Антилинейная карта

В математике функция ​ $f:V\to W$ между двумя комплексными векторными пространствами называется антилинейным или сопряженно-линейным, если

$${\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}$$

удерживать для всех векторов $x,y\in V$ и каждое комплексное число $s,$ где ${\overline {s}}$ обозначает комплексно-сопряженное число $s.$

Антилинейные карты отличаются от линейных карт , которые являются аддитивными картами , которые являются однородными, а не сопряженно-однородными . Если векторные пространства вещественны , то антилинейность аналогична линейности.

Антилинейные отображения встречаются в квантовой механике при изучении обращения времени и в спинорном исчислении , где принято заменять полосы над базисными векторами и компонентами геометрических объектов точками, поставленными над индексами. Скалярнозначные антилинейные отображения часто возникают при работе со сложными скалярными произведениями и гильбертовыми пространствами .

Определения и характеристики

Функция называется антилинейной или сопряженно-линейной, если она аддитивна и сопряженно-однородна . Антилинейный функционал в векторном пространстве $V$ представляет собой скалярное антилинейное отображение.

Функция $f$ называется аддитивным, если

$$f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y$$

при этом он называется сопряженно-однородным, если

$$f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.$$

функция Напротив, линейное отображение — это аддитивная и однородная , где $f$ называется однородным, если

$$f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.$$

Антилинейная карта $f:V\to W$ может быть эквивалентно описано в терминах линейного отображения ${\overline {f}}:V\to {\overline {W}}$ от $V$ в комплексно-сопряженное векторное пространство ${\overline {W}}.$

Примеры

Антилинейная двойная карта

Учитывая комплексное векторное пространство $V$ ранга 1, мы можем построить антилинейное двойственное отображение, которое является антилинейным отображением

$$l:V\to \mathbb {C}$$

отправка элемента $x_{1}+iy_{1}$ для $x_{1},y_{1}\in \mathbb {R}$ к

$$x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}$$

для некоторых фиксированных действительных чисел $a_{1},b_{1}.$ Мы можем распространить это на любое конечномерное комплексное векторное пространство, где, если мы выпишем стандартный базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$ и каждый стандартный базовый элемент как

$$e_{k}=x_{k}+iy_{k}$$

тогда антилинейное комплексное отображение в $\mathbb {C}$ будет иметь форму

$$\sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}$$

для $a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .$

Изоморфизм антилинейного двойственного с действительным двойственным

Антилинейный двойной ^{стр. 36} комплексного векторного пространства $V$

$$\operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )$$

является особым примером, поскольку он изоморфен действительному двойственному вещественному векторному пространству $V,$ ${\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).$ Это определяется картой, отправляющей антилинейную карту.

$$\ell :V\to \mathbb {C}$$

к

$$\operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R}$$

В другом направлении есть обратная карта, отправляющая настоящий двойной вектор.

$$\lambda :V\to \mathbb {R}$$

к

$$\ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)$$

давая нужную карту.

Свойства

Композиция линейную двух антилинейных карт представляет собой карту . Класс полулинейных отображений обобщает класс антилинейных отображений.

Антидвойственное пространство

Векторное пространство всех антилинейных форм в векторном пространстве. $X$ называется алгебраическим антидвойственным пространством $X.$ Если $X$ — топологическое векторное пространство , то векторное пространство всех непрерывных антилинейных функционалов на $X,$ обозначается ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ называется непрерывным антидвойственным пространством или просто антидвойственным пространством $X$ если не может возникнуть путаница.

Когда $H$ является нормированным пространством , то каноническая норма на (непрерывном) антидвойственном пространстве ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ обозначается ${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$ определяется с помощью того же уравнения:

$$\|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.$$

Эта формула идентична формуле двойственной нормы в непрерывном дуальном пространстве. $X^{\prime }$ из $X,$ который определяется

$$\|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.$$

Каноническая изометрия между двойственным и антидвойственным

Комплексное сопряжение ${\overline {f}}$ функционального $f$ определяется отправкой $x\in \operatorname {domain} f$ к ${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$ Это удовлетворяет

$$\|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}$$

для каждого $f\in X^{\prime }$ и каждый ${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$ Это именно говорит о том, что каноническая антилинейная биекция , определенная формулой

$$\operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}$$

а также его инверсия $\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }$ являются антилинейными изометриями и, следовательно, также гомеоморфизмами .

Если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ затем $X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }$ и эта каноническая карта $\operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }$ сводится к карте идентичности.

Внутренние пространства продукта

Если $X$ является пространством внутреннего продукта , тогда как каноническая норма на $X^{\prime }$ и дальше ${\overline {X}}^{\prime }$ удовлетворяет закону параллелограмма , что означает, что тождество поляризации можно использовать для определения канонического внутреннего продукта на $X^{\prime }$ а также на ${\overline {X}}^{\prime },$ которые в данной статье будут обозначаться обозначениями

$$\langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}$$

где этот внутренний продукт делает $X^{\prime }$ и ${\overline {X}}^{\prime }$ в гильбертово пространство. Внутренние продукты ${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$ и ${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$ антилинейны по своим вторым аргументам. Более того, каноническая норма, индуцированная этим скалярным произведением (т. е. норма, определенная формулой ${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$) согласуется с двойственной нормой (т. е. как определено выше супремумом по единичному шару); в явном виде это означает, что для любого $f\in X^{\prime }:$

$$\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.$$

Если $X$ является пространством внутреннего продукта , тогда внутренние продукты в двойственном пространстве $X^{\prime }$ и антидвойственное пространство ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ обозначается соответственно ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$ и ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$ связаны

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }$$

и

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.$$

См. также

• Функциональное уравнение Коши – Функциональное уравнение
• Комплексно-сопряженное - основные операции с комплексными числами.
• Комплексно-сопряженное векторное пространство - концепция математики. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Основная теорема гильбертовых пространств
• Пространство внутреннего продукта – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств
• Линейная карта - математическая функция в линейной алгебре.
• Матричное сходство
• Теорема о представлении Рисса - Теорема о двойственном гильбертовом пространстве.
• Полуторалинейная форма - обобщение билинейной формы.
• Обращение времени - симметрия обращения времени в физике

Ссылки

• Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988. ISBN   0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3).
• Хорн и Джонсон, Матричный анализ, издательство Кембриджского университета, 1985. ISBN   0-521-38632-2 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 4.6).
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .