V (для всех вариантов автоморфизма полей) образуют группу, называемую общей полулинейной группой и обозначаемую $\operatorname {\Gamma L} (V),$ по аналогии с общей линейной группой и ее расширения . Особый случай, когда поле представляет собой комплексные числа $\mathbb {C}$ а автоморфизм является комплексным сопряжением , полулинейное отображение называется антилинейным .

Подобные обозначения (замена латинских символов греческими) используются для полулинейных аналогов более ограниченного линейного преобразования; формально — полупрямое произведение линейной группы на группу Галуа полевого автоморфизма. Например, PΣU используется для полулинейных аналогов проективной специальной унитарной группы PSU. Однако обратите внимание, что только недавно было замечено, что эти обобщенные полулинейные группы не являются четко определенными, как указано в ( Bray, Holt & Roney-Dougal 2009 ) – изоморфные классические группы G и H (подгруппы SL) могут иметь не- изоморфные полулинейные расширения. На уровне полупрямых произведений это соответствует различным действиям группы Галуа на данную абстрактную группу, полупрямому произведению, зависящему от двух групп и действия. Если расширение неединственно, существует ровно два полулинейных расширения; например, симплектические группы имеют единственное полулинейное расширение, а SU( n , q ) имеет два расширения, если n четное, а q нечетное, и то же самое для PSU.

Определение

Отображение $f : V \to W$ для векторных пространств $V$ и $W$ над полями $K$ и $L$ соответственно является $σ$ -полулинейным или просто полулинейным , если существует гомоморфизм полей $σ : K \to L$ такой, что для всех $x$ , $y$ в $V$ и $λ$ в $K$ справедливо то, что

$f(x+y)=f(x)+f(y),$
$f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).$

Заданное вложение $σ$ поля $K$ в $L$ позволяет нам отождествить $K$ с подполем $L$ , делая $σ$ -полулинейное отображение K -линейным отображением при этом отождествлении. Однако отображение, которое является $τ$ -полулинейным для различных вложений $τ \neq σ,$ не будет K -линейным относительно исходного отождествления $σ$ , если только $f$ не является тождественным нулем.

В более общем смысле, отображение $ψ : M \to N$ между правым $R$ - модулем $M$ и левым $S$ -модулем $N$ является $σ$ - полулинейным , если существует кольцевой антигомоморфизм $σ : R \to S$ такой, что для всех $x$ , $y$ в $M$ и $λ$ в $R$ справедливо, что

$\psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),$
$\psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).$

Термин полулинейный применяется к любой комбинации левых и правых модулей с подходящей корректировкой приведенных выше выражений, при этом $σ$ является гомоморфизмом, если необходимо. ^[1]^[2]

Пара $(ψ, σ)$ называется диморфизмом . ^[3]

Транспонировать

Позволять $\sigma :R\to S$ быть кольцевым изоморфизмом, $M$ право $R$ -модуль и $N$ право $S$ -модуль и $\psi :M\to N$ а $\sigma$ -полулинейная карта. Определите транспонирование $\psi$ как отображение ${}^{t}\psi :N^{*}\to M^{*}$ это удовлетворяет ^[4] $\langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ for all }}y\in N^{*},{\text{ and all }}x\in M.$ Это $\sigma ^{-1}$ -полулинейная карта.

Характеристики

Позволять $\sigma :R\to S$ быть кольцевым изоморфизмом, $M$ право $R$ -модуль и $N$ право $S$ -модуль и $\psi :M\to N$ а $\sigma$ -полулинейная карта. Отображение $M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}$ определяет $R$ -линейная форма. ^[5]

Примеры

Позволять $K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},$ со стандартной базой $e_{1},\ldots ,e_{n}$ . Определите карту $f\colon V\to V$ к
$f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}$

f полулинейна (относительно автоморфизма поля комплексного сопряжения), но не линейна.

Позволять $K=\operatorname {GF} (q)$ – поле порядка Галуа $q=p^{i}$ , п характеристика. Позволять $\ell ^{\theta }=\ell ^{p}$ . По сну первокурсника известно, что это полевой автоморфизм. Каждому линейному отображению $f\colon V\to W$ между векторными пространствами V и W над K мы можем установить $\theta$ -полулинейная карта
${\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).$

Действительно, таким образом любую линейную карту можно преобразовать в полулинейную. Это часть общего наблюдения, собранного в следующий результат.

