Комплексно-сопряженное векторное пространство

В математике — комплексно-сопряженное комплексное . векторное пространство $V\,$ представляет собой комплексное векторное пространство ${\overline {V}}$ который имеет те же элементы и структуру аддитивных групп, что и $V,$ но чье скалярное умножение включает сопряжение скаляров. Другими словами, скалярное умножение ${\overline {V}}$ удовлетворяет $\alpha \,*\,v={\,{\overline {\alpha }}\cdot \,v\,}$ где $*$ скалярное умножение ${\overline {V}}$ и $\cdot$ скалярное умножение $V.$ Письмо $v$ обозначает вектор в $V,$ $\alpha$ является комплексным числом, и ${\overline {\alpha }}$ обозначает комплексно-сопряженное число $\alpha .$ ^[1]

Более конкретно, комплексно-сопряженное векторное пространство — это то же самое базовое вещественное векторное пространство (тот же набор точек, то же сложение векторов и действительное скалярное умножение) с сопряженной линейной комплексной структурой . $J$ (различное умножение на $i$ ).

Мотивация

Если $V$ и $W$ являются комплексными векторными пространствами, функцией $f:V\to W$ антилинейно , если $f(v+w)=f(v)+f(w)\quad {\text{ and }}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)$ С использованием сопряженного векторного пространства ${\overline {V}}$ , антилинейное отображение $f:V\to W$ можно рассматривать как обычное линейное отображение типа ${\overline {V}}\to W.$ Линейность проверяют, отмечая: $f(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\overline {\alpha }}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)$ И наоборот, любое линейное отображение, определенное на ${\overline {V}}$ приводит к появлению антилинейного отображения на $V.$

Это тот же основополагающий принцип, что и при определении противоположного кольца, так что правое кольцо $R$ - модуль можно рассматривать как левый $R^{op}$ -модуль или модуль противоположной категории , так что контравариантный функтор $C\to D$ можно рассматривать как обычный функтор типа $C^{op}\to D.$

Функтор комплексного сопряжения

Линейная карта $f:V\to W\,$ порождает соответствующее линейное отображение ${\overline {f}}:{\overline {V}}\to {\overline {W}}$ который имеет то же действие, что и $f.$ Обратите внимание, что ${\overline {f}}$ сохраняет скалярное умножение, потому что ${\overline {f}}(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\alpha }}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)$ Таким образом, комплексное сопряжение $V\mapsto {\overline {V}}$ и $f\mapsto {\overline {f}}$ определить функтор из категории комплексных векторных пространств в себя.

Если $V$ и $W$ конечномерны и отображение $f$ описывается комплексной матрицей $A$ по поводу баз ${\mathcal {B}}$ из $V$ и ${\mathcal {C}}$ из $W,$ тогда карта ${\overline {f}}$ описывается комплексным сопряжением $A$ по поводу баз ${\overline {\mathcal {B}}}$ из ${\overline {V}}$ и ${\overline {\mathcal {C}}}$ из ${\overline {W}}.$

Структура конъюгата

Векторные пространства $V$ и ${\overline {V}}$ имеют одинаковую размерность над комплексными числами и поэтому изоморфны комплексным векторным пространствам. не существует Однако естественного изоморфизма . $V$ к ${\overline {V}}.$

Двойное сопряжение ${\overline {\overline {V}}}$ идентичен $V.$

Комплексно-сопряженное гильбертово пространство.

Учитывая гильбертово пространство ${\mathcal {H}}$ (конечно- или бесконечномерный), его комплексно-сопряженный ${\overline {\mathcal {H}}}$ является тем же векторным пространством, что и его непрерывное двойственное пространство ${\mathcal {H}}^{\prime }.$ Между непрерывными линейными функционалами и векторами существует взаимно однозначное антилинейное соответствие. Другими словами, любой непрерывный линейный функционал на ${\mathcal {H}}$ является внутренним умножением на некоторый фиксированный вектор, и наоборот. ^{[ нужна ссылка ]}

Таким образом, комплекс, сопряженный с вектором $v,$ особенно в случае конечного размера, может быть обозначен как $v^{\dagger }$ (v-dagger, вектор-строка , который является сопряженным транспонированием вектор-столбца $v$ ).В квантовой механике сопряженный кет-вектору $\,|\psi \rangle$ обозначается как $\langle \psi |\,$ – вектор бюстгальтера (см. обозначение бюстгальтера–кет ).

См. также

Антидвойственное пространство – сопряженная однородная аддитивная карта.
Линейная сложная структура – математическая концепция
Теорема о представлении Рисса - Теорема о двойственном гильбертовом пространстве.
сопряженный пучок

Ссылки

^ К. Шмюдген (11 ноября 2013 г.). Неограниченные операторные алгебры и теория представлений . Биркхойзер. п. 16. ISBN 978-3-0348-7469-4 .

Дальнейшее чтение

Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (комплексно-сопряженные векторные пространства обсуждаются в разделе 3.3, стр. 26).

[Schmüdgen2013-1] К. Шмюдген (11 ноября 2013 г.). Неограниченные операторные алгебры и теория представлений . Биркхойзер. п. 16. ISBN 978-3-0348-7469-4 .

[1]