Основная теорема гильбертовых пространств

В математике, особенно в функциональном анализе и гильбертовых пространств теории , фундаментальная теорема о гильбертовых пространствах дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы хаусдорфово предгильбертово пространство было гильбертовым пространством с точки зрения канонической изометрии предгильбертова пространства в его антидвойственный .

Предварительные сведения

Антилинейные функционалы и антидвойственность

Предположим, что $H$ — топологическое векторное пространство (ТВП). Функция $\mathbb {C}$ называется полулинейным или антилинейным ^[1] если для всех $x, y \in H$ и всех скаляров $c$ ,

Аддитивное : $ж (Икс + у) знак равно ж (Икс) + ж (у)$ ;
Сопряженные однородные : $ж (c Икс) знак равно c ж (Икс)$ .

Векторное пространство всех непрерывных антилинейных функций на $называется$ антидвойственным пространством или комплексно-сопряженным двойственным пространством H $H$ и обозначается ${\overline {H}}^{\prime }$ (напротив, непрерывное двойственное пространство к $H$ обозначается через $H^{\prime }$ ), которое мы превращаем в нормированное пространство , наделяя его канонической нормой (определяемой так же, как каноническая норма в непрерывном двойственном пространстве к $H$ ). ^[1]

Предгильбертовы пространства и полуторалинейные формы

Полуторалинейная форма — это отображение $\mathbb {C}$ такой, что для всех $y \in H$ отображение, определенное $x \mapsto B (x, y),$ является линейным , а для всех $x \in H$ отображение, определенное $y \mapsto B (x, y),$ является антилинейным . ^[1] Обратите внимание, что в физике принято считать, что полуторалинейная форма линейна по второй координате и антилинейна по первой координате.

Полуторалинейная форма на $H$ называется положительно определенной, если $B (x, x) > 0$ для всех отличных от 0 $x \in H$ ; он называется неотрицательным , если $B (x, x) \geq 0$ для всех $x \in H$ . ^[1] Полуторалинейная форма $B$ на $H$ называется эрмитовой формой, если она, кроме того, обладает тем свойством, что $B(x,y)={\overline {B(y,x)}}$ для $x, y \in H.$ всех ^[1]

Предгильбертово и гильбертово пространства

Предгильбертово пространство — это пара, состоящая из векторного пространства $H$ и неотрицательной полуторалинейной формы $B$ на $H$ ; если, кроме того, эта полуторалинейная форма $B$ положительно определена, то $(H, B)$ называется хаусдорфовым предгильбертовым пространством . ^[1] Если $B$ неотрицательен, то он индуцирует каноническую полунорму на $H$ , обозначаемую через $\|\cdot \|$ , определяемый $x \mapsto B (x, x) 1/2$ , где если $B$ также положительно определена, то это отображение является нормой . ^[1] Эта каноническая полунорма превращает каждое предгильбертово пространство в полунормированное пространство , а каждое хаусдорфово предгильбертово пространство в нормированное пространство . Полуторалинейная форма $\mathbb {C}$ , следовательно, может быть расширен до отдельно непрерывной полуторалинейной формы при пополнении H $отдельно равномерно непрерывен по каждому из двух своих аргументов и$ ; если $H$ хаусдорфово , то это пополнение является гильбертовым пространством . ^[1] хаусдорфово предгильбертово пространство Полное называется гильбертовым пространством .

Каноническое отображение в антидвойственное

Предположим, $(H, B)$ — прегильбертово пространство. Если $h \in H$ , определим канонические отображения:

\mathbb {C}

где

y \mapsto B (h, y)

и

\mathbb {C}

где

Икс \mapsto B (Икс, час)

Каноническая карта ^[1] из $H$ в его антидвойственный ${\overline {H}}^{\prime }$ это карта

H\to {\overline {H}}^{\prime }

определяется

x \mapsto B (x, •)

.

Если $(H, B)$ — прегильбертово пространство, то это каноническое отображение линейно и непрерывно; это отображение является изометрией векторного подпространства антидвойственного тогда и только тогда, когда $(H, B)$ является хаусдорфовым предгильбертом. ^[1]

Конечно, существует каноническая антилинейная сюръективная изометрия. $H^{\prime }\to {\overline {H}}^{\prime }$ который переводит непрерывный линейный функционал $f$ на $H$ в непрерывный антилинейный функционал, обозначаемый $f$ и определяемый как $x \mapsto f (x)$ .

Основная теорема

Основная теорема гильбертовых пространств : ^[1] Предположим, что

(H, B)

— хаусдорфово предгильбертово пространство , где

\mathbb {C}

представляет собой полуторалинейную форму , линейную по первой координате и антилинейную по второй координате. Тогда каноническое линейное отображение

H

в антидвойственное пространство H

изометрией

сюръективно H тогда и только тогда, когда

H, B) является

гильбертовым пространством, и в этом случае каноническое отображение является сюръективной на его

(

антидвойственное пространство.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Тревес 2006 , стр. 112–123.

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

[FOOTNOTETrèves2006112–123-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Тревес 2006 , стр. 112–123.

[1]