Позволять $R$ быть некоммутативным кольцом, $M$ левый $R$ -модуль и $\alpha$ обратимый элемент $R$ . Определите карту $\varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x$ , так $\varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)$ , и $\sigma$ является внутренним автоморфизмом $R$ . Таким образом, гомотетия $x\mapsto \alpha x$ не обязательно должна быть линейной картой, но $\sigma$ -полулинейный. ^[6]

Общая полулинейная группа

Для векторного пространства V множество всех обратимых полулинейных преобразований V → V (над всеми автоморфизмами полей) представляет собой группу ΓL( V ).

Учитывая векторное пространство V над K , ΓL( V ) разлагается как полупрямое произведение

\operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),

где Aut( K ) — автоморфизмы K . Точно так же полулинейные преобразования других линейных групп могут быть определены как полупрямое произведение с группой автоморфизмов или, что более важно, как группа полулинейных отображений векторного пространства, сохраняющих некоторые свойства.

Мы отождествляем Aut( K ) с подгруппой ΓL( V ), фиксируя базис B для V и определяя полулинейные отображения:

\sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b

для любого $\sigma \in \operatorname {Aut} (K)$ . Эту подгруппу мы будем обозначать Aut( K ) _B . Мы также видим, что эти дополнения к GL( V ) в ΓL( V ) регулярно подвергаются воздействию GL( V ), поскольку они соответствуют изменению базиса .

Доказательство

Любое линейное отображение полулинейно, поэтому $\operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)$ . Зафиксируйте базис B из V . Теперь для любого полулинейного отображения f относительно полевого автоморфизма σ ∈ Aut( K ) определите g : V → V по формуле

g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)

Поскольку f ( B ) также является базисом V , отсюда следует, что g является просто заменой базиса V и, следовательно, линейным и обратимым: g ∈ GL( V ) .

Набор $h:=fg^{-1}$ . Для каждого $v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b$ в В ,

hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b

таким образом, находится в подгруппе Aut( K ) относительно фиксированного базиса B. Эта факторизация уникальна для фиксированного базиса B. h Более того, GL( V ) нормализуется действием Aut( K ) _B , поэтому ΓL( V ) = GL( V ) ⋊ Aut( K ) .

Приложения

Проективная геометрия

The $\operatorname {\Gamma L} (V)$ группы расширяют типичные классические группы в GL( V ). Важность рассмотрения таких отображений вытекает из рассмотрения проективной геометрии . Индуцированное действие $\operatorname {\Gamma L} (V)$ на ассоциированном проективном пространстве P( V ) дает проективная полулинейная группа , обозначаемая $\operatorname {P\Gamma L} (V)$ , расширяя проективную линейную группу PGL( V ).

Проективная геометрия векторного пространства V , обозначаемая PG( V ), представляет собой решетку всех V. подпространств Хотя типичное полулинейное отображение не является линейным, из этого следует, что каждое полулинейное отображение $f\colon V\to W$ порождает сохраняющее порядок отображение $f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)$ . То есть каждое полулинейное отображение индуцирует проективность . Обратное этому наблюдению (за исключением проективной прямой) является фундаментальная теорема проективной геометрии . Таким образом, полулинейные карты полезны, поскольку они определяют группу автоморфизмов проективной геометрии векторного пространства.

Группа Матье

Группу PΓL(3,4) можно использовать для построения группы Матье M ₂₄ , которая является одной из спорадических простых групп ; PΓL(3,4) — максимальная подгруппа в M ₂₄ , и существует много способов расширить ее до полной группы Матье.

См. также

Ссылки

^ Ян Р. Портеус (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , издательство Кембриджского университета
^ Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 223
^ Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 223
^ Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 236
^ Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 236
^ Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 223

Ассмус, EF; Ки, Дж.Д. (1994), Проекты и их коды , Издательство Кембриджского университета , стр. 93, ISBN 0-521-45839-0
Бурбаки, Николя (1989) [1970]. Алгебра I, главы 1–3 [ Алгебра: главы 1–3 ] (PDF) . Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5 . OCLC 18588156 .
Брей, Джон Н.; Холт, Дерек Ф.; Рони-Дугал, Колва М. (2009), «Некоторые классические группы не определены четко», Journal of Group Theory , 12 (2): 171–180, doi : 10.1515/jgt.2008.069 , ISSN 1433-5883 , MR 2502211
Фор, Клод-Ален; Фрёлихер, Альфред (2000), Современная проективная геометрия , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6525-9
Грюнберг, КВ; Вейр, А.Дж. (1977), Линейная геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 49 (1-е изд.), Springer-Verlag, Нью-Йорк
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

Эта статья включает в себя материал полулинейного преобразования в PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Ян Р. Портеус (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , издательство Кембриджского университета

[2] Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 223

[3] Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 223

[4] Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 236

[5] Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 236

[6] Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 223

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]